Sách bài tập Toán 11 - Hình học 11 nâng cao - Chương II - Bài 5: Phép chiếu song song

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 58 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu l để hình chiếu của tam giác ABC trên (P) là:
    a) Một tam giác cân;
    b) Một tam giác đều;
    c) Một tam giác vuông;
    Giải
    01.png
    a) Qua BC ta dựng một mặt phẳng (P) không đi qua A. Trong mặt phẳng (P) ta dựng tam giác cân BCA1 (BA1 = CA1). Khi đó, phép chiếu song song lên mp(P) theo phương chiếu \(l\) = AA1 biến tam giác ABC thành tam giác cân A1BC.
    b) Trong (P) ở câu a), ta dựng tam giác đều BCA2 và chọn phương chiếu \(l\) = AA2.
    c) Trong (P) ở câu a), ta dựng tam giác vuông BCA3 (\(\widehat {B{A_3}C} = {90^o}\)) và chọn phương chiếu \(l\) = AA3.

    Câu 59 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Vẽ hình chiếu của tứ diện ABCD lên một mặt phẳng (P) theo phương chiếu AB (AB không song song với (P)).
    Giải
    02.png
    Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng AB nên hình chiếu của đoạn thẳng AB là giao điểm của AB và (P).
    Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A' \equiv B'\).
    C và D có hình chiếu là C’ và D’. Vậy hình chiếu của tứ diện ABCD lên mp(P) theo phương chiếu AB là tam giác A’C’D’.

    Câu 60 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Vẽ hình chiếu của hình hộp ABCD.A1B1C1D1 lên một mặt phẳng (P) theo phương chiếu AC1 (AC1không song song với (P)).
    Giải
    03.png
    Chọn mặt phẳng chiếu (P) qua C1 và không chứa A. Gọi O là tâm của hình hộp. Khi đó hình chiếu của các điểm A, O, C1 là điểm C1.
    Hình chiếu của đoạn thẳng B1D là đoạn thẳng B’D’ nhận C1 làm trung điểm.
    Hình chiếu của đoạn thẳng CA1 là đoạn thẳng C’A’ nhận C1 làm trung điểm.
    Hình chiếu của đoạn thẳng BD1 là đoạn thẳng B’’D’’ nhận C1 làm trung điểm.
    Vậy hình chiếu của hình hộp ABCD.A1B1C1D1 lên mp(P) theo phương chiếu AC1 là lục giác A’B’B’’C’D’D’’ có các cạnh đối song song và bằng nhau.

    Câu 61 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Vẽ hình biểu diễn của một tứ diện đều.
    Giải
    Thông thường là một hình tứ giác ABCD và hai đường chéo AC, BD có các nét khuất, nét liền.

    Câu 62 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh AA’, BC lần lượt lấy các điểm M và N không trùng với các đỉnh của hình hộp. Trong hình bình hành A’B’C’D’ lấy một điểm P. Hãy xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(MNP).
    Giải
    04.jpg
    Trước hết, ta tìm giao điểm của đường thẳng PM với mặt phẳng (ABCD). Gọi P1 là hình chiếu song song của P trên mp(ABCD) theo phương chiếu AA’. Khi đó PM cắt P1A tại I. Vì I thuộc mp(ABCD) nên IN cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của KM với A’B’. Nối E với P cắt A’D’ và B’C’ lần lượt tại F và G. Vậy thiết diện là ngũ giác MKNGF.

    Câu 63 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Cho hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.Trên d đặt hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau AB và BC (B ở giữa A và C); trên d’ đặt hai đoạn thẳng liên tiếp cũng bằng nhau A’B’ và B’C’ (B’ ở giữa A’ và C’). Chứng minh rằng AA’ + CC’ > 2 BB’.
    Giải
    05.png
    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua AA’ và song song với BB’. Theo định lí Ta-lét, ta cũng có CC’ // mp(P). Xét phép chiếu song song lên mp(P) theo phương chiếu d, ta được hình chiếu của A’, B’, C’ tương ứng là A’, B1, C1. Khi đó ba điểm A’, B1, C1 thẳng hàng. Ta có C’C1 // CA và vì CC’ // mp(P) nên giao tuyến AC1 của mp(CC’C1A) với mp(P) song song với CC’. Do đó tứ giác CC’C1A là hình bình hành, nên AC1 = CC’. Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được AB1 = BB’. Ta phải chứng minh AA’ +AC1 > 2AB1.
    Thật vậy, vì B’ là trung điểm của A’C’ nên B1 là trung điểm của cạnh A’C1 của tam giác AA’C1. Từ đó dễ thấy tổng của hai cạnh AA’ và AC1 trong tam giác AA’C1 lớn hơn hai lần trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.

    Câu 64 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC’.
    a) Xác định đường thẳng qua M cắt AN và cắt A’B.
    b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với AN và A’B. Hãy tìm tỉ số \({{IM} \over {{\rm{IJ}}}}\).
    Giải
    06.png
    a) Giả sử đã dựng được đường thẳng \(\Delta \) cần tìm cắt cả AN và BA’. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với AN và BA’.
    Xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu A’B. Khi đó ba điểm I, J, M lần lượt có hình chiếu là B, I’ và M. Do đó ba điểm B, I’, M thẳng hàng. Gọi N’ là hình chiếu của N thì AN’ là hình chiếu của AN. Vì I thuộc AN nên I’ thuộc AN’. Vậy I’ là giao điểm của BM và AN’.
    Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng \(\Delta \) theo các bước sau đây:
    - Lấy giao điểm I’ của AN’ và BM.
    - Trong mp(ANN’) dựng II’ // NN’ (đã có NN’ // CD’) cắt AN tại I.
    - Vẽ đường thẳng MI, đó là đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.
    Dễ chứng minh được, đường thẳng \(\Delta \) nói trên cắt BA’.
    b) Dễ thấy: MC = CN’
    suy ra: MN’ = CD = AB.
    Do đó I’ là trung điểm của BM.
    Mặt khác II’ // JB, nên II’ là đường trung bình của tam giác MBJ, suy ra:
    \(IM = {\rm{IJ}} \Rightarrow {{IM} \over {IJ}} = 1\)

    Câu 65 trang 62 - 63 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.
    a) Hãy xác định đường thẳng \(\Delta \) cắt cả hai đường thẳng AC1 và BA1 đồng thời song song với B1D1.
    b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AC1 và BA1. Tính tỉ số \({{AI} \over {A{C_1}}}\).
    Giải
    07.png
    a) Giả sử đã xác định được đường thẳng \(\Delta \) cắt AC1 và BA1 lần lượt tại I và J.
    Xét phép chiếu song song lên mp(ABB1A1) theo phương chiếu D1B1. Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng A, I, C1 lần lượt là ba điểm thẳng hàng A, J, K. Mặt khác J thuộc BA1, nên J chính là giao điểm của AK và BA1.
    Từ đó, ta có cách dựng đường thẳng \(\Delta \) theo các bước sau đây:
    - Dựng điểm K là hình chiếu của C1 (theo phương chiếu D1B1).
    - Lấy giao điểm J của AK và BA1.
    - Qua J dựng đường thẳng \(\Delta \) // C1K ( đã có C1K // B1D1) ta được đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.
    b) Dễ thấy \({A_1}{B_1} = {B_1}K \Rightarrow {A_1}K = 2AB\) (do A1B1 = AB).
    Vì AB // A1K \( \Rightarrow {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {{AB} \over {{A_1}K}} = {1 \over 2}\).
    Mặt khác IJ // C1K \( \Rightarrow {{AI} \over {I{C_1}}} = {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AI} \over {A{C_1}}} = {1 \over 3}\).

    Câu 66 trang 63 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Hãy xác định thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi mặt phẳng qua ba điểm M, N, P tương ứng là ba điểm trong của ba mặt bên:
    a) (ABCD), (ABB’A’), (ADD’A’);
    b) (ABCD), (A’B’C’D’), (ABB’A’);
    Giải
    08.png
    a) Giả sử M, N, P lần lượt là các điểm trong của các mặt phẳng (ABCD), (ABB’A’), (ADD’A’) xác định như hình vẽ. Trước hết ta tìm giao điểm I của PN với mp(ABCD). Ta xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu AA’. Các điểm N, P có hình chiếu lần lượt là N1, P1 . Khi đó I là giao điểm của PN với P1N1.
    Trong mp(ABCD) nối I và M lần lượt cắt DA, DC và CB tại K, L, G.
    Trong mặt phẳng (AA’D’D) nối K và P cắt AA’ tại H.
    Trong mặt phẳng (AA’B’B) nối H và N cắt BB’ tại E.
    Trong mặt phẳng (BCC’B’) nối E và G cắt CC’ tại F.
    Vậy thiết diện là ngũ giác EFLKH.

    Câu 67 trang 63 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao.
    Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau không cùng song song với một mặt phẳng và một điểm G không nằm trên bất cứ đường nào trong ba đường thẳng đó. Hãy dựng tam giác có các đỉnh thứ tự nằm trên ba đường thẳng đã cho và nhận G làm trọng tâm
    Giải
    09.png
    a) Phân tích
    Giả sử dựng được tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng a, b, c đôi một chéo nhau cho trước và nhận điểm G làm trọng tâm.
    Lấy các điểm A1, B1, C1 lần lượt nằm trên a, b, c và gọi (P) là mp(A1B1C1). Xét phép chiếu song song lên mp(P) theo phương chiếu là đường thẳng a. Gọi tam giác A1B’C’ là hình chiếu của tam giác ABC. Khi đó trọng tâm G’ của tam giác A1B’C’ là hình chiếu của trọng tâm G của tam giác ABC, trung điểm I’ của B’C’ là hình chiếu của trung điểm I của BC.
    Vậy khi đã chọn (P) thì các điểm A1,G’ dựng được và do đó I’ cũng dựng được. Ta chỉ cần dựng hai điểm B’ và C’ sao cho tam giác A1B’C’ nhận G’ làm trọng tâm với \(B' \in {b_1},C' \in {c_1}\) (b1, c1lần lượt là hình chiếu của b và c).
    b) Cách dựng
    Lấy ba điểm A1, B1, C1 tùy ý sao cho \({A_1} \in a,{B_1} \in b,{C_1} \in c\)
    Xác định mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A1, B1, C1.
    Dựng các hình chiếu b1, c1 của b và c trên (P) theo phương chiếu a và dựng hình chiếu G’ của điểm G.
    Trong mp(P), dựng điểm I’ sao cho \(\overrightarrow {{A_1}I'} = {3 \over 2}\overrightarrow {{A_1}G'} \)
    Trong mp(P), dựng điểm \(B' \in {b_1},C' \in {c_1}\) sao cho I’ là trung điểm của B’C’.
    Dựng điểm \(B \in b,C \in c\) sao cho BB’ // CC’ //a.
    Dựng điểm \(I \in BC\) sao cho II’ // a, hay I là trung điểm của BC.
    Trong mp(a, II’) dựng đường thẳng IG cắt a tại A.
    Dựng tam giác ABC với ba điểm A, B, C vừa dựng được.
    c) Chứng minh:
    Vì AA1 // G'G // II'
    Nên \({{AI} \over {AG}} = {{{A_1}I'} \over {{A_1}G'}} = {3 \over 2}\)
    Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.
    d) Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.