Câu 53 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ không bằng nhau nhưng có các cạnh tương ứng song song: AB // A’B’, BC // B’C’ và CA // C’A’. Chứng minh rằng có phép vị tự biến tam giác này thành tam giác kia. Giải (h.32) Vì AB và A’B’ song song nhưng không bằng nhau nên hai đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại điểm O. Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số \(k = {{OA'} \over {OA}}\) Thì V biến điểm C thành điểm C1 sao cho: \(A'{C_1}//AC;\,B'{C_1}\,//BC.\) Suy ra C1 trùng với C’, tức là V cũng biến C thành C’. Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 54 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho hai phép vị tự V1 có tâm O1 tỉ số k1 và V2 có tâm O2 tỉ số k2. Gọi F là hợp thành của V1 và V2. Chứng minh rằng: a) F là một phép tịnh tiến nếu k1k2 = 1. Hãy xác định vec tơ tịnh tiến. b) F là một phép vị tự nếu k1k2 1. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó. Giải Lấy một điểm M bất kỳ, nếu V1 biến M thành M1 và V2 biến M1 thành M2 thì \(\overrightarrow {{O_1}{M_1}} = {k_1}\overrightarrow {{O_1}M} \) và \(\overrightarrow {{O_2}{M_2}} = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{M_1}} \). Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M2. Gọi I là ảnh của O1 qua phép vị tự V2, tức là \(\overrightarrow {{O_2}I} = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} \). Khi đó \(\overrightarrow {I{M_2}} = {k_2}\overrightarrow {{O_1}{M_1}} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \). a) (h.33) Nếu k1k2 = 1 thì \(\overrightarrow {I{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}M} \) nên \(\overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}I} = \overrightarrow {{O_1}{O_2}} + \overrightarrow {{O_2}I} = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \). Vậy trong trường hợp này F là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \). b) (h.34) Nếu k1k2 \(\ne\) 1 ta chọn điểm O3 sao cho \(\overrightarrow {{O_3}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \) Khi đó \(\overrightarrow {{O_3}{M_2}} = \overrightarrow {{O_3}I} + \overrightarrow {I{M_2}} \) \( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} + {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \) \( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}M} \) Vậy F là phép vị tự tâm O3 tỉ số \({k_1}{k_2}\). Chú ý rằng tâm O3 của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức: \(\overrightarrow {{O_3}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \) Hay \(\overrightarrow {{O_3}{O_1}} + \overrightarrow {{O_1}{O_2}} + \overrightarrow {{O_2}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \). Suy ra: \(\overrightarrow {{O_1}{O_2}} + {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} = \left( {1 - {k_1}{k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_3}} \). Do đó: \(\overrightarrow {{O_1}{O_3}} = {{1 - {k_2}} \over {1 - {k_1}{k_2}}}\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \). Cũng chú ý rằng tâm của ba phép vị tự V1, V2 và F là ba điểm thẳng hàng O1, O2 và O3. Câu 55 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho ba đường tròn \(\left( {{I_1};{R_1}} \right),\left( {{I_2};{R_2}} \right),\left( {{I_3};{R_3}} \right)\) không đồng tâm và không bằng nhau. Gọi \(O_3^ + \) và \(O_3^ - \) lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn \(\left( {{I_1};{R_1}} \right)\) và \(\left( {{I_2};{R_2}} \right)\) \(O_1^ + \) và \(O_1^ - \) lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn \(\left( {{I_2};{R_2}} \right)\) và \(\left( {{I_3};{R_3}} \right)\); \(O_2^ + \) và \(O_2^ - \) lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn \(\left( {{I_3};{R_3}} \right)\) và \(\left( {{I_1};{R_1}} \right)\). Chứng minh rằng mỗi bộ ba điểm sau đây thẳng hàng: \(O_1^ + ,O_2^ + ,O_3^ + \); \(O_1^ + ,O_2^ - ,O_3^ - \); \(O_1^ - ,O_2^ + ,O_3^ - \) và \(O_1^ - ,O_2^ - ,O_3^ + \). Giải Phép vị tự tâm \(O_3^ + \) tỉ số \({{{R_2}} \over {{R_1}}}\) biến đường tròn \(\left( {{I_1};{R_1}} \right)\) thành đường tròn \(\left( {{I_2};{R_2}} \right)\); phép vị tự tâm \(O_1^ + \) tỉ số \({{{R_3}} \over {{R_2}}}\) biến đường tròn \(\left( {{I_2};{R_2}} \right)\) thành đường tròn \(\left( {{I_3};{R_3}} \right)\). Theo câu b) bài 54, phép hợp thành của hai phép vị tự đó là phép vị tự, có tỉ số: \({{{R_2}} \over {{R_1}}}.{{{R_3}} \over {{R_2}}} = {{{R_3}} \over {{R_1}}}\) và biến đường tròn \(\left( {{I_1};{R_1}} \right)\) thành đường tròn \(\left( {{I_3};{R_3}} \right)\). Vậy tâm của phép vị tự hợp thành đó chính là điểm \(O_2^ + \). Suy ra ba điểm \(O_1^ + ,O_2^ + ,O_3^ + \) thẳng hàng. Chứng minh tương tự cho các bộ ba điểm còn lại. Câu 56 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho hai đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)\) ngoài nhau và không bằng nhau. Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài với \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\). Gọi các tiếp điểm tương ứng là A và B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định. Nếu thay giả thiết “tiếp xúc ngoài” bằng “tiếp xúc trong” thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào? Giải (h.35) Điểm A là tâm vị tự trong của \(\left( {{O_1}} \right)\) và (O), B là tâm vị tự trong của (O) và \(\left( {{O_2}} \right)\). Nếu gọi S là tâm vị tự ngoài của \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\) thì theo bài tập 55, đường thẳng AB đi qua S. Nếu thay “tiếp xúc ngoài” bằng “tiếp xúc trong”, đường thẳng AB cũng đi qua S. (Chứng minh tương tự như trường hợp tiếp xúc ngoài). Câu 57 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt (O) ở A và M, cắt (O’) tại A và M’. Gọi P và P’ lần lượt là trung điểm của AM và AM’. a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PP’. b) Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn thẳng MM’. Giải (h.36) a) Gọi Q là trung điểm của OO’ thì QI\( \bot \)IA. Suy ra quỹ tích I là đường tròn đường kính AQ. b) Vì J là trung điểm MM’ nên \(\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AM'} } \right)\) \( = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {AP'} = 2\overrightarrow {AI} \) Vậy phép vị tự tâm A tỉ số 2 biến điểm I thành điểm J. Do đó, quỹ tích J là ảnh của đường tròn đường kính AQ qua phép vị tự đó. Câu 58 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho ba đường tròn (O1), (O2), (O3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau, A là tiếp điểm của (O1) và (O2); B là tiếp điểm (O2) và (O3); C là tiếp điểm của (O3) và (O1). Đường thẳng AB cắt (O3) tại điểm thứ hai C’. Chứng minh rằng B’C’ là đường kính của (O3). Giải (h.37) Vì B là tâm vị tự trong của (O2) và (O3) nên O2A // O3B’. Vì C là tâm vị tự trong của (O1) và (O3) nên O1A // O3C’. Vì ba điểm O1, A, O2 thẳng hàng nên C’, O3, B’thẳng hàng. Như vậy B’C’ là đường kính của đường tròn (O3). Câu 59 trang 15 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Chứng minh rằng nếu hai tam giác có các cạnh tương ứng tỉ lệ thì có phép đồng dạng biến tam giác này thành tam giác kia. Giải (h.38) Giả sử hai tam giác ABC và A’B’C’ có: \({{A'B'} \over {AB}} = {{B'C'} \over {BC}} = {{C'A'} \over {CA}} = k\) Chọn một điểm O nào đó và xét phép vị tự V tâm O tỉ số k thì V biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1. Dễ thấy rằng hai tam giác A1B1C1 và A’B’C’ bằng nhau. Do đó có phép dời hình F biến tam giác A1B1C1 thành tam giác A’B’C’. Suy ra phép hợp thành của V và F là phép đồng dạng biến ABC thành A’B’C’. Câu 60 trang 15 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AD. Gọi V là phép vị tự tâm D tỉ số \(k = {{DA} \over {DB}}\) và Q là phép quay tâm D góc quay \(\varphi = \left( {DB,DA} \right)\), F là hợp thành của V và Q. a) Phép F biến tam giác ABD thành tam giác nào? b) Lấy hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh BA và AC sao cho: \({{BM} \over {MA}} = {{AN} \over {NC}}\) Chứng minh rằng DMN là tam giác vuông. Giải a) Chú ý rằng \({{DA} \over {DB}} = {{DC} \over {DA}} = k\) bởi vậy F biến tam giác ABD thành tam giác CAD. b) Vì F biến đoạn thẳng BA thành AC và vì M, N lần lượt chia BA và AC theo cùng một tỉ số nên F biến M thành N, tức là góc (DM, DN) bằng góc quay \(\varphi \). Vậy DMN là tam giác vuông tại D. Câu 61 trang 15 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AD. Gọi c là phân giác của góc C, Đc là phép đối xứng qua c, V là phép vị tự tâm C tỉ số \(k = {{CA} \over {CB}}\) và F là hợp thành của Đc và V. a) F biến tam giác ABC thành tam giác nào? b) Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và DA sao cho: \({{AM} \over {MB}} = {{DN} \over {NA}}\) Chứng minh rằng c là phân giác của góc MCN. Giải a) Dễ thấy rằng \({{CA} \over {CB}} = {{CD} \over {CA}} = k\). bởi vậy F biến A thành D và biến B thành A. Do đó F biến tam giác ABC thành tam giác DAC. b) Vì F biến đoạn thẳng AB thành DA nên biến M thành N. Bởi vậy, phép Đc biến CM thành CN, suy ra c là phân giác của góc MCN. Câu 62 trang 15 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Dựng tam giác ABC biết góc A bằng \(\alpha \), tỉ số \({{AB} \over {AC}} = k\) và chu vi tam giác bằng m. Giải Dựng tam giác AB’C’ sao cho \(\widehat A = \alpha \), \({{AB'} \over {AC'}} = k\) Gọi \(AB' + B'C' + AC' = m'\) Phép vị tự tâm A tỉ số \({m \over {m'}}\) sẽ biến tam giác AB’C’ thành tam giác ABC cần tìm. Câu 63 trang 15 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao. Chứng minh rằng nếu hai tam giác có các đường cao tương ứng bằng nhau thì bằng nhau. Giải Giả sử tam giác ABC có đường cao AH, BI, CK và tam giác A'B'C' có các đường cao A'H', B'I', C'K' thỏa mãn AH = A'H', BI = B'I', CK = C'K'. Trong tam giác ABC ta có AB.CK = BC.AH = CA.BI. Cũng vậy, trong tam giác A'B'C' ta có A'B'.C'K'= B'C'.A'H'= C'A'.B'I' Từ đó, suy ra \({{AB} \over {A'B'}} = {{BC} \over {B'C'}} = {{CA} \over {C'A'}} = k\) Như vậy, hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng. Do đó, có phép đồng dạng F tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Nhưng F biến đường cao AH thành đường cao A'H' với A'H' = AH nên k = 1. Do đó F là phép dời hình. Vậy tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.
