Sách bài tập Toán 11 - Hình học 11 cơ bản - Chương II - Bài 1. Đai cương về đường thằng và mặt phẳng

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 2.1 trang 66 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD
    a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).
    b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
    Giải:
    (h.2.20)
    01.jpg
    a) Nhận xét:
    Do giả thiết cho IJ không song song với CDvà chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.
    Gọi \(K = IJ \cap CD\).
    Ta có : M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM);
    \(\left\{ \matrix{
    K \in IJ \hfill \cr
    IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right)\) và \(\left\{ \matrix{K \in CD \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {AC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)
    Vậy \(\left( {MIJ} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MK\)
    b) Với \(L = JN \cap AB\) ta có:
    \(\left\{ \matrix{
    L \in JN \hfill \cr
    JN \subset \left( {MNJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNJ} \right)\)
    \(\left\{ \matrix{
    L \in AB \hfill \cr
    AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {ABC} \right)\)
    Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
    Gọi \(P = JL \cap A{\rm{D}},Q = PM \cap AC\)
    Ta có:
    \(\left\{ \matrix{
    Q \in PM \hfill \cr
    PM \subset \left( {MNP} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNJ} \right)\)
    Và \(\left\{ \matrix{Q \in AC \hfill \cr AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {ABC} \right)\)
    Nên Q là điểm chung thứ hai của (MNJ) và (ABC)
    Vậy \(LQ = \left( {ABC} \right) \cap \left( {MNJ} \right)\).

    Bài 2.2 trang 66 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.
    Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
    a) (SBM) và (SCD);
    b) (ABM) và (SCD);
    c) (ABM) và (SAC).
    Giải:
    (h.2.21)
    02.jpg
    a) Ta có ngay S, M là hai điểm chung của (SBM) và (SCD) nên \(\left( {SBM} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = SM\).
    b) M là điểm chung thứ nhất của (AMB) và (SCD)
    Gọi \(I = AB \cap C{\rm{D}}\)
    Ta có: \(I \in AB \Rightarrow I \in \left( {ABM} \right)\)
    Mặt khác \(I \in C{\rm{D}} \Rightarrow I \in \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)
    Nên \(\left( {AMB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = IM\).
    c) Gọi \(J = IM \cap SC\).
    Tacó: \(J \in SC \Rightarrow J \in \left( {SAC} \right)\) và \(J \in IM \Rightarrow J \in \left( {ABM} \right)\).
    Hiển nhiên \(A \in \left( {SAC} \right)\) và \(A \in \left( {ABM} \right)\)
    Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABM} \right) = AJ\)

    Bài 2.3 trang 66 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC)
    a) Hãy xác định điểm L.
    b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
    Giải:
    (h.2.22)
    03.jpg
    a) Gọi \(N = DK \cap AC;M = DJ \cap BC\).
    Ta có \(\left( {DJK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN \Rightarrow MN \subset \left( {ABC} \right)\).
    Vì \(L = \left( {ABC} \right) \cap JK\) nên dễ thấy \(L = JK \cap MN\).
    b) Ta có I là một điểm chung của (ABC) và (IJK).
    Mặt khác vì \(L = MN \cap JK\) mà \(MN \subset \left( {ABC} \right)\) và \(JK \subset \left( {IJK} \right)\) nên L là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IJK), suy ra \(\left( {IJK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = IL\).
    Gọi \(E = IL \cap AC;F = EK \cap C{\rm{D}}\). Lí luận tương tự ta có \(EF = \left( {IJK} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).
    Nối FJ cắt BD tại P; P là một giao điểm (IJK) và (BCD).
    Ta có \(PF = \left( {IJK} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)
    Và \(IP = \left( {AB{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IJK} \right)\)

    Bài 2.4 trang 66 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho tứ diện ABCDcó các điểm M và N lần lượt là trung điểm của ACvà BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD( K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).
    Giải:
    04.jpg
    Nhận xét. Trên hình vẽ 2.23 không có sẵn đường thẳng nào của mặt phẳng (MNK) cắt AD. Ta xét mặt phẳng chứa AD chẳng hạn (ACD) rồi tìm giao tuyến ∆ của (ACD) với (MNK). Sau đó tìm giao điểm I của ∆ và AD, I chính là giao điểm phải tìm.
    Gọi \(L = NK \cap C{\rm{D}}\)
    Ta có \(L \in NK \Rightarrow L \in \left( {MNK} \right)\)
    \(L \in C{\rm{D}} \Rightarrow L \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)
    Nên \(ML = \left( {AC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {MNK} \right) = \Delta \)
    \(\Delta \cap A{\rm{D}} = I \Rightarrow I = \left( {MNK} \right) \cap A{\rm{D}}\)

    Bài 2.5 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho hình chóp S. ABCD. Lấy M, N và P lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm ( nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp.
    Giải:
    (h.2.24)
    05.jpg
    Ta lần lượt tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
    Gọi \(I = MN \cap SB\)
    Ta có:
    \(\left\{ \matrix{
    I \in MN \hfill \cr
    MN \subset \left( {MNP} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow I \in \left( {MNP} \right)\)
    Vậy \(I = SB \cap \left( {MNP} \right)\).
    Từ đó, làm tương tự ta tìm được giao điểm của (MNP) với các cạnh còn lại.
    Cụ thể :
    Gọi \(J = IP \cap SC\), ta có \(J = SC \cap \left( {MNP} \right)\)
    Gọi \(E = NP \cap CD\), ta có \(E = CD \cap \left( {MNP} \right)\)
    Gọi \(K = J{\rm{E}} \cap SD\), ta có \(K = SD \cap \left( {MNP} \right)\)

    Bài 2.6 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
    Giải:
    (h.2.25)
    06.jpg
    Gọi
    \(\eqalign{
    & O = AC \cap B{\rm{D}} \cr
    & K = SO \cap AN \cr
    & L = B{\rm{D}} \cap AN \cr
    & P = KL \cap S{\rm{D}} \cr}\)
    Ta có \(P = S{\rm{D}} \cap \left( {AMN} \right)\).
    Nhận xét . Trong cách giải trên, ta lấy (SBD) là mặt phẳng chứa SD, rồi tìm giao tuyến của (SBD) với (AMN). Từ đó tìm giao điểm của giao tuyến này và SD.

    Bài 2.7 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K.
    Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
    Giải:
    (h.2.26)
    07.jpg
    Ta có:
    \(\eqalign{
    & I = DE \cap AB \cr
    & DE \subset \left( {DEF} \right) \Rightarrow I \in \left( {DEF} \right) \cr
    & AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right) \cr} \)
    Lí luận tương tự thì J, K cũng lần lượt thuộc về hai mặt phẳng trên nên I, J, K thuộc về giao tuyến của (ABC) và (DEF) nên I, J, K thẳng hàng.

    Bài 2.8 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong \(\left( \alpha \right)\) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) sao cho OA và OB lần lượt cắt \(\left( \beta \right)\) tại A’ và B’.
    a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng.
    b) Trong \(\left( \alpha \right)\) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt \(\left( \beta \right)\) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
    Giải:
    (h.2.27)
    08.jpg
    a) I, A’, B’ là ba điểm chung của hai mặt phẳng (OAB) và \(\left( \beta \right)\) nên chúng thẳng hàng.
    b) I, J, K là ba điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng.

    Bài 2.9 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 11.
    Cho tứ diện S.ABC có D, E lần lượt trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q.
    a) Gọi \(I = AM \cap DN,J = BP \cap EQ\). Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng.
    b) Giả sử \(AN \cap DM = K,BQ \cap EP = L\). Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng.
    Giải:
    a) Ta thấy:
    + G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow G \in BD\)
    + \(I \in DN\) (theo cách dựng hình).
    + \(J \in BP\) (theo cách dựng hình).
    \( \Rightarrow S,I,J,G \in mp(SPN)\)
    Tương tự \( \Rightarrow S,I,J,G \in mp(SQM)\)
    Vậy \(S,I,J,G\) là điểm chung của \(mp(SPN)\) và \(mp(SQM)\)
    09.png
    b)
    10.png
    Ta thấy:
    + \(S = PD \cap EM\)
    + \(K \in DM\)
    + \(L \in PE\)
    \( \Rightarrow S,K,L \in (SPM)\)
    Tương tự \( \Rightarrow S,K,L \in (SQN)\)
    Vậy \(S,K,L\) là điểm chung của \((SPM)\) và \((SQN)\)