Sách bài tập Toán 11 - Hình học 11 cơ bản - Chương I - Ôn tập Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1.31 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x - 5y + 3 = 0\) và vectơ \(\overrightarrow v = \left( {2;3} \right)\). Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \).
    Giải:
    Gọi \(M'(x';y') \in d'\) là ảnh của \(M(x,y) \in d\) qua phép tịnh tiến theo vecto \(\vec v(2;3)\)
    \( \Rightarrow \left\{ \matrix{
    x' = x + 2 \hfill \cr
    y' = y + 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
    x = x' - 2 \hfill \cr
    y = y' - 3 \hfill \cr} \right.\)
    Do \(M(x,y) \in d\) nên
    \(\eqalign{
    & 3x - 5y + 3 = 0 \cr
    & \Rightarrow 3(x' - 2) - 5(y' - 3) + 3 = 0 \cr
    & \Leftrightarrow 3x' - 5y' + 12 = 0{\rm{ }}(d') \cr} \)
    Vậy \(M'(x';y') \in d':3x' - 5y' + 12 = 0\)

    Bài 1.32 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho hình bình hành ABCD có ABcố định, đường chéo ACcó độ dài bằng m không đổi. Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm D thuộc một đường tròn cố định.
    Giải:
    Xem D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BA} \). Do C chạy trên đường tròn (C) tâm A bán kính m, trừ ra giao điểm của (C) với đường thẳng AB, nên D thuộc đường tròn là ảnh của đường tròn nói trên qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BA} \).

    Bài 1.33 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN.
    Giải:
    01.jpg
    Giả sử đã dựng được hai điểm M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài. Đường thẳng qua M và song song với AC cắt BC tại D. Khi đó tứ giác MNCD là hình bình hành. Do đó CN = DM. Từ đó suy ra tam giác AMD cân tại M. Do đó \(\widehat {MA{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {DAC}\). Suy ra AD là phân giác trong của góc A. Do đó AD dựng được .Ta lại có \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \), nên có thể xem M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {DC} \).
    Từ đó suy ra cách dựng:
    - Dựng đường phân giác trong của góc A. Đường này cắt BC tại D.
    - Dựng đường thẳng d là ảnh của đường thẳng AC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {C{\rm{D}}} \). d cắt AB tại M.
    - Dựng N sao cho \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {C{\rm{D}}} \).
    Khi đó dễ thấy M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài.

    Bài 1.34 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x - 2y - 6 = 0\)
    a) Viết phương trình của đường thẳng \(d_1\) là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy
    b) Viết phương trình của đường thẳng \(d_2\) là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng ∆ có phương trình \(x + y - 2 = 0\).
    Giải:
    a) \({d_1}:3{\rm{x}} + 2y + 6 = 0\)
    b) Giao của d và ∆ là \(A\left( {2;0} \right)\). Lấy \(B\left( {0; - 3} \right)\) thuộc d. Ảnh của B qua phép đối xứng của đường thẳng ∆ là \(B'\left( {5;2} \right)\). Khi đó d' chính là đường thẳng \(AB':2{\rm{x}} - 3y - 4 = 0\)

    Bài 1.35 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho đường tròn (C) và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc (C). Với mỗi điểm M chạy trên đường tròn (trừ hai điểm A, B), ta xét điểm N sao cho ABMN là hình bình hành. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N cũng nằm trên một đường tròn xác định.
    Giải:
    Tập hợp các điểm N thuộc đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua trung điểm của AB.

    Bài 1.36 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho hai đường tròn có cùng tâm O, bán kính lần lượt là R và \(r,\left( {R > r} \right)\). A là một điểm thuộc đường tròn bán kính r. Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r tại B, cắt đường tròn bán kính R tại C, D sao cho \(CD = 3AB\).
    Giải:
    02.jpg
    Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính r, \((C_1)\) là đường tròn tâm O bán kính R. Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó có thể xem D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua tâm A, thì D thuộc giao của (C') và \((C_1)\). Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của (C') với \((C_1)\).

    Bài 1.37 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(x + y - 2 = 0\). Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 45°.
    Giải:
    Dễ thấy d chứa điểm \(H\left( {1;1} \right)\) và \(OH \bot d\). Gọi H' là ảnh của H qua phép quay tâm O góc 45° thì \(H' = \left( {0;\sqrt 2 } \right)\). Từ đó suy ra d' phải qua H' và vuông góc với OH'. Vậy phương trình của d' là \(y = \sqrt 2 \).

    Bài 1.38 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60°. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.
    Giải:
    03.jpg
    Gọi \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\) là phép quay tâm G góc \(120^0\). Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.
    Tương tự \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\) cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra \(GP = GN,GQ = GM\). Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\) biến PQ thành NM nên \(PQ = NM\). Từ đó suy ra hai tam giác \(NQM\) và \(PMQ\) bằng nhau. Do đó \(\widehat {NQM} = \widehat {PMQ}\). Tương tự \(\widehat {QNP} = \widehat {MPN}\).
    Từ đó suy ra \(\widehat {PNQ} + \widehat {NQM} = {180^0}\)
    Do đó \(NP\parallel QM\). Vậy ta có tứ giác \(MPNQ\) là hình thang cân.

    Bài 1.39 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} = {k^2}\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} \)
    Giải:
    Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có \(B'C' = kBC\), từ đó suy ra \(B'C{'^2} = {k^2}B{C^2}\). Hay \( {\left( {\overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'B'} } \right)^2} = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\). Suy ra
    \(A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'B{'^2}\)
    \(= {k^2}\left( {A{C^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + A{B^2}} \right)\).
    Để ý rằng \(A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} = {k^2}A{B^2}\) ta suy ra điều phải chứng minh.

    Bài 1.40 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểmA, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} = p\overrightarrow {AC} \) nếu $$\overrightarrow {A'B'} = p\overrightarrow {A'C'} \) thì , trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B' nằm giữa hai điểm A’ và C’.
    Giải:
    Để ý rằng
    \(\eqalign{
    & A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} \cr
    & = {k^2}A{B^2},\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} \cr
    & = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \)
    Ta có:
    \({\left( {\overrightarrow {A'B'} - p\overrightarrow {A'C'} } \right)^2} = A'B{'^2} - 2p\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} + {p^2}A'C{'^2}\)
    \(\eqalign{
    & = {k^2}\left( {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {p^2}A{C^2}} \right) \cr
    & = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AB} - p\overleftarrow {AC} } \right)^2} = 0 \cr} \)
    Từ đó suy ra \(\overrightarrow {A'B'} - p\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow 0 \)
    Giả sử ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó \(\overrightarrow {AB} = t\overrightarrow {AC} \), với \(0 < t < 1\). Áp dụng bài 1.39 ta cũng có \(\overrightarrow {A'B} = t\overrightarrow {A'C'} \), với \(0 < t < 1\). Do đó ba điểm \(A',B',C'\) thẳng hàng và điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'.

    Bài 1.41 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {2{\rm{x}} - 1; - 2y + 3} \right)\). Chứng minh F là một phép đồng dạng.
    Giải:
    Lấy điểm \(N\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), thì điểm \(N'\left( {2{x_1} - 1; - 2{y_1} + 3} \right) = F\left( N \right)\). Ta có
    \(\eqalign{
    & M'N{'^2} = {\left( {2{{\rm{x}}_1} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + {\left( { - 2{y_1} + 2y} \right)^2} \cr
    & = 4\left[ {{{\left( {{x_1} - x} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - y} \right)}^2}} \right] = 4M{N^2} \cr} \)
    Từ đó suy ra với hai điểm M, N tùy ý và M', N' lần lượt là ảnh của chúng qua F ta có \(M'N' = 2MN\). Vậy F là phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng là 2.

    Bài 1.42 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Dựng tam giác BAC vuông cân tại A có C là một điểm cho trước, còn hai đỉnh A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước.
    Giải:
    04.jpg
    Xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phéo quay tâm C góc \( \pm {45^0}\) và phép vị tự tâm C tỉ số \(k = \sqrt 2 \). Vì A thuộc a nên B thuộc đường thẳng a’ là ảnh của a qua phép đồng dạng nói trên. Vậy b là giao của a’ và b. Từ đó suy ra cách dựng . Bài toán có hai nghiệm hình.