Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau a) \(y = x\sin 2x\,\,\,\,\,\left( {y''} \right)\) b) \(y = {\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\left( {y'''} \right)\) c) \(y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\left( {{y^{\left( n \right)}}} \right)\) d) \(y = {1 \over {ax + b}}\) (a,b là các hằng số, \(a \ne 0,{y^{\left( n \right)}}\)) e) \(y=\sin x, \;{y^{\left( n \right)}}\)) g) \(y=\cos x, \;{y^{\left( n \right)}}\)) Giải a) \(4\left( {\cos 2x - x\sin 2x} \right)\) b) \(4\sin 2x\) c) \(y' = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x;\,y'' = 12{x^2} - 18x + 2;\) \(y''' = 24x - 18,{y^{\left( 4 \right)}} = 24,{y^{\left( n \right)}} = 0\,\,\,\,\left( {n \ge 5} \right).\) d) \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{ n+ 1}}}}\) e) ta có \(\eqalign{& y' = \cos x = \sin \left( {x + {\pi \over 2}} \right) \cr& y'' = \cos \left( {x + {\pi \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) \cr& y''' = \cos \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr} \) Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được \({y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\) g) Chứng minh tương tự câu e), ta được \({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\) Câu 5.33 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hai số A và B sao cho \(f\left( x \right) = {{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {x + 1}} + {B \over {x - 1}}\,\,\left( {\forall x \ne \pm 1} \right)\) a) Tìm A và B b) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\,\,\left( {x \in N^*} \right)\) Giải Ta có \({{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {{A\left( {x - 1} \right) + B\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne \pm 1} \right)\) \(\eqalign{& \Leftrightarrow \left( {A + B} \right)x + B - A \equiv x - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne \pm 1} \right) \cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A + B = 1 \hfill \cr B-A = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A = 3 \hfill \cr B = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \) Vậy \(f\left( x \right) = {{x - 5} \over {{x^2} - 1}} = {3 \over {x + 1}} - {2 \over {x - 1}}\) Áp dụng công thức đạo hàm cấp n ta được: \({\left( {{1 \over {ax + b}}} \right)^{\left( n \right)}} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\) Ta được \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 3{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}} - 2{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^{n + 1}}}}\) Câu 5.34 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra a) \(y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^3};\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\) b) \(y = 2\sin 2x;{y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\) Giải a) \(\eqalign{ & y' = 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr & y'' = 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr&+ 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right].{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr&+ 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.{1 \over {\left( {{x^2} + 1} \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr} \) Do đó: \(\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\) b) Ta có \(\eqalign{& y' = 2\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'' = - {2^2}\sin 2x \cr& y''' = - {2^3}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 4 \right)}} = {2^4}\sin 2x \cr& {y^{\left( 5 \right)}} = {2^5}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 6 \right)}} = - {2^6}\sin 2x \cr& {y^{\left( 7 \right)}} = - {2^7}\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 8 \right)}} = {2^8}\sin 2x \cr& ... \cr} \) Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}\sin 2x = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)
