Câu 68 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Chứng minh rằng nếu n đường thẳng \(\left( {n \ge 3} \right)\) đôi một cắt nhau và không đồng phẳng thì chúng đồng quy. Giải Ta nhận thấy rằng: Nếu ba đường thẳng bất kì trong n đường thẳng \(\left( {n \ge 3} \right)\) đã cho đồng quy thì n đường thẳng đó đồng quy. Còn nếu tồn tại ba đường thẳng không đồng quy mà từng đôi một cắt nhau tại ba điểm A, B, C rõ ràng A, B, C không thẳng hàng. Khi đó các đường thẳng còn lại đều cắt ba đường thẳng nói trên nên chúng đều thuộc mp(ABC) (trái với giả thiết). Vậy ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 3. Giả sử ba đường thẳng đã cho là a, b và c; A, B, C lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng b và c, c và a, a và b. Nếu các điểm A, B, C phân biệt từng cặp thì dễ thấy a, b, c đều thuộc mp(ABC) (trái với giả thiết. Vậy các điểm A, B, C phải trùng nhau. Do đó ba đường thẳng a, b, c đồng quy. Câu 69 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang \(\left( {AB//CD,\,AB > CD} \right).\) Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD. a) Chứng minh rằng các điểm S, E, M, G cũng thuộc một mặt phẳng và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một đường thẳng \(\Delta \). b) Gọi \({C_1}\) và \({D_1}\) là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh SC, SD sao cho \(A{D_1}\) và \(B{C_1}\) cắt nhau tại K. Chứng minh các điểm S, K, E thẳng hàng và giao điểm \({O_1}\) của \(A{C_1}\) với \(B{D_1}\) thuộc \(\Delta \). Giải a) Gọi N là giao điểm của EM và CD. Do M là trung điểm của AB và AB // CD nên N cũng là trung điểm của CD; suy ra G thuộc EM, hay \(G \in mp\left( {SEM} \right),\) tức là các điểm S, E, M , G thuộc mp(SEM). Gọi O là giao điểm của AC và BD thì đường thẳng MN đi qua O. Vậy ba mặt phẳng (SEM), (SAC) và (SBD) đều có chung hai điểm S và O nên SO chính là giao tuyến chung \(\Delta \) của ba mặt phẳng trên. b) Vì K thuộc \(A{D_1}\) và \(B{C_1}\) nên tương ứng K thuộc mp(SAD) và mp(SBC). Do đó K nằm trên giao tuyến SE của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Vậy ba điểm S, E, K thẳng hàng. Điểm \({O_1}\) nằm trên \(A{C_1}\) và \(B{D_1}\) nên \({O_1}\) phải thuộc (SAC) và (SBD) (do \(A{C_1} \subset \left( {SAC} \right),\,B{D_1} \subset \left( {SBD} \right)\)). Từ đó, suy ra \({O_1}\) phải thuộc giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Câu 70 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Trong mp(P) cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Hai điểm A, B nằm ngoài mp(P) và đường thẳng AB cắt mp(P) tại C sao cho \(C \notin a,\,C \notin b.\) Một mặt phẳng (Q) thay đổi luôn đi qua AB và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại \({A_1}\) và \({B_1}\) a) Chứng minh rằng đường thẳng \({A_1}{B_1}\) luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi I là giao điểm của \(A{A_1}\) và \(B{B_1}\), J là giao điểm của \(A{B_1}\) và \(B{A_1}.\) Chứng minh rằng mỗi điểm I và J chạy trên một đường thẳng cố định. c) Chứng minh rằng đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định. Giải a) Mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P) có ba điểm chung là \({A_1},\,{B_1}\) và C nên ba điểm đó phải thẳng hàng; tức là đường thẳng \({A_1}{B_1}\) luôn đi qua điểm cố định C. b) Ta có: \(\eqalign{ & \left. \matrix{ I \in A{A_1} \hfill \cr A{A_1} \subset mp\left( {A,\,a} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow I \in mp\left( {A,\,a} \right) \cr & \left. \matrix{ I \in B{B_1} \hfill \cr B{B_1} \subset mp\left( {B,\,b} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow I \in mp\left( {B,\,b} \right). \cr} \) Từ đó, suy ra I thuộc giao tuyến \({\Delta _1}\) của hai mặt phẳng (B, b) và (A, a). Do hai mặt phẳng này cố định nên đường thẳng \({\Delta _1}\) cố định. Chứng minh tương tự, điểm J chạy trên đường thẳng cố định \({\Delta _2}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng cố định mp(A, b) và mp(B, a). Chú ý \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\) đều đi qua O). c) Hai đường thẳng IJ, AB đều thuộc mp(Q) và chúng không thể song song nên chúng cắt nhau tại một điểm K. Ta có: \(\left. \matrix{ K \in IJ \hfill \cr IJ \subset mp\left( {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow K \in mp\left( {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right).\) Mặt khác K thuộc AB. Do đó K chính là giao điểm của đường thẳng cố định AB với \(mp\left( {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right)\) cố định nên K cố định. Vậy đường thẳng IJ luôn đi qua điểm K cố định. Câu 71 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, I, J, O lần lượt là trung điểm của SD, AB, CD, IJ. a) Chứng minh rằng nếu \({G_1},\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và ABC thì \({G_1}{G_2}//MJ.\) b) Chứng minh rằng tâm đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh hình chóp và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh hình chóp không nằm trên cạnh nói trên đồng quy tại một điểm G. c) Chứng minh rằng điểm G nằm trên đoạn thẳng SO và GS = 4GO. Giải a) Ta có: \({{I{G_1}} \over {IS}} = {{I{G_2}} \over {IC}} = {1 \over 3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//SC\) Mặt khác MJ là đường trung bình của tam giác DSC nên MJ//SC. Từ đó, suy ra \({G_1}{G_2}//MJ.\) b) Rõ ràng tám đường thẳng đã cho không đồng phẳng; ta chỉ cần chứng minh chúng cắt nhau từng đôi. Lấy hai đường thẳng bất kì trong tám đường thẳng trên (chẳng hạn như hai đường thẳng \(M{G_2}\) và \(J{G_1}\)). Theo câu a) thì \({G_1}{G_2}//MJ,\) do đó \(M{G_2}\) và \(J{G_1}\) cắt nhau. Vậy theo bài 68 (chương II), ta có tám đường thẳng đã cho không đồng phẳng và từng đôi cắt nhau nên chúng đồng quy tại một điểm G. c) Xét mp(ABCD). Dễ thấy: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {OD} = - \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = - 3\overrightarrow {O{G_2}} \) (vì \({G_2}\) là trọng tâm tam giác ABC) \( \Rightarrow O,\,{G_2},\,D\) thẳng hàng và \(OD = 3O{G_2}\) Xét ba mặt phẳng \(\left( {{G_1}{G_2}JM} \right),\,\left( {{G_2}MD} \right),\,\left( {SIJ} \right).\) Ta có: \(\eqalign{ & \left( {{G_1}{G_2}JM} \right) \cap \left( {{G_2}MD} \right) = {G_2}M \cr & \left( {{G_1}{G_2}JM} \right) \cap \left( {SIJ} \right) = {G_1}J \cr & \left( {{G_2}MD} \right) \cap \left( {SIJ} \right) = SO. \cr} \) Vậy \({G_2}M,\,{G_1}J\) và SO đồng quy. Theo kết quả câu b) thì \({G_2}M\) và \({G_1}J\) cắt nhau tại G. Vậy điểm G nằm trên SO. Kẻ MM’ song song với SO và cắt \({G_2}D\) tại M’, ta có: \(OM' = M'D = {1 \over 2}OD = {3 \over 2}O{G_2}\) và \({{OG} \over {MM'}} = {{O{G_2}} \over {{G_2}M'}} = {{O{G_2}} \over {{5 \over 2}O{G_2}}} = {2 \over 5}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow OG = {2 \over 5}MM' = {1 \over 5}SO \cr & \Rightarrow GS = 4GO. \cr} \) Câu 72 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABC và một điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A’, B’, C’. a) Gọi N là giao điểm của SA’ với BC. Chứng minh rằng các điểm A, M, N thẳng hàng và từ đó suy ra cách dựng điểm A’. b) Chứng minh rằng \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MA'} \over {SA}};\) c) Chứng minh rằng \({{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}} = 1.\) Giải a) Vì A’M//SA nên có mp(MA’,SA). Mặt phẳng này và mặt phẳng (ABC) có ba điểm chung A, M, N. Do đó ba điểm A, M, N phải nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nói trên. Vậy ba điểm đó phải thẳng hàng. Kéo dài AM cắt BC tại N. Trong mp(SAN) kẻ MA’ song song với SA cắt SN tại A’. Điểm A’ là điểm cần tìm. Tương tự xác định được các điểm B’, C’. b) Dễ thấy \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MN} \over {AN}}\) Mà \({{MN} \over {AN}} = {{MA'} \over {SA}}.\) Vậy \({{{S_{MBC}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MA'} \over {SA}}.\) c) Chứng minh tương tự như câu b), ta có: \({{{S_{MCA}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MB'} \over {SB}},\,{{{S_{MAB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{MC'} \over {SC}}.\) Vậy \({{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}} = {{{S_{MBC}} + {S_{MCA}} + {S_{MAB}}} \over {{S_{ABC}}}}\) \( = {{{S_{ABC}}} \over {{S_{ABC}}}} = 1.\) Câu 73 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của A’C’ và SO. a) Tìm giao điểm D’ của mp(P) với cạnh SD. b) Chứng minh rằng \({{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{2SO} \over {SI}}\) c) Chứng minh rằng \({{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{SB} \over {SB'}} + {{SD} \over {SD'}}.\) Giải a) Trong mp(SAC) nối A’ với C’ cắt SO tại I. Trong mp(SBD) nối B’ với I cắt SD tại D’. Khi đó D’ chính là giao điểm của mp(P) với SD. b) (h.126) Trong mp(SAC), kẻ AE // A'C' cắt SO tại E; kẻ CF // A'C' cắt SO tại F. Ta có: \({{SA} \over {SA'}} = {{SE} \over {SI}} = {{SO - OE} \over {SI}}\,\,\,\,(1)\) \({{SC} \over {SC'}} = {{SF} \over {SI}} = {{SO + \,OF} \over {SI}}\,\,\,\,(2)\) Do O là trung điểm của AC và AE // CF, nên OE = OF. Vậy từ (1) và (2), suy ra \({{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{2SO} \over {SI}}\) (3) c) Chứng minh tương tự câu b), ta có: \({{SB} \over {SB'}} + {{SD} \over {SD'}} = {{2SO} \over {SI}}\) (4) Từ (3) và (4), suy ra: \({{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{SB} \over {SB'}} + {{SD} \over {SD'}}.\) Câu 74 trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với cả AC và BD cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm P, Q, R, S. a) Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành. b) Xác định vị trí của điểm P trên cạnh AB để tứ giác PQRS là hình thoi. Giải a) \(\left. \matrix{ AC//\alpha \hfill \cr AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr (\alpha ) \cap (ABC) = PQ \hfill \cr} \right\} \Rightarrow PQ//AC\) \(\left. \matrix{ AC//\alpha \hfill \cr AC \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr (\alpha ) \cap (ACD) = RS \hfill \cr} \right\} \Rightarrow RS//AC\) Từ trên, suy ra: PQ // RS (//AC) (1) Chứng minh tương tự, ta có: PS // QR (//BD) (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác PQRS là hình bình hành. b) Vì \(PS//BD \Rightarrow {{PS} \over {BD}} = {{PA} \over {AB}}\) Nên \(PS = {{BD} \over {AB}}.PA.\) (3) Vì \(PQ//AC \Rightarrow {{PQ} \over {AC}} = {{PB} \over {AB}}\) Nên \(PQ = {{AC} \over {AB}}.PB.\) (4) Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi PS = PQ \(\eqalign{ & \Leftrightarrow BD.PA = AC.PB \cr & \Leftrightarrow {{PA} \over {PB}} = {{AC} \over {BD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \cr} \) Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi \(mp\left( \alpha \right)\) qua điểm P (được xác định bởi (5)) đồng thời song song với cả AC và BD. Câu 75 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; M là trung điểm của cạnh SA. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M, song song với SO và BC. b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (Q) qua O, song song với BM và SD. Giải a) Qua M ta kẻ đường thẳng MI song song với SO cắt AC tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD, DB lần lượt tại N, E, J. Qua J kẻ đường thẳng song song với SO cắt SD tại F. Tứ giác MNEF là thiết diện cần tìm. b) Trong mp(SBD), qua O kẻ đường thẳng song song với SD cắt cạnh SB tại N. Qua N kẻ đường thẳng song song với BM cắt SA tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với SD cắt AD tại F. Nối F với O cắt BC tại I. Tứ giác NEFI là thiết diện cần tìm. Câu 76 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang \(\left( {AD//BC,\,AD > BC} \right).\) Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA. a) Chứng minh rằng: \(MN//\left( {SBC} \right);\,\left( {MEN} \right)//\left( {SBC} \right).\) b) Trong tam giác SAD vẽ EF//AD \(\left( {F \in SD} \right).\) Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng (MNE) với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì? c) Chứng minh rằng SC//(MNE). Đường thẳng AF có song song với mp(SBC) hay không? d) Cho M, N là hai điểm cố định lần lượt nằm trên các cạnh AB, CD sao cho MN//AD và E, F là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh SA, SD sao cho EF//AD. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I di động trên đường nào? Giải a) MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra: \(\eqalign{ & \left. \matrix{ MN//BC \hfill \cr BC \subset \left( {SBC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow MN//\left( {SBC} \right) \cr & \left. \matrix{ MN//\left( {SBC} \right) \hfill \cr ME//\left( {SBC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left( {MEN} \right)//\left( {SBC} \right) \cr} \) b) Ta có \(\eqalign{ & EF//AD \Rightarrow EF//MN \cr & \Rightarrow EF \subset \left( {MNE} \right) \Rightarrow F \in \left( {MNE} \right). \cr} \) Mặt khác \(F \in SD,\) do đó \(F = \left( {MNE} \right) \cap SD.\) Thiết diện là hình thang MNFE. c) Theo câu a), ta có \(\left( {SBC} \right)//\left( {MNE} \right)\) mặt khác \(SC \subset \left( {SBC} \right)\) Suy ra SC // (MNE). Đường thẳng AF không song song với mp(SBC) vì nếu AF // (SBC) thì : \(AF \subset \left( {MNE} \right) \Rightarrow A \in \left( {MNE} \right)\) (vô lí). d) Xét ba mặt phẳng (SAB), (SCD) và (MNE). Ta có: \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SJ\) (J là giao điểm của AB và CD) \(\eqalign{ & \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNE} \right) = ME \cr & \left( {SCD} \right) \cap \left( {MNE} \right) = NF \cr} \) Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SJ, ME, NF đồng quy. Vậy điểm I phải di động trên đường thẳng SJ (trừ những điểm trong của đoạn SJ). Câu 77 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\) a) Chứng minh rằng đường chéo \({B_1}D\) cắt \(mp\left( {{A_1}B{C_1}} \right)\) tại điểm G sao cho \({B_1}G = {1 \over 2}GD\) và G là trọng tâm của tam giác \({A_1}B{C_1}.\) b) Chứng minh rằng \(\left( {{D_1}AC} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right)\) và trọng tâm G’ của tam giác \({D_1}AC\) cũng nằm trên \({B_1}D\) và \({B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D.\) c) Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm \({B_1}\) qua \(A,\,{D_1}\) và C. Chứng minh rằng \(\left( {PQR} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right)\). d) Chứng minh rằng D là trọng tâm tứ diện \({B_1}PQR.\) Giải a) Gọi \({O_1}\) là giao điểm của \({A_1}{C_1}\) và \({B_1}{D_1}.\) Khi đó \(\left( {{A_1}B{C_1}} \right) \cap \left( {B{\rm{D}}{D_1}{B_1}} \right) = B{O_1}.\) Gọi G là giao điểm của \({B_1}D\) và \(B{O_1}\) thì G chính là giao điểm của \({B_1}D\) với \(\left( {{A_1}B{C_1}} \right).\) Dễ thấy \(\Delta GBD \sim \Delta G{O_1}{B_1},\) tỉ số đồng dạng là 2 (do \({{BD} \over {{B_1}{O_1}}} = 2\)). Vậy \({B_1}G = {1 \over 2}GD\) và \(G{O_1} = {1 \over 2}GB,\) suy ra G là trọng tâm tam giác \({A_1}B{C_1}.\) b) Dễ thấy \(AC//{A_1}{C_1},\,{D_1}A//{C_1}B \Rightarrow \left( {{D_1}AC} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right).\) Chứng minh tương tự như câu a), ta có trọng tâm G’ của tam giác \({D_1}AC\) nằm trên đường chéo \(D{B_1}\) và \(DG' = {1 \over 2}G'{B_1}.\) Từ đó và kết quả của câu a), suy ra G và G’ chia đường chéo \({B_1}D\) thành ba phần bằng nhau. Vậy \({B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D.\) c) Do \(A,\,{D_1},\,C\) lần lượt là trung điểm của \(P{B_1},\,Q{B_1},\,R{B_1}\) nên \(PQ//A{D_1},\,QR//{D_1}C,\,RP//CA.\) Từ đó suy ra: \(\left( {PRQ} \right)//\left( {A{D_1}C} \right).\) Mặt khác, theo câu b), ta có \(\left( {{D_1}AC} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right),\) nên \(\left( {PRQ} \right)//\left( {B{A_1}{C_1}} \right).\) d) Vì \(A,\,{D_1},\,C\) lần lượt là trung điểm của \({B_1}P,\,{B_1}Q,\,{B_1}R\) nên trọng tâm G” của tam giác PRQ phải nằm trên đường thẳng \({B_1}G'\) và \({B_1}G'' = 2{B_1}G'.\) Mặt khác \({B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D,\) nên \({B_1}G'' = {4 \over 3}{B_1}D \Rightarrow {B_1}D = {3 \over 4}{B_1}G''.\) Vậy D là trọng tâm tứ diện \({B_1}PQR.\)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng quy; (B) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng phẳng; (C) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy; (D) Ba đường thẳng đồng quy thì đồng phẳng. 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng; (B) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng; (C) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng đó đồng phẳng; (D) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau thì cả ba đường thẳng đó đồng phẳng. 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. (B) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau; (C) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau; (D) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. 4. Cho hai đường thẳng song song a và b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (A) Nếu mặt phẳng (P) cắt a thì cũng cắt b (B) Nếu mặt phăng (P) song song với a thì cũng song song với b; (C) Nếu mặt phẳng (P) song song với a thì mặt phẳng (P) hoặc song song với b hoặc mặt phẳng (P) chứa b; (D) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a thì cũng có thể chứa đường thẳng b. 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (A) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau; (B) Nếu một đường thẳng cắt một trong hai măt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại; (C) Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai măt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại; (D) Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại. 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì song song với nhau; (B) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau; (C) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau; (D) Các mệnh đề trên đều sai. 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC và BD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) Hai đường thẳng RS và PQ cắt nhau; (B) Hai đường thẳng NR và PQ song song với nhau; (C) Hai đường thẳng MN và PQ song song với nhau; (D) Hai đường thẳng RS và MP chéo nhau. 8. Với giả thiết như bài 7, hay cho biết Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) Ba đường thẳng MQ, RS, NP đôi một song song; (B) Ba đường thẳng MP, NQ, RS đồng quy; (C) Ba đường thẳng NQ, SP, RS đồng quy; (D) Cả ba mệnh đề trên đều sai. 9. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến \(\Delta .\) Hai đường thẳng p và q lần lượt nằm trong (P) và (Q. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? (A) p và q cắt nhau; (B) p và q chéo nhau; (C) p và q song song; (D) Cả ba mệnh đề trên đều sai. 10. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Diện tích của thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (BGG’) là: (A) \({{{a^2}\sqrt {11} } \over 3};\) (B) \({{{a^2}\sqrt {11} } \over 6};\) (C) \({{{a^2}\sqrt {11} } \over 8};\) (D) \({{{a^2}\sqrt {11} } \over {16}}.\) 11. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây đúng? (A) AD//(BEF) (B) (AFD)//(BEC); (C) (ABD)//(EFC); (D) EC//(ABF). 12. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Một mặt phẳng (P) thay đổi qua A’ và song song với AC luôn đi qua một đường thẳng cố định là (A) Đường thẳng A’B’; (B) Đường thẳng A’D’; (C) Đường thẳng A’C’; (D) Đường thẳng A’B. 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các đoạn thẳng SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Khi đó ta có: (A) Ba đường thẳng NE, AC, MF đôi một cắt nhau; (B) Ba đường thẳng NE, AC, MF đôi một song song; (C) BA đường thẳng NE, AC, MF đồng phẳng; (D) Cả ba mệnh đề trên đều sai. 14. Với giả thiết của bài 13, ta có: (A) MN//(SCD); (B) EF//(SAC); (C) NF//(SAD); (D) IJ//(SAB). Giải 1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. C 8. B 9. D 10. D 11. B 12. C 13. B 14. D
