Sách bài tập Toán 11 - Hình học 11 nâng cao - Chương I - Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 30 trang 10 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho hai điểm A, B phân biệt. Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến A thành B và biến B thành A thì F là phép đối xứng trục hoặc phép đối xứng tâm.
    Giải
    Vì F biến A thành B và biến B thành A nên F biến trung điểm I của AB thành chính nó. Nếu gọi c là đường trung trực của AB thì F biến c thành chính nó. Trên c lấy hai điểm C và C’ đối xứng với nhau qua I thì hoặc F biến C thành C hoặc F biến C thành C'.
    Nếu F biến C thành C thì F biến tam giác ABC thành tam giác BAC. Vậy F chính là phép đối xứng trục \({Đ_C}\).
    Nếu F biến C thành C’ thì F biến tam giác ABC thành tam giác BAC’. Vậy F chính là phép đối xứng tâm \({Đ_I}.\)
    07.png

    Câu 31 trang 10 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Chứng minh rằng hợp thành của một số phép quay với các tâm quay trùng nhau là một phép quay.
    Giải
    Giả sử Q và Q’ là hai phép quay có tâm O với góc quay lần lượt là \(\varphi \) và \(\varphi ',\) còn F là hợp thành của Q và Q’. Với mọi điểm M khác O, giả sử Q biến M thành \({M_1}\) và Q’ biến \({M_1}\) thành \({M_2}\). Khi đó ta có:
    \(\eqalign{
    & OM = O{M_1} = O{M_2} \cr
    & \left( {OM,O{M_1}} \right) = \varphi ,\,\left( {O{M_1},O{M_2}} \right) = \varphi ' \cr} \)
    Suy ra \(OM = O{M_2}\)
    Và \(\left( {OM,O{M_2}} \right) = \left( {OM,O{M_1}} \right) + \left( {O{M_1},O{M_2}} \right) \)
    \(= \varphi + \varphi '\)
    Vậy hợp thành F là phép quay tâm O góc quay bằng \(\varphi + \varphi '\)
    Từ đó suy ra: Hợp thành của một số hữu hạn có tâm trùng nhau là một phép quay với tâm đó và có góc quay bằng tổng các góc quay của các phép quay đã cho.
    08.png

    Câu 32 trang 10 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Chứng minh rằng:
    a) Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là một phép quay.
    b) Mỗi phép quay đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau, bằng nhiều cách.
    c) Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép quay.
    d) Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.
    Giải
    a) Giả sử cho hai phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) có trục a và b cắt nhau tại O, còn F là hợp thành của \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\). Lấy hai điểm A, B khác O lần lượt nằm trên a, b sao cho góc AOB không bù và đặt \(\varphi = \left( {OA,OB} \right).\)
    (Chú ý rằng khi đó \(\left| \varphi \right| = \widehat {AOB}\) là góc hợp bởi hai đường thẳng a và b).
    Với mọi điểm M khác O, giả sử \({Đ_a}\) biến M thành \({M_1}\) và \({Đ_b}\) biến \({M_1}\) thành \({M_2}\). Khi đó, nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của \(M{M_1}\) và \({M_1}{M_2}\) thì có:
    \(OM = O{M_1} = O{M_2}\)
    Và \(\left( {OM,O{M_2}} \right) = \left( {OM,O{M_1}} \right) + \left( {O{M_1},O{M_2}} \right)\)
    \(\eqalign{
    & = 2\left( {OH,O{M_1}} \right) + 2\left( {O{M_1},OK} \right) \cr
    & = 2\left( {OH,OK} \right) = 2\varphi \cr} \)
    Vậy phép hợp thành F là phép quay tâm O góc quay \(2\varphi \)
    09.png
    b) Giả sử Q là phép quay tâm O góc quay \(\varphi .\) Ta lấy đường thẳng a nào đó đi qua O và b là ảnh của a qua phép quay tâm O góc quay \({\varphi \over 2}\) thì hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) chính là phép quay Q (theo câu a). Cố nhiên có thể chọn a bằng nhiều cách khác nhau.
    c) Nếu F là hợp thành của 2n phép đối xứng có trục đối xứng đồng quy tại O thì F là hợp thành của n phép quay có tâm O và do đó F là một phép quay.
    d) Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục có các trục đều đi qua O. Gọi \({Đ_a}\) là phép đối xứng đầu tiên, thì 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép quay Q tâm O. Ta xem Q là hợp thành của hai phép đối xứng trục, trong đó phép thứ nhất là \({Đ_a}\) và phép thứ hai là \({Đ_b}\). Như vậy, F là hợp thành của ba phép đối xứng trục: \({Đ_a}\), \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\). Vậy F chính là phép đối xứng trục \({Đ_b}\).

    Câu 33 trang 10 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D.
    Giải
    Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C. Vậy quỹ tích C là đường tròn đối xứng với (O) qua I.
    Phép quay Q tâm I góc quay \({90^o}\) biến A thành B (hoặc thành D), phép quay Q’ tâm I góc quay \( - {90^o}\) biến A thành D (hoặc thành B). Vậy quỹ tích B và D là ảnh của (O) qua hai phép quay đó.

    Câu 34 trang 10 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.
    Giải
    Phép quay tâm G góc quay \({120^o}\) biến A thành B (hoặc C) và phép quay tâm G góc quay \({240^o}\) biến A thành C (hoặc B). Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên.

    Câu 35 trang 10 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Gọi \({M_1}\) là điểm đối xứng của M qua A, \({M_2}\) là điểm đối xứng của \({M_1}\) qua B, \({M_3}\) là điểm đối xứng của \({M_2}\) qua C. Tìm quỹ tích của điểm \({M_3}\).
    Giải
    Gọi D là trung điểm của \(M{M_3}\) thì ABCD là hình bình hành. Do đó, điểm D cố định. Vì phép đối xứng qua điểm D biến M thành \({M_3}\) nên quỹ tích \({M_3}\) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng đó.

    Câu 36 trang 10 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho hai đường thẳng a, b phân biệt và điểm C không nằm trên chúng. Hãy xác định hai điểm A, B lần lượt nằm trên a và b sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
    Giải
    Giả sử đã dựng tam giác đều ABC thỏa mãn điều kiện cho. Khi đó, góc \(\left( {CA,CB} \right) = \pm{60^o}.\) Nếu \(\left( {CA,CB} \right) = {60^o}\) thì phép quay Q tâm C góc quay \({60^o}\) sẽ biến A thành B và biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ đi qua B. Vậy ta có thể xác định điểm B như sau:
    10.png
    Dựng đường thẳng a’ là ảnh của đường thẳng a qua phép quay Q, rồi lấy giao điểm B của a’ và b. Điểm A được xác định như là ảnh của B qua phép quay tâm C góc quay \( - {60^o}.\)
    Làm tương tự cho trường hợp \(\left( {CA,CB} \right) = - {60^o}.\)
    Bài toán có ít nhất một nghiệm hình, có thể có vô số nghiệm hình.

    Câu 37 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trên một cạnh của hình vuông. Tìm các điểm N, P nằm trên cạnh của hình vuông sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
    Giải
    Giả sử đã dựng được tam giác đều MNP thỏa mãn điều kiện của bài toán. Nếu dùng phép quay Q tâm M góc quay \({60^o}\) thì N biến thành P và hình vuông ABCD biến thành hình vuông A’B’C’D’ mà P cũng nằm trên hình vuông này. Từ đó, suy ra cách dựng.

    Câu 38 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho tam giác đều ABC với (AB, AC) = (BC, BA) = (CA, CB) = \({60^o}.\) Hãy kể ra các phép dời hình biến tam giác ABC thành chính nó.
    Giải
    Nếu F là phép dời hình biến tam giác đều ABC thành chính nó thì F phải biến đỉnh của tam giác thành đỉnh của tam giác đó. Ta có thể kí hiệu tam giác với đỉnh A, B, C theo sáu cách khác nhau:
    \(ABC,\,ACB,\,BCA,\,CAB,\,CBA\)
    Cho nên có sau phép dời hình biến tam giác ABC thành một trong sáu tam giác kể trên. Cụ thể là:
    a) Phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác ABC: Đó là phép đồng nhất.
    b) Phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác ACB: Đó là phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh BC.
    c) Phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác BCA: Đó là phép quay tâm O (tâm của tam giác đều) với góc quay \({120^o}.\)
    d) Phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác BAC: Đó là phép đối xứng qua trung trực của cạnh AB.
    e) Phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác CAB: Đó là phép quay quanh O với góc quay \( - {120^o}.\)
    f) Phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác CBA: Đó là phép đối xứng qua trung trực của cạnh AC.

    Câu 39 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho tam giác đều ABC với (AB, AC) = (BC, BA) = (CA, CB) = \({60^o}.\) Gọi \({Q_A},\,{Q_B}\) là các phép quay góc \({60^o}\) lần lượt có tâm là A và B. Gọi F là hợp thành của \({Q_B}\) và \({Q_A}.\)
    a) Phép F biến các điểm A, B, C thành các điểm nào?
    b) Phép F là phép gì?
    c) Phép hợp thành của \({Q_A}\) và \({Q_B}\) là phép gì?
    Giải
    11.png
    a) Ta gọi C’ là điểm đối xứng với điểm C qua AB. Phép quay \({Q_B}\) biến A thành C’, B thành B và biến C thành A. Phép quay \({Q_A}\) biến C’ thành B, biến B thành C và biến A thành A. Vậy hợp thành F là phép dời hình biến ba điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm B, C, A.
    b) Từ câu a), suy ra : Nếu gọi O là tâm tam giác đều ABC thì F là phép quay tâm O góc quay \({120^o}.\)

    Câu 40 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho tam giác đều ABC với (AB, AC) = (BC, BA) = (CA, CB) = \({60^o}.\) Gọi \({Đ_{AB}},\,{Đ_{BC}}\) và \({Đ_{AC}}\) là các phép đối xứng lần lượt qua các đường thẳng AB, BC, AC.
    a) Hợp thành của \({Đ_{BC}}\) và \({Đ_{AB}}\) là phép gì?
    b) Hợp thành của \({Đ_{AB}}\) và \({Đ_{AC}}\) là phép gì?
    c) Gọi \({Q_A}\) và \({Q_B}\) là phép quay góc \({120^o}\) với tâm lần lượt A và B. Hợp thành \({Q_B}\) và \({Q_A}\) là phép gì?
    Giải
    a) Hợp thành của \({Đ_{BC}}\) và \({Đ_{AB}}\) là phép quay \({Q_B}\) tâm B góc quay \({120^o}\)
    b) Hợp thành của \({Đ_{AB}}\) và \({Đ_{AC}}\) là phép quay \({Q_A}\) tâm A góc quay \({120^o}\)
    c) Hợp thành \({Q_B}\) và \({Q_A}\) là hợp thành của bốn phép đối xứng theo thứ tự là :
    \({Đ_{BC}},\,{Đ_{AB}},\,{Đ_{AB}},\,{Đ_{AC}}.\)
    Vì hợp thành của \({Đ_{AB}}\) và \({Đ_{AB}}\) là phép đồng nhất nên F là hợp thành của hai phép \({Đ_{BC}}\) và \({Đ_{AC}}\). Vậy F là phép quay tâm C với góc quay \({240^o}\) (hoặc có thể nói là góc quay \( - {120^o}\))

    Câu 41 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Hãy chỉ ra tất cả các phép dời hình biến hình vuông ABCD thành chính nó.
    Giải
    Nếu F là phép dời hình biến hình vuông ABCD thành chính nó thì F biến tâm O của hình vuông thành chính nó. Vì F biến đỉnh A thành một trong các đỉnh A, B, C, D nên ta có các trường hợp sau:
    a) F biến A thành chính nó: Khi đó F hoặc là phép đồng nhất, hoặc là phép đối xứng qua đường thẳng OA.
    b) F biến A thành B: Khi đó F hoặc là phép đối xứng qua trung trực cạnh AB, hoặc là phép quay tâm O góc quay (OA, OB).
    c) F biến A thành C: Khi đó F hoặc là phép đối xứng qua đường thẳng BD, hoặc là phép đối xứng tâm O.
    d) F biến A thành D: Khi đó F hoặc là phép đối xứng qua trung trực cạnh AD hoặc là phép quay \(\left( {OA,OD} \right) = 3\left( {OA,OB} \right).\)

    Câu 42 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Cho hai phép quay \({Q_A}\) và \({Q_B}\) có tâm quay là A và B (phân biệt) và có cùng góc quay \({90^o}.\) Gọi F là hợp thành của \({Q_A}\) và \({Q_B}\), F’ là hợp thành của \({Q_B}\) và \({Q_A}\). Hãy chứng tỏ rằng F và F’ là những phép đối xứng tâm và nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của phép đó.
    Giải
    12.png
    Lấy điểm O sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân với góc \(\left( {OA,AB} \right) = \left( {BA,BO} \right) = {45^o}.\) Khi đó, \({Q_A}\) là hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_{AO}}\) và \({Đ_{AB}},\) còn \({Q_B}\) là hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_{AB}}\) và \({Đ_{BO}}.\) Vậy F là hợp thành của bốn phép đối xứng trục theo thứ tự: \({Đ_{AO}},\,{Đ_{AB}},\,{Đ_{AB}},\,{Đ_{BO}},\) tức cũng là hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_{AO}}\) và \({Đ_{BO}}.\) Vì AO đối xứng qua điểm O. Chú ý rằng có thể xác định điểm O bởi điều kiện: Tam giác OAB vuông cân \(\left( {OB,OA} \right) = {90^o}.\)
    Tương tự F là phép đối xứng qua tâm O’, sao cho O’AB là tam giác vuông cân mà \(\left( {OA,OB} \right) = {90^o}.\)

    Câu 43 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm O và O’.
    a) Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn luôn đi qua một điểm cố định.
    b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân.
    Giải
    a) \({Q_A}\) và \({Q_B}\) lần lượt là các phép quay tâm A, B với góc quay:
    \(\left( {AQ,AC} \right) = \left( {BC,BN} \right) = {90^o}.\)
    Theo bài 42 ta có: Hợp thành của hai phép đó là phép đối xứng qua điểm H xác định. Vì phép đối xứng tâm H biến Q thành N nên H là trung điểm của đoạn thẳng NQ, tức là đường thẳng NQ luôn luôn đi qua điểm H cố định.
    13.jpg
    b) Gọi \({Q_O}\) và \({Q_{O'}}\) là các phép quay có góc quay \({90^o}\) với tâm quay tương ứng là O và O’ thì phép hợp thành F của chúng biến B thành A. Nhưng vì F là đối xứng tâm, nên tâm đối xứng là trung điểm I của AB. Suy ra tam giác IOO’ vuông cân tại đỉnh I.
    Cách giải khác
    Phép quay tâm C góc quay \({90^o}\) biến A thành P và biến M thành B. Bởi vậy, ta có AM = PB và \(AM \bot PB.\) Chú ý rằng IO là đường trung bình của tam giác ABM và IO’ là đường trung bình của tam giác APB nên suy ra IOO’ là tam giác vuông cân.

    Câu 44 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Về phía ngoài của hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của bốn hình vuông đó là đỉnh của một hình vuông.
    Giải
    14.png
    Gọi \({O_1},\,{O_2},\,{O_3},\,{O_4}\) là tâm các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD thì I là tâm đối xứng của hình gồm hình bình hành và bốn hình vuông đã cho. Bởi vậy I là trung điểm của \({O_1}{O_3}\) và \({O_2}{O_4}.\) Nói cách khác \({O_1}{O_2}{O_3}{O_4}\) là hình bình hành. Xét tam giác ABC, theo kết quả bài tập 43 ta có \(I{O_1}{O_2}\) là tâm giác vuông cân. Vậy \({O_1}{O_2}{O_3}{O_4}\) là hình vuông.

    Câu 45 trang 12 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Về phía ngoài của tứ giác lồi ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tâm của bốn hình vuông đó làm thành một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
    Giải
    15.png
    Gọi \({O_1},\,{O_2},\,{O_3},\,{O_4}\) là tâm hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA và I là trung điểm của đoạn thẳng AC. Xét tam giác ABC và tam giác ACD thì theo kết quả bài tập 43 ta có \(I{O_1}{O_2}\) và \(I{O_4}{O_3}\) là những tam giác vuông cân. Từ đó, Suy ra phép quay tâm I góc quay \( - {90^o}\) biến \({O_1}\) thành \({O_2}\) và biến \({O_3}\) thành \({O_4}\). Do đó, ta có:
    \({O_1}{O_3} = {O_2}{O_4}\) và \({O_1}{O_3} \bot {O_2}{O_4}\)

    Câu 46 trang 12 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.
    Trên hình 1 có ba điểm thẳng hàng A, B, C và ba hình vuông ABMN, BCPQ, ACRS với tâm lần lượt là X, Y, Z. Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AC.
    a) Chứng minh rằng các tam giác Z’XY, X'YZ, Y’XZ là những tam giác vuông cân.
    b) Chứng minh rằng hai đoạn thẳng AY, XZ bằng nhau và vuông góc với nhau, cũng như thế đối với hai đoạn BZ, XY và CX, YZ.
    16.png
    Giải
    a) Phép quay tâm B góc quay \({90^o}\) biến A thành M và Q thành C. Bởi vậy, biến đoạn thẳng AQ thành MC. Suy ra hai đoạn thẳng AQ, MC bằng nhau và vuông góc với nhau. Chú ý rằng Z’X là đường trung bình của tam giác AMC, còn Z’Y là đường trung bình của tam giác CAQ nên tam giác Z’XY vuông cân tại đỉnh Z’.
    Dùng phép quay tâm C góc quay \({90^o}\) ta chứng minh được đoạn thẳng PA, BR bằng nhau và vuông góc với nhau. Suy ra X’YZ là tam giác vuông cân tại X’. Tương tự cũng chứng minh được Y’XZ là tam giác vuông cân tại Y’.
    17.png
    b) Phép quay tâm X’ góc quay \({90^o}\) biến điểm A thành điểm X và biến Y thành điểm Z. Suy ra hai đoạn thẳng AY, XZ bằng nhau và vuông góc với nhau.