Câu 2 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao. Biết \(\sin {\pi \over {10}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}.\) Chứng minh rằng hàm số \(y = \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\) Đồng biến trên \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right)\) Giải Từ \(\sin {\pi \over {10}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}\) suy ra \(\cos {\pi \over {10}} = \sqrt {1 - {{\left( {{{\sqrt 5 - 1} \over 4}} \right)}^2}} = {{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \over 4}\). Do đó \(y = \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\) \(= 4\cos \left( {x - {\pi \over {10}}} \right)\) Khi x tăng từ \({{ - 9\pi } \over {10}}\) đến \({\pi \over {10}}\) thì \(x - {\pi \over {10}}\) tăng từ \( - \pi \) đến 0 nên \(y = 4\cos \left( {x - {\pi \over {10}}} \right)\) tăng từ -4 đến 4. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right)\) Câu 5 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin x + \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) b) Giải phương trình \(f\left( x \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}\) c) Tìm giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần nghìn) của các nghiệm nằm trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình \(f\left( x \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}\) Giải a) Giá trị lớn nhất là \(\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \); giá trị nhỏ nhất là \( - \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \) b) \(\,\,x = k2\pi ;\,\,\,x = 2\alpha + k2\pi \) với \(\sin \alpha = {{4 + \sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\) và \(\cos \alpha = {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\) c) Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\), không có giá trị nào thuộc họ \(\,\,x = k2\pi \). Đối với họ nghiệm thứ hai, ta có thể chọn \(\alpha = \arccos {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }} \approx 1,3153\). Khi đó ta có \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) và \(\eqalign{ & - 2\alpha + k2\pi \in \left( {0;2\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < - 2\alpha + k2\pi < 2\pi \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\alpha < k2\pi < 2\alpha + 2\pi \cr} \) Vậy chỉ có một giá trị nghiệm duy nhất của k thỏa mãn điều kiện này, đó là k = 1. Vậy \(\,\,x = - 2\alpha + 2\pi \approx 3,653\) Câu 7 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao. An có 12 cuốn sách tham khảo khác nhau, trong đó có 6 cuốn sách toán, 4 cuốn sách vật lí và 2 cuốn sách hóa học. An muốn xếp chúng vào 3 ngăn A, B, C trên giá sách sao cho mỗi ngăn chứa một loại sách. Hỏi An có bao nhiêu cách xếp? Giải Có 3! cách chọn 3 ngăn A, B, C để xếp loại sách. Trong ngăn sách toán có 6! cách xếp.; ngăn sách Vật lí có 4! cách xếp; ngăn sách Hóa học có 2! cách xếp. Vậy có tất cả 3!6!4!2! = 207 360 cách xếp sách.
