Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) \(y = 3{x^2} - 8{x^3}\) b) \(y = 16x + 2{x^2} - {{16} \over 3}{x^3} - {x^4}\) c) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) d) \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\) Hướng dẫn làm bài a) TXĐ: R \(y' = 6x - 24{x^2} = 6x(1 - 4x)\) y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = {1 \over 4}} \cr} } \right.\) y' > 0 trên khoảng (0;\({1 \over 4}\) ) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0;\({1 \over 4}\) ) y' < 0 trên các khoảng (-∞;0 ); \(({1 \over 4}; + \infty )\), suy ra y nghịch biến trên các khoảng (-∞;0 ); \(({1 \over 4}; + \infty )\) b) TXĐ: R \(y' = 16 + 4x - 16{x^2} - 4{x^3} = - 4(x + 4)({x^2} - 1)\) y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = - 4} \cr {x = - 1} \cr {x = 1} \cr} } \right.\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +∞) c) TXĐ: R \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\) y'=0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = 3} \cr} } \right.\) y' > 0 trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) nên y đồng biến trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3) d) TXĐ: R \(y' = 4{x^3} + 16 = 4x({x^2} + 4)\) y' = 0 <=> x = 0 y' > 0 trên khoảng (0; +∞) => y đồng biến trên khoảng (0; +∞) y' < 0 trên khoảng (-∞; 0) => y nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) \(y = {{3 - 2x} \over {x + 7}}\) b) \(y = {1 \over {{{(x - 5)}^2}}}\) c) \(y = {{2x} \over {{x^2} - 9}}\) d) \(y = {{{x^4} + 48} \over x}\) e) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\) g) \(y = {{{x^2} - 5x + 3} \over {x - 2}}\) Hướng dẫn làm bài a) TXĐ: R\ {-7} \(y' = {{ - 17} \over {{{(x + 7)}^2}}}\) y' < 0 trên các khoảng (-∞; -7), (-7; +∞) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó b) TXĐ: R\ {5} \(y' = {{ - 2} \over {{{(x - 5)}^3}}}\) y' < 0 trên khoảng (5; +∞) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +∞) y' > 0 trên khoảng (-∞; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-∞; 5) c) TXĐ: R\{-3; 3} \(y' = {{ - 2({x^2} + 9)} \over {{{({x^2} - 9)}^2}}}\) y' < 0 trên các khoảng (-∞; - 3), (-3; 3), (3; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó. d) TXĐ: R\ {0} \(y' = {{3({x^4} - 16)} \over {{x^2}}} = {{3({x^2} - 4)({x^2} + 4)} \over {{x^2}}}\) y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = - 2} \cr {x = 2} \cr} } \right.\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2) e) TXĐ: R \ {-1} \(y' = {{{x^2} + 2x - 5} \over {{{(x + 1)}^2}}}\) y' = 0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = - 1 - \sqrt 6 } \cr {x = - 1 + \sqrt 6 } \cr} } \right.\) Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1 - \sqrt 6 ),( - 1 + \sqrt 6 ; + \infty )\) và nghịch biến trên các khoảng \(( - 1 - \sqrt 6 ; - 1),( - 1; - 1 + \sqrt 6 )\) g) TXĐ: R\ {2} \(y' = {{{x^2} - 4x + 7} \over {{{(x - 2)}^2}}} > 0\) (do \({x^2} - 4x + 7\) có ∆' = - 3 < 0) Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ;2),(2; + \infty )\) Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xét tính đơn điệu của các hàm số: a) \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) b) \(y = {{\sqrt x } \over {x + 100}}\) c) \(y = {x \over {\sqrt {16 - {x^2}} }}\) d) \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\) Hướng dẫn làm bài a) TXĐ: [-5; 5] \(y' = {{ - x} \over {\sqrt {25 - {x^2}} }}\) ; y’ = 0 <=> x = 0 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-5; 0) nghịch biến trên khoảng (0; 5) b) TXĐ: [0; +∞) \(y' = {{100 - x} \over {2\sqrt x {{(x + 100)}^2}}}\) ; y’ = 0 <=> x = 100 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +∞) c) TXĐ: (-4; 4) \(y' = {{16} \over {(16 - {x^2})\sqrt {16 - {x^2}} }} > 0\) ; ∀ x ∈ (-4; 4). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-4; 4). d) TXĐ: (-∞; \(\sqrt 6 \)) ∪ (\(\sqrt 6 \); +∞) \(y' = {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {({x^2} - 6)\sqrt {{x^2} - 6} }}\) ; y’ = 0 <=> x = ±3 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3), (3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-3;\(-\sqrt 6 \) ), (\(\sqrt 6 \); 3). Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\), x ∈ [0; 2π]. b) \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\) c) \(y = \sin {1 \over x}\) , (x > 0) Hướng dẫn làm bài a) \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\), x ∈ [0; 2π]. \(y' = 1 - c{\rm{osx }}\) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π] Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π. Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π]. b) \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\) \(y' = 1 - 2\sin x\) < 0 với x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\) Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\) c) Xét hàm số \(y = \sin {1 \over x}\) với x > 0. \(y' = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\) Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞): \({1 \over {{x^2}}}( - \cos {1 \over x}) > 0\) ⟺ \(\cos {1 \over x}\) < 0 ⟺ \({\pi \over 2}(1 + 4k) < {1 \over x} < {\pi \over 2}(3 + 4k)\) ,k = 0, 1, 2 …. ⟺ \({2 \over {\pi (1 + 4k)}} > x > {2 \over {\pi (3 + 4k)}}\) , k = 0, 1, 2 …….. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(....,({2 \over {(4k + 3)\pi }};{2 \over {(4k + 1)\pi }}),({2 \over {(4k - 1)\pi }};{2 \over {(4k - 3)\pi }}),.....,\) \(({2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}),({2 \over {3\pi }};{2 \over \pi })\) Và nghịch biến trên các khoảng ……, \(({2 \over {(4k + 1)\pi }};{2 \over {(4k - 1)\pi }}),({2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}),.....,({2 \over \pi }; + \infty )\) với k = 0, 1, 2 … Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xác định m để hàm số sau: a) \(y = {{mx - 4} \over {x - m}}\)đồng biến trên từng khoảng xác định; b) \(y = {{ - mx - 5m + 4} \over {x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định; c) \(y = - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4\) nghịch biến trên ; d) \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7\) đồng biến trên R. Hướng dẫn làm bài: a) Tập xác định: D = R\{m} Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(( - \infty ;m),(m; + \infty )\)khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & y' = {{ - {m^2} + 4} \over {{{(x - m)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 4 > 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \cr} \) b) Tập xác định: D = R\{m} Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi: \(y' = {{ - {m^2} + 5m - 4} \over {{{(x + m)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 5m-4 < 0\) \(\left[ \matrix{ m < 1 \hfill \cr m > 4 \hfill \cr} \right.\) c) Tập xác định: D = R Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & y' = - 3{x^2} + 2mx - 3 \le 0 \Leftrightarrow ' = {m^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \cr & \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3 \cr} \) d) Tập xác định: D = R Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & y' = 3{x^2} - 4mx + 12 \ge 0 \Leftrightarrow ' = 4{m^2} - 36 \le 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3 \cr} \) Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất a) \(3(c{\rm{os x - 1) + }}{\rm{2sin x + 6x = 0}}\) b) \(4x + c{\rm{os x - 2sin x - 2 = 0}}\) c) \( - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0$\) d) \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\) Hướng dẫn làm bài a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6 Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R. Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm \(x = \pi \) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất. b) Đặt \(y = 4x + \cos x - 2\sin x - 2\) Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; \(y(\pi ) = 4\pi - 3 > 0\) . Hàm số liên tục trên \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) và y’(0) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (0;\pi )\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) . Suy ra phương trình có một nghiệm \({x_0}\) . c) Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2 Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R. Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, \(y(\pi ) = 4\pi - 3 > 0\), x ∈ R. Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R. Mặt khác y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0 y(1) = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0 Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in {\rm{[}} - 1;1]\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) . Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm. d) Đặt y = x5 + x3 – 7 Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R. Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0 Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in (0;2)\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) Mặt khác \(y' = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) \ge 0,\forall x \in R\) => Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; + \infty )\). Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm. Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Chứng minh phương trình \({x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất (Đề thi đại học năm 2004) Hướng dẫn làm bài: Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = (x + 1)2 0 => x ≥ 0 => (x + 1)2 1 => x5 1 => x 1 Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\) . Xét hàm số \(f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1\) ta thấy f(x) liên tục trên R Mặt khác, \(f(1) = - 3 < 0,f(2) = 23 > 0\) Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (1;2)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\) Ta có: f’(x) = 5x4 – 2x – 2 = (2x4 – 2x) + (2x4 – 2) + x4 = 2x(x3 – 1) + 2(x4 – 1) + x4 > 0 , \(\forall x \ge 1\) Suy ra f(x) đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\) Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) \(\tan x > \sin x,0 < x < {\pi \over 2}\) b) \(1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} < 1 + {1 \over 2}x\) với \(0 < x < + \infty \) Hướng dẫn làm bài: a) Xét hàm số \(f(x) = \tan x - \sin x\) trên nửa khoảng \({\rm{[}}0;{\pi \over 2})\) ; \(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - \cos x = {{1 - {{\cos }^3}x} \over {{{\cos }^2}}} \ge 0;x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\) Dấu “=” xảy ra khi x = 0. Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0;{\pi \over 2})\) Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x – sin x > 0 hay tan x > sin x với mọi \(x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\) b) Xét hàm số \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x}\) trên $${\rm{[}}0; + \infty )$$ \(\eqalign{ & h'(x) = {1 \over 2} - {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} \ge 0 \cr & 1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} ,0 \le x \le + \infty \cr} \) Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\). Vì h(x) = 0 nên \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x} > 0\) Hay \(1 + {1 \over 2}x > \sqrt {1 + x} \) với \(0 \le x < + \infty \) Xét hàm số trên \(f(x) = \sqrt {1 + x} - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8}\) trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) ; \(\eqalign{ & g(x) = f'(x) = {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} - {1 \over 2} + {x \over 4} \cr & g'(x) = {1 \over 4} - {1 \over {4(1 + x)\sqrt {1 + x} }} \ge 0,0 \le x < + \infty \cr} \) Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\) nên \(g(x) \ge 0\) , tức là \(f'(x) \ge 0\) trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng . Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên \(f(x) = \sqrt {1 + x} - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8} > 0\) hay \(1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} \) Với mọi \(0 < x < + \infty \). Bài 1.9 trang 9 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Chứng minh rằng phương trình \({x^3} - 3x + c = 0\) không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1]. Hướng dẫn làm bài: Đặt \(f(x) = {x^3} - 3x + C\) . TXĐ: R \(f'(x) = 3{x^2} - 3 = 3({x^2} - 1)\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 1 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: Trên đoạn [0; 1] hàm số f(x) nghịch biến nên đồ thị của hàm số f(x) không thể cắt trục hoành tại hai điểm trên đoạn này, tứclà phương trình x3 – 3x + C = 0 không thể có hai nghiệm thực trên đoạn [0; 1]. Bài 1.10 trang 9 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xác định giá trị của b để hàm số f(x) = \(\sin x - bx + c\) nghịch biến trên toàn trục số. Hướng dẫn làm bài: \(f(x) = \sin x - bx + c\) nghịch biến trên R nếu ta có: \(f'(x) = \cos x - b \le 0,\forall x \in R\) . Vì \(|\cos x| \le 1\) nên \(f'(x) \le 0,\forall x \in R < = > b \ge 1.\)
