Bài 1.29 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\); b) \(y = {{3 - 2x} \over {3x + 1}}\) c) \(y = {5 \over {2 - 3x}}\) d) \(y = {{ - 4} \over {x + 1}}\) Hướng dẫn làm bài: a) \(y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} {{2x - 1} \over {x + 2}} = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} {{2x - 1} \over {x + 2}} = + \infty \) nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x - 1} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {2 \over x}}} = 2\) nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b) Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - {1 \over 3})}^ + }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - {1 \over 3})}^ - }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = - \infty \) , ta có \(x = - {1 \over 3}\) là tiệm cận đứng Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{3 \over x} - 2} \over {3 + {1 \over x}}} = - {2 \over 3}\) nên đường thẳng \(y = - {2 \over 3}\) là tiệm cận ngang. c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{({2 \over 3})}^ + }} {5 \over {2 - 3x}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{({2 \over 3})}^ - }} {5 \over {2 - 3x}} = + \infty \) nên \(x = {2 \over 3}\) là tiệm cận đứng, Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {5 \over {2 - 3x}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang. d) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} {{ - 4} \over {x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {{ - 4} \over {x + 1}} = + \infty \) nên x = -1 là tiệm cận đứng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 4} \over {x + 1}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang. Bài 1.30 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}}\) b) \(y = {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}}\) c) \(y = {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}}\) d) \(y = {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}}\) e) \(y = {{3x + \sqrt {{x^2} + 1} } \over {2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\) f) \(y = {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}}\) Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 - {{12} \over x} + {{27} \over {{x^2}}}} \over {1 - {4 \over x} + {5 \over {{x^2}}}}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang. b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng. Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \over {{{(1 - {1 \over x})}^2}}} = 1\) suy ra y = 1 là tiệm cận ngang. c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} = - \infty \) nên x = 2 là một tiệm cận đứng. Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} = - \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng thứ hai. Ta lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {1 - {4 \over {{x^2}}}}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang. d) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {(x - 1)(x - 3)}} = \mp \infty\) nên x = 1 là tiệm cận đứng. Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = \mp \infty \) nên x = 3 cũng là tiệm cận đứng Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang. e) TXĐ: R Từ \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{3 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} + \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = {4 \over {\sqrt 3 }} = {{4\sqrt 3 } \over 3} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3 - \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = - {2 \over {\sqrt 3 }} = - {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang: \(y = {{4\sqrt 3 } \over 3}\) khi \(x \to + \infty \) \(y = - {{2\sqrt 3 } \over 3}\) khi \(x \to - \infty \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. f) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ;4) \cup (4; + \infty )\) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{5 - {1 \over x} - \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 4\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{5 - {1 \over x} + \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 6\) Cho nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = 4 khi \(x \to + \infty \) y = 6 khi \(x \to - \infty \) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}} = \pm \infty \) Cho nên đường thẳng x = 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Bài 1.31 trang 23 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H’) có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2. a) Cho hàm số \(y = {{3 - x} \over {x + 1}}\) có đồ thị (H) Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H’) có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2. b) Lấy đối xứng (H’) qua gốc (O), ta được hình (H’’). Viết phương trình của (H’’). Hướng dẫn làm bài: a) Từ đồ thị hàm số (H), để có hình (H’) nhận y = 2 là tiệm cận ngang và x = 2 là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau: \(\eqalign{ & y = f(x) = {{3 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{3 - x + 3x + 3} \over {x + 1}} = {{2x + 6} \over {x + 1}} \cr & y = g(x) = {{2(x - 3) + 6} \over {x - 3 + 1}} = {{2x} \over {x - 2}} \cr} \) b) Lấy đối xứng hình (H’) qua gốc O, ta được hình (H’’) có phương trình là: \(y = h(x) = - {{2( - x)} \over {( - x) - 2}} = - {{ - 2x} \over { - 2 - x}} = - {{2x} \over {x + 2}}\).
