Sách bài tập Toán 12 - Giải tích 12 cơ bản - Chương I - Bài 2. Cực trị của hàm số

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1.11 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Tìm cực trị của các hàm số sau:
    a) \(y = - 2{x^2} + 7x - 5\)
    b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)
    c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\)
    d) \(y = {(x + 1)^3}(5 - x)\)
    e) \(y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) \(y = - 2{x^2} + 7x - 5\) . TXĐ: R
    \(\eqalign{
    & y' = - 4x + 7,y' = 0 < = > x = {7 \over 4} \cr
    & y'' = - 4 = > y''({7 \over 4}) = - 4 < 0 \cr} \)
    Vậy \(x = {7 \over 4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = {9 \over 8}\)
    b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\) . TXĐ: R
    \(y' = 3{x^2} - 6x - 24 = 3({x^2} - 2x - 8)\)
    \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - 2 \hfill \cr
    x = 4 \hfill \cr} \right.\)
    Vì \(y''( - 2) = - 18 < 0,y''(4) = 18 > 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x = - 2 ; đạt cực tiểu tại x = 4 và y = y(-2) = 35 ; yCT = y(4) = -73.
    c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\)
    TXĐ: R
    \(\eqalign{
    & = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr
    & y' = 4{x^3} - 10x = 2x(2{x^2} - 5) \cr} \)
    $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = 0 \hfill \cr
    x = - \sqrt {{5 \over 2}} \hfill \cr
    x = \sqrt {{5 \over 2}} \hfill \cr} \right.$$
    Vì \(y''( \pm \sqrt {{5 \over 2}} ) = 20 > 0,y''(0) = - 10 < 0\)
    Nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại \(x = \pm \sqrt {{5 \over 2}} \) và ta có:
    y = y(0) = 4 , \({y_{_{CT}}} = y( \pm \sqrt {{5 \over 2}} ) = - {9 \over 4}\)
    d) TXĐ: R
    \(y' = - {(x + 1)^3} + 3{(x + 1)^2}(5 - x) = 2{(x + 1)^2}(7 - 2x)\)
    \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - 1 \hfill \cr
    x = {7 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
    Bảng biến thiên:
    04.jpg
    Hàm số đạt cực đại tại \(x = {7 \over 2};{y_{CD}} = y({7 \over 2}) = {{2187} \over {16}}\)
    e) TXĐ: R
    \(y' = 2(x + 2){(x - 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x - 3)^2} = 5x(x + 2){(x - 3)^2}\)
    \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - 2 \hfill \cr
    x = 0 \hfill \cr
    x = 3 \hfill \cr} \right.\)
    Bảng biến thiên:
    05.jpg
    Từ đó suy ra y = y(-2) = 0 ; yCT = y(0) = -108.

    Bài 1.12 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.

    Tìm cực trị của các hàm số sau:
    a) \(y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\)
    b) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}\)
    c) \(y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}\)
    d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) TXĐ : R
    \(y' = {{{x^2} + 8 - 2x(x + 1)} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x + 8} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}}\)
    \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - 4 \hfill \cr
    x = 2 \hfill \cr} \right.\)
    Bảng biến thiên:
    01.jpg
    Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = - 4 và \({y_{CD}} = y(2) = {1 \over 4};{y_{CT}} = y( - 4) = - {1 \over 8}\)
    b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.
    \(y' = {{{x^2} - 2x - 1} \over {{{(x - 1)}^2}}}\)
    \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr
    x = 1 + \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
    Bảng biến thiên:
    02.jpg
    Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt 2 \) và đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt 2\) , ta có:
    \({y_{CD}} = y(1 - \sqrt 2 ) = - 2\sqrt 2 ;{y_{CT}} = y(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 \)
    c) TXĐ: R\{-1}
    \(y' = {{{x^2} + 2x + 6} \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\)
    Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.
    d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\)
    Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên \(( - \infty ; + \infty )\)
    \(y' = {{2(x - 4)({x^2} - 2x + 5) - {{(x - 4)}^2}(2x - 2)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}} = {{2(x - 4)(3x + 1)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}\)
    \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - {1 \over 3} \hfill \cr
    x = 4 \hfill \cr} \right.\)
    Bảng biến thiên:
    03.jpg
    Hàm số đạt cực đại tại \(x = - {1 \over 3}\) , đạt cực tiểu tại x = 4 và \({y_{CD}} = y( - {1 \over 3}) = {{13} \over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0\)

    Bài 1.13 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Tìm cực trị của các hàm số sau:
    a) \(y = x - 6\root 3 \of {{x^2}} \)
    b) \(y = (7 - x)\root 3 \of {x + 5}\)
    c) \(y = {x \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}\)
    d) \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) TXĐ: R
    \(y' = 1 - {4 \over {\root 3 \of x }} = {{\root 3 \of x - 4} \over {\root 3 \of x }}\)
    \(y' = 0 < = > x = 64\)
    Bảng biến thiên:
    06.jpg
    Vậy ta có y = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.
    b) Hàm số xác định trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) .
    \(y' = - \root 3 \of {x + 5} + {{7 - x} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }} = {{ - 4(x + 2)} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }}\)
    Bảng biến thiên:
    07.jpg
    Vậy \({y_{CD}} = y( - 2) = 9\root 3 \of 3 \)
    c) Hàm số xác định trên khoảng \(( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) .
    \(y' = {{\sqrt {10 - {x^2}} + {{{x^2}} \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}} \over {10 - {x^2}}} = {{10} \over {(10 - {x^2})\sqrt {10 - {x^2}} }}\)
    Vì y’ > 0 với mọi \(( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.
    d) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 6 ) \cup (\sqrt 6 ; + \infty )\)
    \(\eqalign{
    & y' = {{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 6} - {{{x^4}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}} \over {{x^2} - 6}} \cr
    & = {{3{x^2}({x^2} - 6) - {x^4}} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr
    & = {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr} \)
    Bảng biến thiên:
    08.jpg
    Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x =- 3 và \({y_{CT}} = y(3) = 9\sqrt 3 ;{y_{CD}} = y( - 3) = - 9\sqrt 3 \)

    Bài 1.14 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Tìm cực trị của các hàm số sau:
    a) \(y = \sin 2x\)
    b) \(y = \cos x - \sin x\)
    c) \(y = {\sin ^2}x\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) \(y = \sin 2x\)
    Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)
    Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:
    \(y' = 2\cos 2x\)
    \(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {\pi \over 4} \hfill \cr
    x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)
    Bảng biến thiên:
    09.jpg
    Do đó trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , hàm số đạt cực đại tại \({\pi \over 4}\) , đạt cực tiểu tại \({{3\pi } \over 4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1;\,\,{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = - 1\)
    Vậy trên R ta có:
    \({y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1;\)
    \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = - 1,k \in Z\)
    b)
    Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).
    \(\eqalign{
    & y' = - \sin x - \cos x \cr
    & y' = 0 < => \tan x = - 1 < = > x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
    Lập bảng biến thiên trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)
    10.jpg
    Hàm số đạt cực đại tại \(x = - {\pi \over 4} + k2\pi \) , đạt cực tiểu tại \(x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi (k \in Z)\) và
    \({y_{CĐ}} = y( - {\pi \over 4} + k2\pi ) = \sqrt 2\) ;
    \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k2\pi ) = - \sqrt 2 (k \in Z)\)
    c) Ta có: \(y = {\sin ^2}x = {{1 - \cos 2x} \over 2}\)
    Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \). Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) .
    \(\eqalign{
    & y' = \sin 2x \cr
    & y' = 0 < = > \sin 2x = 0 < = > x = k.{\pi \over 2}(k \in Z) \cr} \)
    Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)
    11.jpg

    Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k lẻ, và
    \({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0;\)
    \({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)\)

    Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị:
    a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\)
    b) \(y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1\)
    c) \(y = {{{x^2} - 2mx + 5} \over {x - m}}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) TXĐ: D = R
    \(y' = 3{x^2} - 6x + m\)
    Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.
    ⇔ 3x2 – 6x + m có hai nghiệm phân biệt.
    ⇔ ∆’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3.
    Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3.
    b) TXĐ: D = R
    y’ = 3x2 + 4mx + m
    Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.
    ⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.
    ⇔ ∆’ = 4m2 -3m > 0 ó m(4m – 3) > 0
    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    m < 0 \hfill \cr
    m > {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\)
    Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc \(m > {3 \over 4}\) .
    c) TXĐ: D = R\{m}
    \(y' = {{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 5} \over {{{(x - m)}^2}}}\)
    Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D
    ⇔ x2 – 2mx + 2m2 – 5 có hai nghiệm phân biệt.
    ⇔ ∆’ = - m2 + 5 > 0 ⇔ \( - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \)

    Bài 1.16 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
    (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
    Hướng dẫn làm bài:
    TXĐ: D = R
    y’ = 3x2 – 4x + m ; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0
    Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:
    ∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ \(m < {4 \over 3}\) (*)
    Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :
    y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1 (thỏa mãn điều kiện (*) )
    Mặt khác, vì:
    y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0
    cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.
    Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

    Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Xác định m để hàm số: \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\) có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
    Hướng dẫn làm bài:
    \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\)
    Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
    Ta có:
    Xét y’ = 0, ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + (m - {2 \over 3})\)
    ∆’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (*)
    Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì
    \(y'(1) = 3 - 2m + m - {2 \over 3} = 0 < = > m = {7 \over 3}\) , thỏa mãn điều kiện (*)
    Với \(m = {7 \over 3}\) thì hàm số đã cho trở thành:
    \(y = {x^3} - {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5\)
    Ta có:
    \(\eqalign{
    & y' = 3{x^2} - {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr
    & y'' = 6x - {{14} \over 3} \cr} \)
    Vì \(y''(1) = 6 - {{14} \over 3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}.\)

    Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Chứng minh rằng hàm số:
    \(f(x) = \left\{ \matrix{
    - 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
    \sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)
    Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
    Hướng dẫn làm bài:

    Hàm số:
    \(f(x) = \left\{ \matrix{
    - 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr
    \sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)
    Không có đạo hàm tại x = 0 vì:
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr} \)
    Mặt khác, với x < 0 thì \(y' = {1 \over 2}\cos {x \over 2}\) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0
    Bảng biến thiên:
    12.jpg
    Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = y(0) = 0.

    Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.
    \(y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.
    Ta có:
    \(\eqalign{
    & y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}} \cr
    & y' = {{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr
    & = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr} \)
    Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3
    ∆’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1) ;
    ∆’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.
    Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.
    Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị.
    Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.