Bài 1.1 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow v = \left( {2; - 1} \right)\) , điểm M = (3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho : a) \(A = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)\) b) \(M = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)\) Giải: a) Giả sử \(A = \left( {x;y} \right)\) . Khi đó \(A\left\{ \matrix{ x = 3 + 2 \hfill \cr y = 2 - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 5 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(A = \left( {5;1} \right)\) b) Giả sử \(A = \left( {x;y} \right)\) . Khi đó \(\left\{ \matrix{ 3 = x + 2 \hfill \cr 2 = y - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 - 2 \hfill \cr y = 2 + 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(A = \left( {1;3} \right)\) Bài 1.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Trong mặt phẳng \(\overrightarrow v = \left( { - 2;1} \right)\) cho, đường thẳng d có phương trình \(2x - 3y + 3 = 0\) , đường thẳng d1 có phương trình \(2x - 3y - 5 = 0\). a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow v }}\). b) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow w \) có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow w }}\). Giải: a) Lấy một điểm thuộc d ,chẳng hạn \(M = \left( {0;1} \right)\). Khi đó \(M' = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = \left( {0 - 2;1 + 1} \right) = \left( { - 2;2} \right)\) thuộc d'. Vì d' song song với d nên phương trình của nó có dạng \(2x - 3y + C = 0\). Do \(M' \in d'\) nên \(2.\left( { - 2} \right) - 3.2 + C = 0\) . Từ đó suy ra C = 10 . Do đó d' có phương trình \(2x - 3y + 10 = 0\) . b) Lấy một điểm thuộc d ,chẳng hạn \(M = \left( {0;1} \right)\). Đường thẳng \({d_2}\) qua M vuông góc với có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow v = \left( {2; - 3} \right)\). Do đó phương trình của \({d_2}\) là \({{x - 0} \over 2} = {{y - 1} \over { - 3}}\). Gọi M' là giao của \({d_1}\) với \({d_2}\) thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 2x - 3y - 5 = 0 \hfill \cr 3x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {{16} \over {13}} \hfill \cr y = - {{11} \over {13}} \hfill \cr} \right.\) Từ đó suy ra \(\overrightarrow w = \overrightarrow {MM'} = \left( {{{16} \over {13}}; - {{24} \over {13}}} \right)\). Bài 1.3 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x - y - 9 = 0\). Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’. Giải: Giao của d với trục Ox là điểm \(A\left( {3;0} \right)\). Phép tịnh tiến phải tìm có vectơ tịnh tiến \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AO} = \left( { - 3;0} \right)\). Đường thẳng d' song song với d và đi qua gốc tọa độ nên nó có phương trình \(3x - y = 0\). Bài 1.4 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 2;5} \right)\). Giải: Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(r = 3\).Gọi \(I' = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) = \left( {1 - 2; - 2 + 5} \right) = \left( { - 1;3} \right)\) và (C') là ảnh của (C) qua \({T_{\overrightarrow v }}\) thì (C') là đường tròn tâm (I') bán kính \(r = 3\). Do đó (C') có phương trình: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\) Cách 2. Biểu thức tọa độ của \({T_{\overrightarrow v }}\) là \(\left\{ \matrix{ x' = x - 2 \hfill \cr y' = y + 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = x' + 2 \hfill \cr y = y' - 5 \hfill \cr} \right.\) Thay vào phương trình của (C) ta được \(\eqalign{ & {\left( {x' + 2} \right)^2} + {\left( {y' - 5} \right)^2} - 2\left( {x' + 2} \right) + 4\left( {y' - 5} \right) - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} + 2x' - 6y' + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x' + 1} \right)^2} + {\left( {y' - 3} \right)^2} = 9 \cr} \) Do đó (C') có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\) Bài 1.5 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C). Giải: Do tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MM'} \) là. Từ đó suy ra M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BA} \) .Từ đó suy ra tập hợp các điểm M' là đường tròn (C') , ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BA} \) .
