Bài 1.11 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = - 2{x^2} + 7x - 5\) b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\) c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) d) \(y = {(x + 1)^3}(5 - x)\) e) \(y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}\) Hướng dẫn làm bài: a) \(y = - 2{x^2} + 7x - 5\) . TXĐ: R \(\eqalign{ & y' = - 4x + 7,y' = 0 < = > x = {7 \over 4} \cr & y'' = - 4 = > y''({7 \over 4}) = - 4 < 0 \cr} \) Vậy \(x = {7 \over 4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = {9 \over 8}\) b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\) . TXĐ: R \(y' = 3{x^2} - 6x - 24 = 3({x^2} - 2x - 8)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr x = 4 \hfill \cr} \right.\) Vì \(y''( - 2) = - 18 < 0,y''(4) = 18 > 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x = - 2 ; đạt cực tiểu tại x = 4 và yCĐ = y(-2) = 35 ; yCT = y(4) = -73. c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) TXĐ: R \(\eqalign{ & = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr & y' = 4{x^3} - 10x = 2x(2{x^2} - 5) \cr} \) $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = - \sqrt {{5 \over 2}} \hfill \cr x = \sqrt {{5 \over 2}} \hfill \cr} \right.$$ Vì \(y''( \pm \sqrt {{5 \over 2}} ) = 20 > 0,y''(0) = - 10 < 0\) Nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại \(x = \pm \sqrt {{5 \over 2}} \) và ta có: yCĐ = y(0) = 4 , \({y_{_{CT}}} = y( \pm \sqrt {{5 \over 2}} ) = - {9 \over 4}\) d) TXĐ: R \(y' = - {(x + 1)^3} + 3{(x + 1)^2}(5 - x) = 2{(x + 1)^2}(7 - 2x)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = {7 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại \(x = {7 \over 2};{y_{CD}} = y({7 \over 2}) = {{2187} \over {16}}\) e) TXĐ: R \(y' = 2(x + 2){(x - 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x - 3)^2} = 5x(x + 2){(x - 3)^2}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr x = 0 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: Từ đó suy ra yCĐ = y(-2) = 0 ; yCT = y(0) = -108. Bài 1.12 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\) b) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}\) c) \(y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}\) d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\) Hướng dẫn làm bài: a) TXĐ : R \(y' = {{{x^2} + 8 - 2x(x + 1)} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x + 8} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = - 4 và \({y_{CD}} = y(2) = {1 \over 4};{y_{CT}} = y( - 4) = - {1 \over 8}\) b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1. \(y' = {{{x^2} - 2x - 1} \over {{{(x - 1)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr x = 1 + \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt 2 \) và đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt 2\) , ta có: \({y_{CD}} = y(1 - \sqrt 2 ) = - 2\sqrt 2 ;{y_{CT}} = y(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 \) c) TXĐ: R\{-1} \(y' = {{{x^2} + 2x + 6} \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\) Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị. d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\) Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên \(( - \infty ; + \infty )\) \(y' = {{2(x - 4)({x^2} - 2x + 5) - {{(x - 4)}^2}(2x - 2)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}} = {{2(x - 4)(3x + 1)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {1 \over 3} \hfill \cr x = 4 \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại \(x = - {1 \over 3}\) , đạt cực tiểu tại x = 4 và \({y_{CD}} = y( - {1 \over 3}) = {{13} \over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0\) Bài 1.13 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = x - 6\root 3 \of {{x^2}} \) b) \(y = (7 - x)\root 3 \of {x + 5}\) c) \(y = {x \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}\) d) \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\) Hướng dẫn làm bài: a) TXĐ: R \(y' = 1 - {4 \over {\root 3 \of x }} = {{\root 3 \of x - 4} \over {\root 3 \of x }}\) \(y' = 0 < = > x = 64\) Bảng biến thiên: Vậy ta có yCĐ = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32. b) Hàm số xác định trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) . \(y' = - \root 3 \of {x + 5} + {{7 - x} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }} = {{ - 4(x + 2)} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }}\) Bảng biến thiên: Vậy \({y_{CD}} = y( - 2) = 9\root 3 \of 3 \) c) Hàm số xác định trên khoảng \(( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) . \(y' = {{\sqrt {10 - {x^2}} + {{{x^2}} \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}} \over {10 - {x^2}}} = {{10} \over {(10 - {x^2})\sqrt {10 - {x^2}} }}\) Vì y’ > 0 với mọi \(( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị. d) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 6 ) \cup (\sqrt 6 ; + \infty )\) \(\eqalign{ & y' = {{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 6} - {{{x^4}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}} \over {{x^2} - 6}} \cr & = {{3{x^2}({x^2} - 6) - {x^4}} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr & = {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr} \) Bảng biến thiên: Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x =- 3 và \({y_{CT}} = y(3) = 9\sqrt 3 ;{y_{CD}} = y( - 3) = - 9\sqrt 3 \) Bài 1.14 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = \sin 2x\) b) \(y = \cos x - \sin x\) c) \(y = {\sin ^2}x\) Hướng dẫn làm bài: a) \(y = \sin 2x\) Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \) Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có: \(y' = 2\cos 2x\) \(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} \hfill \cr x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\) Bảng biến thiên: Do đó trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , hàm số đạt cực đại tại \({\pi \over 4}\) , đạt cực tiểu tại \({{3\pi } \over 4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1;\,\,{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = - 1\) Vậy trên R ta có: \({y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1;\) \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = - 1,k \in Z\) b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\). \(\eqalign{ & y' = - \sin x - \cos x \cr & y' = 0 < => \tan x = - 1 < = > x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr} \) Lập bảng biến thiên trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\) Hàm số đạt cực đại tại \(x = - {\pi \over 4} + k2\pi \) , đạt cực tiểu tại \(x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi (k \in Z)\) và \({y_{CĐ}} = y( - {\pi \over 4} + k2\pi ) = \sqrt 2\) ; \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k2\pi ) = - \sqrt 2 (k \in Z)\) c) Ta có: \(y = {\sin ^2}x = {{1 - \cos 2x} \over 2}\) Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \). Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) . \(\eqalign{ & y' = \sin 2x \cr & y' = 0 < = > \sin 2x = 0 < = > x = k.{\pi \over 2}(k \in Z) \cr} \) Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\) Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k lẻ, và \({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0;\) \({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)\) Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị: a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) b) \(y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1\) c) \(y = {{{x^2} - 2mx + 5} \over {x - m}}\) Hướng dẫn làm bài: a) TXĐ: D = R \(y' = 3{x^2} - 6x + m\) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R. ⇔ 3x2 – 6x + m có hai nghiệm phân biệt. ⇔ ∆’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3. Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3. b) TXĐ: D = R y’ = 3x2 + 4mx + m Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R. ⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt. ⇔ ∆’ = 4m2 -3m > 0 ó m(4m – 3) > 0 \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m < 0 \hfill \cr m > {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\) Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc \(m > {3 \over 4}\) . c) TXĐ: D = R\{m} \(y' = {{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 5} \over {{{(x - m)}^2}}}\) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D ⇔ x2 – 2mx + 2m2 – 5 có hai nghiệm phân biệt. ⇔ ∆’ = - m2 + 5 > 0 ⇔ \( - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \) Bài 1.16 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011) Hướng dẫn làm bài: TXĐ: D = R y’ = 3x2 – 4x + m ; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0 Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi: ∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ \(m < {4 \over 3}\) (*) Hàm số có cực trị tại x = 1 thì : y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1 (thỏa mãn điều kiện (*) ) Mặt khác, vì: y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0 cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu. Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xác định m để hàm số: \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\) có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng. Hướng dẫn làm bài: \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\) Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó. Ta có: Xét y’ = 0, ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + (m - {2 \over 3})\) ∆’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (*) Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì \(y'(1) = 3 - 2m + m - {2 \over 3} = 0 < = > m = {7 \over 3}\) , thỏa mãn điều kiện (*) Với \(m = {7 \over 3}\) thì hàm số đã cho trở thành: \(y = {x^3} - {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5\) Ta có: \(\eqalign{ & y' = 3{x^2} - {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr & y'' = 6x - {{14} \over 3} \cr} \) Vì \(y''(1) = 6 - {{14} \over 3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}.\) Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Chứng minh rằng hàm số: \(f(x) = \left\{ \matrix{ - 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr \sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\) Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó. Hướng dẫn làm bài: Hàm số: \(f(x) = \left\{ \matrix{ - 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr \sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\) Không có đạo hàm tại x = 0 vì: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr} \) Mặt khác, với x < 0 thì \(y' = {1 \over 2}\cos {x \over 2}\) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0 Bảng biến thiên: Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 0. Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị. \(y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}}\) Hướng dẫn làm bài: Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}. Ta có: \(\eqalign{ & y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}} \cr & y' = {{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr & = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr} \) Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3 ∆’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1) ; ∆’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1. Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị. Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị. Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.