Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 nâng cao - Chương V - Ôn tập chương V - Đạo hàm

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 5.36 trang 185 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{x + 1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2 \hfill \cr{x^2} - 3x\,\,\,khi\,\,x \le 2 \hfill \cr} \right.\)
    (A) Vì 2 là hằng số nên \(f'\left( 2 \right) = 0\)
    (B) Với \(x \le 2\) thì \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x} \right)' = 2x - 3 \)
    \(\Rightarrow f'\left( 2 \right) = 2.2 - 3 = 1\)
    (C) Với \(x > 2\) thì \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)' = 1 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 1\)
    (D) Hàm số không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 2\)
    Giải
    Chọn D

    Câu 5.37 trang 185 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 2x + 3\,\,(C)\)
    Phương trình tiếp tuyến (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là
    (A)
    \(y = \left( {3{x^2} - 4x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\)
    (B) \(y = 0\left( {x - 1} \right) - 2\)
    (C) \(y = \left( {x - 1} \right) - 2\)
    (D) \(y = \left( {x - 1} \right) - 3\)
    Giải
    Chọn C

    Câu 5.38 trang 185 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = \sqrt {2x} \)
    (A) Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0\)
    (B) Vì hàm số \(f\left( x \right)\) không xác định khi x < 0, nên không tồn tại \(f'\left( 0 \right) = 0\)
    (C) Vì \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {2x} }}\) nên \(f'\left( 0 \right) = + \infty \)
    (D) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {2x} } \over x} = + \infty \) nên \(f'\left( 0 \right) = + \infty \)
    Giải
    Chọn B

    Câu 5.39 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = {\sin ^3}\left( {1 - x} \right)\)
    Với mọi \(x \in R\), ta có
    (A)
    \(f'\left( x \right) = {\cos ^3}\left( {1 - x} \right)\)
    (B) \(f'\left( x \right) = - {\cos ^3}\left( {1 - x} \right)\)
    (C) \(f'\left( x \right) = - 3{\sin ^2}\left( {1 - x} \right)\cos \left( {1 - x} \right)\)
    (D) \(f'\left( x \right) = 3{\sin ^2}\left( {1 - x} \right)\cos \left( {1 - x} \right)\)
    Giải
    Chọn C

    Câu 5.40 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right)} \over x} = A\)\(f\left( 0 \right) = 0.\) Chứng minh rằng \(A = f'\left( 0 \right).\)
    Giải
    Theo định nghĩa, ta có
    \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\)
    Vì \(f\left( 0 \right) = 0\) nên
    \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right)} \over x} = A\)

    Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr - {x^3} + bx + c\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\)
    a) Tìm điều kiện của b và c để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\)
    b) Xác định b và c để \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và tính \(f'\left( 0 \right)\)
    Giải
    a) Hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) hay
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
    ta có
    \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2} = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^3} + bx + c} \right) = c \cr& f\left( 0 \right) = {0^2} = 0 \cr} \)
    Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(c = 0\) còn b tùy ý.
    b) Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) thì nó liên tục tại điểm đó ( suy ra \(c = 0\)) và có giới hạn hữu hạn
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
    Ta có
    \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{{x^2}} \over x}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right)} \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - {x^3} + bx} \over x} \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} b = b \cr} \)
    Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\)
    Suy ra \(b = 0\)
    Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(b = c = 0\). Khi đó, ta có \(f'\left( 0 \right) = 0\)

    Câu 5.42 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):
    a)
    \(f'\left( x \right) = 0\) biết \(f\left( x \right) = {{m{x^4}} \over 4} - \left( {m + 2} \right){{{x^3}} \over 3} + {{5{x^2}} \over 2} - 3x + 1\)
    b) \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = m\) biết \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 8} \)
    Giải
    a) Với mọi \(x \in R\), ta có
    \(\eqalign{& f'\left( x \right) = m{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + 5x - 3 \cr& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + 5x-3=0\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)
    Thử thấy \(x = 1\) là một nghiệm, nên ta có thể viết (1) dưới dạng
    \(\eqalign{& \left( {x - 1} \right)\left( {m{x^2} - 2x + 3} \right) = 0 \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2a} \right) \hfill \cr m{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2b} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
    Ta hãy giải phương trình (2b). Xét hai trường hợp
    \( \bullet \) Với \(m = 0\) thì \(\left( {2b} \right) \Leftrightarrow x = {3 \over 2}\)
    \( \bullet \) Với \(m \ne 0\) thì
    \(\left( {2b} \right) \Leftrightarrow x = {{1 \pm \sqrt {1 - 3m} } \over m}\) (Với điều kiện \(0 \ne m \le {1 \over 3}\) )
    Kết luận
    + Với \(m > {1 \over 3}\), phương trình có nghiệm \({x_0} = 1\)
    + Với \(m = 0\), phương trình có nghiệm \({x_0} = 1\) và \({x_1} = {3 \over 2}\)
    + Với \(0 \ne m \le {1 \over 3}\), phương trình có các nghiệm là
    \({x_0} = 1,{x_1} = {{1 - \sqrt {1 - 3m} } \over m}\) và \({x_2} = {{1 + \sqrt {1 - 3m} } \over m}\)
    b) Để hàm số đã cho cá đạo hàm thì ta phải có
    \({x^2} - 2x - 8 > 0 \Leftrightarrow x < - 2\) hoặc \(x > 4.\)
    Với điều kiện \(x < - 2\) hoặc \(x > 4,\) ta có
    \(f'\left( x \right) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}\)
    Phương trình
    \(\eqalign{& f\left( x \right).f'\left( x \right) = m\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x < - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr{{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}.\sqrt {{x^2} - 2x - 8} = m \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{\matrix{x < - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr x - 1 = m \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m < - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m > 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m < - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m > 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr\left| m \right| > 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
    Kết luận
    + Với \(\left| m \right| \le 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.
    + Với \(\left| m \right| > 3\) thì phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1 + m.\)

    Câu 5.43 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}}\left( {x \ne {\pi \over 2} + k\pi ;k \in Z} \right)\)
    Chứng minh rằng
    \(f'\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\)
    Giải
    Vì \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\) nên \(\cos x \ne 0.\) Xét hai trường hợp
    + Nếu \(\cos x > 0\) thì
    \(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = {1 \over {\cos x}}\)
    Suy ra
    \(f'\left( x \right) = - {{\left( { - \sin x} \right)} \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\left( 1 \right)\)
    Nếu \(\cos x < 0\) thì
    \(f\left( x \right) = {1 \over {\left| {\cos x} \right|}} = -{1 \over {\cos x}}\)
    Suy ra
    \(f'\left( x \right) = - {{ - \sin x} \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {\cos x}}.\tan x = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
    Từ (1) và (2) suy ra \(f'\left( x \right) = {{\tan x} \over {\left| {\cos x} \right|}}\,\left( {x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z} \right).\)

    Câu 5.44 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm a để tồn tại hàm số:
    \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2}\cos 2a + 3x\sin 2a\sin 6a\)
    \(+ \sqrt {2a - 1 - {a^2}} \) (a là hằng số)
    Với giá trị của số a đó, hãy xét dấu của
    \(f'\left( {{1 \over 2}} \right)\)
    Giải
    Ta nhận thấy
    \(2a - 1 - {a^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow a = 1\)
    Vậy :
    \( \bullet \) Khi \(a \ne 1\) thì không tồn tại hàm số \(f\left( x \right)\) với bất kì \(x \in R\), do đó không tồn tại \(f'\left( {{1 \over 2}} \right).\)
    \( \bullet \) Khi \(a = 1\) thì tồn tại hàm số \(f\left( x \right)\) xác định với mọi \(x \in R\) và
    \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2}\cos 2 + 3x\sin 2\sin 6\)
    Ta có \(f'\left( x \right) = 12{x^2} - 12\cos 2 + 3x\sin 2\sin 6\)
    \(f'\left( {{1 \over 2}} \right) = 3 - 6\cos 2 + 3\sin 2\sin 6\)
    \(= 3\left( {1 - 2\cos 2 + \sin 2\sin 6} \right)\)
    Vì \({\pi \over 2} < 2 < \pi \) nên \(\cos 2 < 0\), suy ra
    \(1 - 2\cos 2 > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
    Mặt khác \(\left| {\sin 2\sin 6} \right| \le 1,\) suy ra
    \(\sin 2\sin 6 \ge - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
    Từ (1) và (2) suy ra
    \(1 - 2\cos 2 + \sin 2\sin 6 > 0 \Leftrightarrow f'\left( {{1 \over 2}} \right) > 0\)

    Câu 5.45 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm m để đồ thị hàm số
    \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 3x\)
    Tiếp xúc với đường thẳng \(y = mx - 1\)
    Giải
    Để đồ thị hàm số
    \(y = 4{x^3} - 3x\)
    Tiếp xúc với đường thẳng \(y = mx - 1\) thì ta phải tìm \(m\) sao cho hệ phương trình sau đây:
    \(\left\{ \matrix{4{x^3} - 3x = mx - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr12{x^2} - 3 = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
    Có nghiệm. Thế \(m\) từ (2) vào (1), ta được
    \(4{x^3} - 3x = \left( {12{x^2} - 3} \right)x - 1 \Leftrightarrow 8{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\)
    Thay \(x = {1 \over 2}\) vào (2) ta được \(m = 0.\) Vậy với \(m = 0\) thì đò thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng \(y = mx - 1\)

    Câu 5.46 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(y = f\left( x \right) = {1 \over {x\sqrt 2 }}\)\(y = g\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\)
    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hai hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
    Giải
    Hoành độ giao điểm hai đồ thị của haio hàm số đã cho là
    \({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\)
    Tung độ giao điểm tương ứng là \(y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)
    Ta có
    \( \bullet \) \(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt 2 .{x^2}}},\) suy ra \(f'\left( 1 \right) = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại giao điểm là
    \(y = - {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,hay\,\,y = - {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x - 2} \right)\)
    \( \bullet \) \(g'\left( x \right) = x\sqrt 2 ,\,\,suy\,ra\,\,g'\left( 1 \right) = \sqrt 2 \)
    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại giao điểm là
    \(y = \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,hay\,\,y = \sqrt 2 x - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
    Mặt khác \(f'\left( 1 \right).g'\left( 1 \right) = - {1 \over {\sqrt 2 }}.\sqrt 2 = - 1\)
    Nên hai tiếp tuyến của đò thị hàm số đã cho vuông góc với nhau, suy ra góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \({90^0}\).

    Câu 5.47 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Một đoàn tàu hỏa rời ga, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc \(0,1\,\,m/{s^2}\) (bỏ qua sức cản của không khí). Tính vận tốc tức thời tại thời điểm tàu đã đi được đúng 500m
    Giải
    Nếu chọn trục \(Os\) trùng với phương của chuyển động và chiều dương là chiều chuyển động, gốc O là vị trí ban đầu trước khi tàu khởi hành và xem \(t = 0\) là thời điểm tàu bắt đầu khởi hành, thế thì phương trình chuyển động của đoàn tàu là
    \(s = {1 \over 2}a{t^2} = {1 \over 2}.(0,1){t^2}\)
    (s là quãng đường đi được, a là gia tốc) .
    Gọi \({t_0}\left( {{t_0} > 0} \right)\) là khoảng thời gian từ lúc đoàn tàu rời ga đến khi đi được 500m, ta có
    \(500 = {1 \over 2}.\left( {0,1} \right)t_0^2 \Leftrightarrow {t_0} = 100\left( s \right)\)
    Vậy vận tốc tức thời tại thời điểm tàu đã đi được bằng đúng 500m là
    \(v\left( {{t_0}} \right) = v\left( {100} \right) = 0,1 \times 100 = 10\,\,\,\left( {m/s} \right)\)

    Câu 5.48 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    a) Chứng minh rằng nếu \(P\left( x \right)\) là một đa thức bậc ba và \(\alpha \) là một số thực bất kì ta có
    \(P\left( {x + \alpha } \right) = P\left( \alpha \right) + xP'\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P"\left( \alpha \right)) \)
    \(+ {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right),\) \(\left( {\forall x \in R} \right)\)
    b) Xác định đa thức
    \(P\left( x \right)\) bậc ba biết
    \(P\left( 0 \right) = P'\left( 0 \right) = P"\left( 0 \right)=P'''\left( 0 \right)\,\, = 1\)
    Giải
    Ta viết đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) dưới dạng
    \(P\left( x \right) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{a_0} \ne 0} \right)\)
    Ta có
    \(\eqalign{& P'\left( x \right) = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2} \cr& P''\left( x \right) = 6{a_0}x + 2{a_1} \cr& P'''\left( x \right) = 6{a_0}. \cr} \)
    Vậy
    \(\eqalign{& {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left( \alpha \right) + xP'\left( \alpha \right) + P\left( \alpha \right) \cr& = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x\cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)
    Mặt khác ta có
    \(\eqalign{& P\left( {x + \alpha } \right) = {a_0}{\left( {x + \alpha } \right)^3} + {a_1}{\left( {x + \alpha } \right)^2} \cr& \;\;\; + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}\left( {{x^3} + 3\alpha {x^2} + 3{\alpha ^2}x + {\alpha ^3}} \right) \cr&\;\;\; + {a_1}\left( {{x^2} + 2\alpha x + {\alpha ^2}} \right) + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x \cr&\;\;\; + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)
    So sánh (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh.
    b) Khi \(\alpha = 0,\) ta được
    \(P\left( x \right) = P\left( 0 \right) + xP'\left( 0 \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left( 0 \right) + {{{x^3}} \over 6}P'''\left( 0 \right).\)

    \(P\left( 0 \right) = P'\left( 0 \right) = P''\left( 0 \right) = P'''\left( 0 \right) = 1\)
    Nên đa thức tìm là
    \(P\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 6}\)

    Câu 5.49 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Căn cứ vào đồ thị (C) được vẽ trên hình 5.1;
    a) Hãy xác định
    \(f'\left( { - 2} \right),f'\left( 0 \right)\)\(f'\left( 2 \right)\)
    b) Hãy cho biết dấu của \(f'\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\)
    01.png

    Giải
    a) \(f'\left( { - 2} \right) = 1;f'\left( 0 \right) = - 2;f'\left( 2 \right) = 0\)
    b) Với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\), ta nhận thấy tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) đi từ góc phần tư thứ hai đến góc phần tư thứ tư, đo đó hệ số góc của tiếp tuyến là số âm, suy ra \(f'\left( x \right) < 0.\)

    Câu 5.50 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị hàm số
    \(y = {1 \over 2}\sqrt {x - 4{x^2}} \,\,\,\,(C)\)
    Cắt trục tung tại một điểm cách đều tiếp điểm và gốc tọa độ.
    Giải
    Để hàm số có đạo hàm thì ta phải có
    \(x - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < {1 \over 4}.\)
    Với điều kiện \(0 < x < {1 \over 4},\) ta có
    \(y' = {{1 - 8x} \over {4\sqrt {x - 4{x^2}} }}.\)
    Gọi \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm tuy ý thuộc đồ thị(C) ; ta có \({y_0} = {1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2,} \) \(y' = {{1 - 8{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại \({M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) là
    \(y = {{1 - 8{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} \)
    Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm T có tung độ là
    \(\eqalign{& {y_T} = {{1 - 8{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}\left( {0 - {x_0}} \right) + {1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} \cr& \,\,\,\,\, = {{\left( {1 - 8{x_0}} \right)\left( { - {x_0}} \right) + 2\left( {{x_0} - 4x_0^2} \right)} \over {\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }} \cr& = {{{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }} > 0 \cr} \)
    Khoảng cách \(T{M_0}\) được tính bởi công thức
    \(\eqalign{ T{M_0} &= {\left( {{x_0} - 0} \right)^2} \cr& + {\left( {{1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} - {{{x_0}} \over {\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}} \right)^2} \cr& = x_0^2{\left( {{{2\left( {{x_0} - 4x_0^2} \right) - {x_0}} \over {\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}} \right)^2} \cr& = x_0^2 + {{{{\left( {{x_0} - 8x_0^2} \right)}^2}} \over {16\left( {{x_0} - 4x_0^2} \right)}} \cr& = {{16x_0^3 - 64x_0^4 + x_0^2 - 16x_0^3 + 64x_0^4} \over {16\left( {{x_0} - 4x_0^2} \right)}} \cr& = {{x_0^2} \over {16\left( {{x_0} - 4x_0^2} \right)}} \cr} \)
    Vậy
    \(\left| {T{M_0}} \right| = {{{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }} = \left| {TO} \right| = {y_T}\)
    Điều này chứng tỏ, điểm T cách đều tiếp điểm \({M_0}\) và gốc tọa độ O.
    Chú ý: Có thể chứng minh bào toán này bằng phương pháp hình học như sau:
    Với \(0 \le x{1 \over 4}\) thì \(y \ge 0\) ta có
    \(\eqalign{& y = {1 \over 2}\sqrt {x - 4{x^2}} \Leftrightarrow 4{y^2} + 4{x^2} - x = 0 \cr& \Leftrightarrow {x^2} + {x \over 4} + {y^2} = 0 \cr& \Leftrightarrow {\left( {x - {1 \over 8}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {{1 \over 8}} \right)^2} \cr} \)
    Vậy đồ thị (C) là phần đường tròn thuộc góc phần tư thứ nhất (vì \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\)) tâm \(I\left( {{1 \over 8};0} \right)\), bán kính \(R = {1 \over 8}\) (h.5.6)
    Áp dụng tính chất: từ một điểm T ngoài đường tròn, kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là \(TM_0\) và TO và ta có \(|TM_0|=|TO|\) (đpcm).
    02.png

    Câu 5.51 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Gọi (P) và (P’) lần lượt là đồ thị của hai hàm số
    a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ.
    b) Viết phương trình của đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (P) để tiếp điểm A đồng thời cũng là tiếp tuyến của (P’) tại tiếp điểm B (đường thẳng (d) nếu có, được gọi là tiếp tuyến chung của (P) và (P’).

    Giải
    a)
    03.png

    b) Gọi đường thẳng \(y = mx + p\,\,\,\left( d \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 1\) tại điểm \(A\left( {a;f\left( a \right)} \right),\) đồng thời là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) tại điểm \(B\left( {b;g\left( b \right)} \right).\) Nếu thế thì ta phải có
    \(\left( I \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \matrix{ f'\left( a \right) = g'\left( b \right) = m\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr f\left( a \right) = ma + p\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr g\left( b \right) = mb + p\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr} \right.\)
    ((I) chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến tại A (đối với (P) và hệ số góc của tiếp tuyến B (đối với (P’)) bằng nhau và bằng m; (2) chứng tỏ đường thẳng (d) đi qua đoạn A; (3) chứng tỏ đường thẳng (d) đi qua B)
    Khử m và p ở hệ phương trình (1), ta được
    04.jpg
    Thế vào (1) ta được
    - Với \(a = - 1;b = 1\) thì \(m = 0\) và \(p = 2,\) suy ra tiếp tuyến chung phải tìm là \(y = 2\left( {{d_1}} \right)\)
    - Với \(a = 1;b = - 1\) thì \(m = - 4\) và \(p = 2,\) suy ra tiếp tuyến chung phải tìm là \(y = - 4x + 2\left( {{d_2}} \right)\)

    Câu 5.52 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + ... + {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}}\,\,\left( {n \in N} \right)\)
    Tìm
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right)\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right)\)
    c)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right)\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right)\)
    Giải
    Ta có
    \(f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\)
    Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = x \ne 1\) ta được:
    \(f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\)
    Từ đó suy ra
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right) = n + 1\)
    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} \over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1\)
    c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2\)(vì\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1}} = 0\))
    d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {3^{n + 1}}} \over {1 - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 1} \right) = + \infty \)
    (vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n + 1}} = 0\) suy ra\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {3^{n + 1}} = + \infty \))