Sách bài tập Toán 12 - Giải tích 12 cơ bản - Chương II - Bài 3. Logarit

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 2.12 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Tính:
    a) \({(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}{{\log }_3}4}}\)
    b) \({10^{3 - \log 5}}\)
    c) \(2{\log _{27}}\log 1000\)
    d) \(3{\log _2}{\log _4}16 + {\log _{\frac{1}{2}}}2\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) \(\frac{1}{4}\)
    b) \(\frac{{{{10}^3}}}{{{{10}^{\log 5}}}} = \frac{{{{10}^3}}}{5} = 200\)
    c) \(\frac{2}{3}\)
    d) 2

    Bài 2.13 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Tính:
    a) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\)
    b) \(\frac{{{{\log }_2}24 - \frac{1}{2}{{\log }_2}72}}{{{{\log }_3}18 - \frac{1}{3}{{\log }_3}72}}\)
    c) \(\frac{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}10}}{{{{\log }_2}20 + 3{{\log }_2}2}}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) \({\log _7}\sqrt {36} - {\log _7}14 - {\log _7}21 = {\log _7}\frac{1}{{49}} = - 2\)
    b) \(\frac{{{{\log }_2}24 - {{\log }_2}\sqrt {72} }}{{{{\log }_3}18 - {{\log }_3}\sqrt[3]{{72}}}} = \frac{{{{\log }_2}{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{4}{3}}}}} = \frac{9}{8}\)
    c) \(\frac{{{{\log }_2}24 - {{\log }_2}\sqrt {72} }}{{{{\log }_3}18 - {{\log }_3}\sqrt[3]{{72}}}} = \frac{{{{\log }_2}{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{4}{3}}}}} = \frac{9}{8}\).

    Bài 2.14 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Tìm x, biết:
    a) \({\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b\)
    b) \({\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) \(x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\)
    b) \(x = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\).

    Bài 2.15 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    a) Cho \(a = {\log _3}15,b = {\log _3}10\) . Hãy tính \({\log _{\sqrt 3 }}50\) theo ab.
    b) Cho \(a = {\log _2}3,b = {\log _3}5,c = {\log _7}2\) . Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo a, b, c.
    Hướng dẫn làm bài:
    a) Ta có:
    \(a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5) = {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\)
    Suy ra \({\log _3}5 = a - 1\)
    \(b = {\log _3}10 = {\log _3}(2.5) = {\log _3}2 + {\log _3}5\)
    Suy ra \({\log _3}2 = b - {\log _3}5 = b - (a - 1) = b - a + 1\)
    Do đó:
    \({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}({2.5^2}) = 2{\log _3}2 + 4{\log _3}5 = 2(b - a + 1) + 4(a - 1) = 2a + 2b - 2\)
    b) Ta có:
    \(\begin{array}{l}
    {\log _{140}}63 = {\log _{140}}({3^2}.7) = 2{\log _{140}}3 + {\log _{140}}7\\
    = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} + \frac{1}{{{{\log }_7}140}} = \frac{2}{{{{\log }_3}({2^2}.5.7)}} + \frac{1}{{{{\log }_7}({2^2}.5.7)}}\\
    = \frac{2}{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}} + \frac{1}{{2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5 + 1}}
    \end{array}\)
    Từ đề bài suy ra:
    \(\begin{array}{l}
    {\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\\
    {\log _{\frac{1}{2}}}\pi {\log _7}5 = {\log _7}2.{\log _2}3.{\log _3}5 = cab\\
    {\log _3}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}3}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2.{{\log }_2}3}} = \frac{1}{{ca}}
    \end{array}\)
    Vậy \({\log _{140}}63 = \frac{2}{{\frac{2}{a} + b + \frac{1}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + cab + 1}} = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).

    Bài 2.16 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Hãy so sánh mỗi cặp số sau:
    a) \({\log _3}\frac{6}{5}\) và \({\log _3}\frac{5}{6}\)
    b) \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) và \({\log _{\frac{1}{3}}}17\)
    c) \({\log _{\frac{1}{2}}}e\) và \({\log _{\frac{1}{2}}}\pi \)
    d) \(6\pi {\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và \({\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) \({\log _3}\frac{6}{5}\) > \({\log _3}\frac{5}{6}\)
    b) \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) < \({\log _{\frac{1}{3}}}17\)
    c) \({\log _{\frac{1}{2}}}e\) > \({\log _{\frac{1}{2}}}\pi \)
    d) \(6\pi {\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2}\) > \({\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

    Bài 2.17 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
    Chứng minh rằng:
    a) \({\log _{{a_1}}}{a_2}.{\log _{{a_2}}}{a_3}{\log _{{a_3}}}{a_4}.....{\log _{{a_{n - 1}}}}{a_n} = {\log _{{a_1}}}{a_n}\)
    b) \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^3}}}b}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{a^n}}}b}} = \frac{{n(n + 1)}}{{2{{\log }_a}b}}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    a) Sử dụng tính chất: \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\)
    b) Sử dụng tính chất: \({\log _{{a^k}}}b = \frac{1}{k}{\log _a}b\)
    và \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)