Sách bài tập Toán 11 - Hình học 11 nâng cao - Chương II - Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 1 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Chứng minh rằng: Một mặt phẳng và một đường thẳng không nằm trên mặt phẳng đó có không quá một điểm chung.
    Giải
    Giả sử (P) là một mặt phẳng và a là một đường thẳng sao cho a không nằm trên (P). Nếu (P) và a có ít nhất hai điểm chung phân biệt thì theo định lí mặt phẳng (P) sẽ chứa a (trái với giả thiết).

    Câu 2 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C nằm ngoài mp (P). Giả sử đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC đều cắt mp (P). Chứng minh rằng đoạn thẳng AC không cắt mp (P).
    Giải
    Giả sử \(I = AB \cap mp\left( P \right),\,J = BC \cap mp\left( P \right).\)
    01.png
    Trường hợp ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
    Xét mp(ABC) và đường thẳng IJ ta có \(IJ \subset \left( {ABC} \right).\) Theo giả thiết A, B nằm khác phía đối với đường thẳng IJ. Vậy A, C nằm về phía của đường thẳng IJ, nghĩa là đoạn thẳng AC không cắt mp(P).
    Trường hợp ba điểm A, B, C thẳng hàng
    Khi đó, điểm J trùng với I; hi điểm A, C nằm về một phía đối với điểm J trên đường thẳng qua A, B, C, nghĩa là A và C nằm về một phía đối với mp(P). Vậy đoạn thẳng AC không cắt mặt phản (P)
    02.png

    Câu 3 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho n điểm \(\left( {n \ge 4} \right)\) trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Chứng minh rằng không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng.
    Giải
    Giả sử có ba điểm A, B, C của n điểm đã cho thẳng hàng. Khi đó bốn điểm A, B, C, D nào cũng đồng phẳng (mâu thuẫn với giả thiết. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

    Câu 4 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho n điểm \(\left( {n \ge 4} \right)\) trong đó bất kì bốn điểm nào cũng đồng phẳng. Chứng minh rằng n điểm đó đồng phẳng.
    Giải
    Giả sử \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) là n điểm đã cho.
    Nếu chúng thẳng hàng thì rõ ràng chúng đồng phẳng.
    Nếu chúng không thẳng hàng thì tồn tại ba điểm không thẳng hàng (chẳng hạn \({A_1},{A_2},{A_3}\)). Qua ba điểm đó ta có \(mp\left( {{A_1}{A_2}{A_3}} \right).\) Khi đó vì bốn điểm nào của n điểm đã cho cũng đồng phẳng nên các điểm \({A_i},\,i \ge 4\) đều nằm trong \(mp\left( {{A_1}{A_2}{A_3}} \right).\)

    Câu 5 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hai điểm phân biệt M, N nằm trên đoạn thẳng AB và hai điểm phân biệt I, J nằm trên đoạn thẳng CD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, J không đồng phẳng.
    Giải
    Giả sử có mp(P) chứa bốn điểm M, N, I, J. Khi đó:
    \(\eqalign{
    & M \in \left( P \right),\,N \in \left( P \right) \Rightarrow MN \subset \left( P \right) \cr
    & \Rightarrow A \in \left( P \right),\,B \in \left( P \right) \cr} \)

    \(\eqalign{
    & I \in \left( P \right),\,J \in \left( P \right) \Rightarrow {\rm{IJ}} \subset \left( P \right) \cr
    & \Rightarrow C \in \left( P \right),\,D \in \left( P \right) \cr} \)
    nên A, B, C, D đều thuộc (P) (trái giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.

    Câu 6 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho hai điểm cố định A, B nằm về hai phía của mp (P) cố định. Gọi M là một điểm chuyển động bất kì trong không gian. Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng MA, MB lần lượt cắt mp (P) tại hai điểm A’, B’ phân biệt thì đường thẳng A’B’ đi qua một điểm cố định.
    Giải
    03.png
    Vì A và B nằm về hai phía đối với mp(P) nên đường thẳng AB cắt (P) tại một điểm I. Khi đó I cố định.
    Nếu M nằm trên đường thẳng AB thì \(A' \equiv B' \equiv I.\)
    Nếu M không nằm trên đường thẳng AB thì mp(MAB). Khi đó
    \(\left. \matrix{
    A' \in AM,\,AM \subset mp\left( {MAB} \right) \hfill \cr
    \Rightarrow A' \in mp\left( {MAB} \right) \hfill \cr
    B' \in BM,\,BM \subset mp\left( {MAB} \right) \hfill \cr
    \Rightarrow B' \in mp\left( {MAB} \right) \hfill \cr
    I \in AB,\,AB \subset mp\left( {MAB} \right) \hfill \cr
    \Rightarrow I \in mp\left( {MAB} \right) \hfill \cr} \right\}\,\,(1)\)
    Mặt khác, các điểm A’, B’, I đều thuộc mp(P). (2)
    Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A’, B’, I thẳng hàng, tức là đường thẳng A’B’ đi qua điểm cố định I.

    Câu 7 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.
    a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mp (MNP)
    b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).
    Giải
    04.png
    a) Xét mp(BCD), ta có \({{BN} \over {BC}} \ne {{BP} \over {BD}}.\) Suy ra đường thẳng NP cắt đường thẳng CD tại một điểm I. Điểm I thuộc CD và cũng thuộc mp(MNP) nên I chính là giao điểm của CD và mp(NMP).
    b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MI và AD. Khi đó, rõ ràng E và P là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).
    Vậy \(\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABD} \right) = EP.\)

    Câu 8 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
    a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA).
    b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD).
    Giải
    05.png
    a) Ta có \(\left( {MBC} \right) \cap \left( {NAD} \right) = MN\).
    b) Gọi K là giao điểm của MB với ID và H là giao điểm của MC với DJ thì rõ ràng K và H là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD) nên:
    \(\left( {MBC} \right) \cap \left( {IJD} \right) = KH\)

    Câu 9 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho ba tia Ox, Oy, Oz. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A và A’, B và B’, C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M, CA cắt C’A’ tại N và AB cắt A’B’ tại I. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.
    Giải
    Trường hợp Ox, Oy, Oz không đồng phẳng
    Dễ thấy M, N, I là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Vậy ba điểm M, N, I thẳng hàng.
    06.png
    Trường hợp Ox, Oy, Oz thuộc mặt phẳng (P).
    Qua O ta dựng một đường thẳng \(\Delta \) không nằm trên mp(P). Trên \(\Delta \) lấy các điểm \({O_1},\,{O_2}.\) Gọi \({A_1}\) là giao điểm của \({O_1}A\) với \({O_2}A',\,{B_1}\) là giao điểm của \({O_1}B\) với \({O_2}B'.\) Dễ chứng minh \({A_1}{B_1},A'B',\,AB\) đồng quy tại I. Tương tự, ta dựng điểm \({C_1}\) là giao điểm của \({O_1}C\) với \({O_2}C'.\) Hai tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) và ABC không nằm trong một mặt phẳng, nên theo câu a) ta được ba điểm M, N, I thẳng hàng.

    Câu 10 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K theo thứ tự là hai điểm trong của các tam giác ABC và BCD. Giả sử đường thẳng IK cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Hãy xác định giao điểm J đó.
    Giải
    07.png
    Ta chọn một mặt phẳng chứa IK và tìm giao tuyến của mặt phẳng này với mp(ACD) thì giao điểm của giao tuyến đó với IK chính là điểm J cần tìm.
    Xét mp(BJK), gọi M, N lần lượt là các giao điểm của các cặp đường thẳng BI với CA và BK với CD. Khi đó:
    \(\left( {BIK} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN.\)
    Từ đó J chính là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng KI.

    Câu 11 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D; G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, AC, AD sao cho:
    \({{MA} \over {MB}} = {{NC} \over {NA}} = {{PD} \over {PA}} = {1 \over 2}\)
    Gọi I, J lần lượt là các giao điểm của đường thẳng MN với BC và MP với BD.
    a) Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng.
    b) Gọi E, F lần lượt các trung điểm của CD, NI; H là giao điểm của MG với BE; K là giao điểm của GF với mp (BCD). Chứng minh rằng các điểm H, K, I, J thẳng hàng.
    Giải
    a) Ta có:
    \(\eqalign{
    & JN \subset mp\left( {MNP} \right) \cr
    & IP \subset mp\left( {MNP} \right) \cr} \)
    Vì \({{CN} \over {NA}} = {{EG} \over {GA}} = {{DP} \over {PA}} = {1 \over 2}\)
    nên trong mp(ACD) các điểm N, G, P nằm trên một đường thẳng song song với CD. Từ đó G thuộc NP, Suy ra \(MG \subset mp\left( {MNP} \right).\) Vậy ba đường thẳng MG, JN, IP đều thuộc mp(MNP).
    08.png
    b) Vì H là giao điểm của MG với BE nên H thuộc mp(MNP) và mp(BCD). Vì K là giao điểm của GF với mp(BCD) nên K thuộc mp(BCD) và mp(MNP).
    Mặt khác mp(MNP) và mp(BCD) cắt nhau theo giao tuyến IJ.
    Vậy các điểm H và K phải thuộc đường thẳng IJ, tức là bốn điểm I, J, K, H thẳng hàng.

    Câu 12 trang 52 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SC lấy một điểm E không trùng với hai điểm S và C.
    a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mp(ABE).
    b) Giả sử AB không song song với CD, hãy chứng minh ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy.
    Giải
    09.png
    a) Gọi O là giao điểm của AC và BD; J là giao điểm của SO và AE. Hai mặt phẳng (SBD) và (ABE) có hai điểm chung là B và J. Do đó \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABE} \right) = BJ\).
    Gọi F là giao điểm của BJ và SD thì F chính là giao điểm của đường thẳng SD với mp(ABE).
    b) Gọi I là giao điểm của AB và CD. Khi đó ba điểm I, E F cùng thuộc hai mặt phẳng (ABE) và (SCD) nên chúng thẳng hàng.

    Câu 13 trang 52 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, O là tâm của đáy; M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B
    a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt phẳng (SAB), (SBC).
    b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mp(P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mp(P).
    c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC).
    d) Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA, DC với mặt phẳng (P) và chứng tỏ rằng ba điểm E, B, F thẳng hàng.
    Giải
    a) \(\eqalign{
    & \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = BM \cr
    & \left( P \right) \cap \left( {SCB} \right) = BN \cr} \)
    10.png
    b) Xét mp(SAC), gọi I là giao điểm của SO và MN thì I là giao điểm của SO và mp(P). Gọi K là giao điểm của đường thẳng BI với SD thì K là giao điểm của SD và (P).
    c) \(\left( P \right) \cap \left( {SAD} \right) = MK\)
    \(\left( P \right) \cap \left( {SDC} \right) = KN\)
    d) Trong mp(SAD) gọi E là giao điểm của đường thẳng MK với đường thẳng AD thì E là giao điểm của (P) và AD.
    Tương tự giao điểm F của KN và DC là giao điểm của (P) và DC.
    Rõ ràng B, E, F là ba điểm chung của hai mặt phẳng (P) và mp(ABCD) nên chúng phải thẳng hàng.

    Câu 14 trang 52 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNI) trong các trường hợp dưới đây:
    Giải
    a) Thiết diện là tam giác MNI.
    11.png
    b) Kéo dài MI cắt BD tại J. Nối J với N cắt CD tại E. Thiết diện là tứ giác MIEN.
    c) Kéo dài MI cắt AC tại J. Nối J và N cắt CD tại E. Thiết diện là tứ giác MIEN.
    12.jpg

    Câu 15 trang 52 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang \(\left( {AB//CD,AB > CD} \right).\) Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
    a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
    b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(AIJ).
    c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AIJ).
    Giải
    13.png
    a) Gọi K là giao điểm của AD và BC, khi đó hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có hai điểm chung S và K. Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng SK.
    b) Gọi M là giao điểm của IJ và SK. Khi đó: \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {AIJ} \right) = AM.\)
    Gọi E là giao điểm của AM và SD thì E chính là giao điểm của SD với mp(AIJ).
    c) Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(AIJ) là tứ giác AIJE.

    Câu 16 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD; \(\Delta \) là một đường thẳng nằm trong mp(ABCD) sao cho \(\Delta \) song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(M, \(\Delta \)) trong các trường hơp sau đây:
    a) \(\Delta \) không cắt cạnh nào của đáy ABCD.
    b) \(\Delta \) đi qua điểm C.
    c) \(\Delta \) cắt hai cạnh BC và CD tại hai điểm I và J.
    d) \(\Delta \) cắt hai cạnh AB và AD tại hai điểm I’ và J’.
    Giải
    a) Gọi H, E, F lần lượt là các giao điểm của \(\Delta \) với các đường thẳng AB, AC và AD. Khi đó các cạnh bên SB, SC, SD của hình chóp lần lượt cắt các đường thẳng MH, ME và MF tại \({M_1};\,{M_2};\,{M_3}.\) Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(mp\left( {M,\Delta } \right)\) trong trường hợp này là tứ giác \(M{M_1}{M_2}{M_3}.\)
    14.png
    15.png
    b) Thiết diện là tứ giác \(M{M_1}C{M_3}.\)
    c) Thiết diện là ngũ giác \(M{M_1}IJ{M_3}.\)
    16.png
    d) Thiết diện là tam giác \(MI'J'.\)
    17.png

    Câu 17 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho tứ diện ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua điểm C. Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua B, E và một điểm F trong các trường hợp sau đây:
    a) F nằm trên đoạn CD và không trùng với C và D.
    b) F nằm trong tam giác ACD.
    c) F nằm trong đoạn thẳng DD’ (D’ là trọng tâm của tam giác ABC).
    Giải
    a) Trong mp(ACD), kéo dài EF cắt AD tại K. Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác BFK.
    18.png
    b) Trong mp(ACD) kéo dài EF cắt AD và DC lần lượt tại K và J. Khi đó thiết diện cần tìm tam giác BKJ.
    19.png
    c) Gọi I là giao điểm của BD’ và AC (I là trung điểm của AC). Xét mp(BDI) ta có đường thẳng BF cắt DI tại một điểm J. Khi đó J là điểm chung của hai mặt phẳng (BEF) và (DAC).
    Vậy (BEF) cắt (DAC) theo đường thẳng EJ. Đường thẳng này cắt AD và DC tại M và N.
    Vậy thiết diện cần tìm là tam giác BMN.
    20.jpg

    Câu 18 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng (P) đi qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P).
    Giải
    Gọi E là trung điểm của BD. Trong mp(ABCD) từ E kẻ đường thẳng EF song song với AC. Đường thẳng này cắt một trong hai cạnh CB hoặc CD. Chẳng hạn cắt cạnh BC tại F. Tam giác SAF chính là thiết diện cần tìm.
    Trong trường hợp E trùng với giao điểm I của AC và BD thì EF trùng với IC. Dễ chứng minh đường thẳng AF chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.
    21.png

    Câu 19 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.
    a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK).
    b) Tính diện tích thiết diện được xác định bởi câu a.
    Giải
    a) Nối I và J cắt AC tại N. Nối I và K cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
    22.png
    b) Dễ thấy M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ. Từ đó ta có:
    \(AN = {2 \over 3}AC;\;AM = {2 \over 3}AB\)
    Suy ra: \(AN = AM = {2 \over 3}a\) và MN//CB. Do đó \(MN = {2 \over 3}CB\)
    hay \(MN = {2 \over 3}a.\)
    Xét tam giác AIM. Ta có:
    \(\eqalign{
    & I{M^2} = A{I^2} + A{M^2} - 2AI.AM.\cos {60^o} \cr
    & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{{a^2}} \over 4} + {4 \over 9}{a^2} - 2.{a \over 2}.{{2a} \over 3}.{1 \over 2} = {{13} \over {36}}{a^2} \cr
    & \Rightarrow IM = {{a\sqrt {13} } \over 6} \cr} \)
    Tương tự, ta có \(IN = {{a\sqrt {13} } \over 6}\)
    Vậy theo công thức Hê-rông, ta có:
    \({S_{IMN}} = \sqrt {\left( {{{a\sqrt {13} } \over 6} + {2 \over 6}a} \right).{2 \over 6}a.{2 \over 6}a.\left( {{{a\sqrt {13} } \over 6} - {2 \over 6}a} \right)} \)
    \(= {{{a^2}} \over 6}.\)

    Câu 20 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện \(AB.CD = AC.BD = AD.BC.\) Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua mỗi đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng quy tại một điểm.
    Giải
    Vì bốn đỉnh của tứ diện không đồng phẳng nên bốn đường thẳng (lần lượt đi qua mỗi đỉnh của tứ diện và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện) cũng không đồng phẳng. Để chứng minh bốn đường thẳng đó đồng quy ta chỉ cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau.
    23.png
    Gọi A’, B’ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác BCD và tam giác ACD. Gọi E là giao điểm của BA’ với CD. Theo tính chất đường phân giác, ta có:
    \({{EC} \over {ED}} = {{BC} \over {BD}}\)
    Từ giả thiết
    \(\eqalign{
    & AC.BD = AD.BC \Rightarrow {{BC} \over {BD}} = {{AC} \over {AD}} \cr
    & \Rightarrow {{EC} \over {ED}} = {{AC} \over {AD}} \cr} \)
    Suy ra AE là đường phân giác của góc CAD, do đó tâm B’ của đường tròn nội tiếp tam giác ACD phải thuộc AE. Hai đường thẳng AA’ và BB’ nằm trong mp(ABE), dễ thấy chúng không song song nên chúng cắt nhau.
    Chứng minh tương tự, hai đường thẳng bất kì trong bốn đường thẳng nói trên cắt nhau. Vậy bốn đường thẳng đó không đồng phẳng và đôi một cắt nhau, nên chúng đồng quy.

    Câu 21 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
    Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho \({{AM} \over {AB}} \ne {{AN} \over {AC}}.\) Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F.
    a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
    b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NE.
    c) TÌm tập hợp giao điểm J của MF và NE.
    Giải
    a) Gọi K là giao điểm của MN và BC thì K cố định và K là một điểm chung của mp(P) với mp(BCD). Mặt khác, \(mp\left( P \right) \cap mp\left( {BCD} \right) = EF\). Vậy K phải thuộc EF, nên EF luôn qua điểm cố định K.
    24.png
    b) Ta có I là giao điểm của ME và NF. Vậy \(I \in ME,\,ME \subset \left( {MCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {MCD} \right)\) và \(I \in NF,\,NF \subset \left( {NBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {NBD} \right).\)
    Từ đó, suy ra I thuộc giao tuyến OD của (MCD) và (NBD).
    Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O.
    Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I cũng chạy đến D.
    Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng OD.
    c) J là giao điểm của MF và NE. Từ đó dễ thấy J thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Vậy J phải thuộc giao tuyến AD của hai mặt phẳng (ABD) và (ACD).
    Lí luận tương tự như câu a) ta thấy tập hợp các điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong đoạn AD.