Đề 1 trang 87 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cho điểm M thay đổi trên cạnh SD Câu 1. ( 3 điểm) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) Câu 2. ( 3 điểm) Xác định giao điểm N của SC và mặt phẳng (ABM). Tứ giác ABNM là hình gì? Có thể là hình bình hành không? Câu 3. ( 4 điểm) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của AN với BM và AM với BN. Chứng minh rằng khi M chạy trên cạnh SD thì I, J lần lượt chạy trên các đường thẳng cố định. Giải: Câu 1. Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song ADvà BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC. Câu 2. Hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua M và song song vớiAB và CD. Vậy qua M ta vẽ đường thẳng d’, đường thẳng này cắt SC tại N. Đây là điểm cần tìm. Ta thấy ngay ABNM là hình thang. Để ABNM là hình bình hành ta phải có thêm AM song song với BN. Khi đó AM và BN phải song song với d. Điều này không thể xảy ra khi M thuộc đoạn SD và không trùng với hai đầu mút S và D. Câu 3. \(I = AN \cap BM\) nên I lần lượt thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).Như vậy I phải thuộc giao tuyến SO của hai mặt phẳng này, ở đây \(O = AC \cap B{\rm{D}}\). Tương tự , ta có J thuộc d (h.2.81). Đề 2 trang 88 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và cho M là một điểm thay đổi trên cạnh SC. Một mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và song song với BD. Câu 1. ( 3 điểm) Chứng minh rằng (P) luôn chứa một đường thẳng cố định khi M thay đổi. Câu 2. ( 3 điểm) Mặt phẳng (P) cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Hãy xác định các điểm F và F. Câu 3. ( 4 điểm) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của ME với CB và MF với CD. Chứng minh ba điểm I, A, J thẳng hàng. Giải: Câu 1. Mặt phẳng (P) qua A và song song với BD nên (P) sẽ cắt (ABCD) theo giao tuyến d đi qua A và song song với BD. A và BD cố định nên d cố định. Câu 2. Gọi \(K = AM \cap SO\). Mặt phẳng (P) đi qua K và song song với BD nên cắt (SBD) theo giao tuyến d’ đi qua K và song song với BD. Vậy qua K, ta vẽ d’ song song với BD. Đường thẳng d’ cắt SB và SD lần lượt tại E và F. Đây là các điểm cần tìm. Câu 3. (h.2.82) Ta có A, I, J là ba điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (ABCD) nên chúng thẳng hàng. Đề 3 trang 88 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’ Câu 1. ( 3 điểm) Xác định các giao điểm B’, C’, D’ Câu 2. ( 3 điểm) Chứng minh \({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = 1\) Câu 3. ( 4 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \({{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}}\) Giải: Câu 1. (h.2.83) \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right) = BM\) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của BM và CD; CM và BD; DM và BC. Ta có : \(\left( {ABM} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = AI\). Trong mặt phẳng (ABM), kẻ \(MB'\parallel AB\) với \(B' = MB' \cap AI\). Ta có: \(B' = MB' \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\) Các điểm C’ và D’ được xác định tương tự. Câu 2. (h.2.84) Trong tam giác ABI, ta có: \({{MB'} \over {AB}} = {{MI} \over {BI}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Tương tự ta cũng có: \({{MC'} \over {AC}} = {{MJ} \over {CJ}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) \({{MD'} \over {AD}} = {{MK} \over {DK}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\) Cộng (1), (2), (3) lại ta có: \({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{M{\rm{D}}'} \over {A{\rm{D}}}} = {{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}\) Ta chứng minh: \({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = 1\) Dễ thấy rằng : \({{{S_{MB{\rm{D}}}}} \over {{S_{CB{\rm{D}}}}}} = {{{1 \over 2}B{\rm{D}}.d\left( {M,B{\rm{D}}} \right)} \over {{1 \over 2}B{\rm{D}}{\rm{.d}}\left( {C,B{\rm{D}}} \right)}} = {{MJ} \over {CJ}}\) Tương tự \({{{S_{MC{\rm{D}}}}} \over {{S_{{\rm{BCD}}}}}} = {{MI} \over {BI}}\), \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{DBC}}}} = {{MK} \over {DK}}\) Như vậy: \({{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}} = {{{S_{MC{\rm{D}}}} + {S_{MB{\rm{D}}}} + {S_{MBC}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = {{{S_{BC{\rm{D}}}}} \over {{S_{BC{\rm{D}}}}}} = 1\) Câu 3. \({{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {AC}} + {{MD'} \over {A{\rm{D}}}} \le {\left( {{{{{MI} \over {BI}} + {{MJ} \over {CJ}} + {{MK} \over {DK}}} \over 3}} \right)^3} = {1 \over 9}\). Dấu bằng xảy ra khi \({{MI} \over {BI}} = {{MJ} \over {CJ}} = {{MK} \over {DK}} = {1 \over 3}\), chẳng hạn khi M là trọng tâm. Vậy \(\max \left( {{{MB'} \over {AB}}.{{MC'} \over {AC}}.{{MD'} \over {A{\rm{D}}}}} \right) = {1 \over 9}\)
