Bài 2.12 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tính: a) \({(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}{{\log }_3}4}}\) b) \({10^{3 - \log 5}}\) c) \(2{\log _{27}}\log 1000\) d) \(3{\log _2}{\log _4}16 + {\log _{\frac{1}{2}}}2\) Hướng dẫn làm bài: a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{{{{10}^3}}}{{{{10}^{\log 5}}}} = \frac{{{{10}^3}}}{5} = 200\) c) \(\frac{2}{3}\) d) 2 Bài 2.13 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tính: a) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\) b) \(\frac{{{{\log }_2}24 - \frac{1}{2}{{\log }_2}72}}{{{{\log }_3}18 - \frac{1}{3}{{\log }_3}72}}\) c) \(\frac{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}10}}{{{{\log }_2}20 + 3{{\log }_2}2}}\) Hướng dẫn làm bài: a) \({\log _7}\sqrt {36} - {\log _7}14 - {\log _7}21 = {\log _7}\frac{1}{{49}} = - 2\) b) \(\frac{{{{\log }_2}24 - {{\log }_2}\sqrt {72} }}{{{{\log }_3}18 - {{\log }_3}\sqrt[3]{{72}}}} = \frac{{{{\log }_2}{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{4}{3}}}}} = \frac{9}{8}\) c) \(\frac{{{{\log }_2}24 - {{\log }_2}\sqrt {72} }}{{{{\log }_3}18 - {{\log }_3}\sqrt[3]{{72}}}} = \frac{{{{\log }_2}{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{4}{3}}}}} = \frac{9}{8}\). Bài 2.14 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm x, biết: a) \({\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b\) b) \({\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\) Hướng dẫn làm bài: a) \(x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\) b) \(x = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\). Bài 2.15 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. a) Cho \(a = {\log _3}15,b = {\log _3}10\) . Hãy tính \({\log _{\sqrt 3 }}50\) theo a và b. b) Cho \(a = {\log _2}3,b = {\log _3}5,c = {\log _7}2\) . Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo a, b, c. Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: \(a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5) = {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\) Suy ra \({\log _3}5 = a - 1\) \(b = {\log _3}10 = {\log _3}(2.5) = {\log _3}2 + {\log _3}5\) Suy ra \({\log _3}2 = b - {\log _3}5 = b - (a - 1) = b - a + 1\) Do đó: \({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}({2.5^2}) = 2{\log _3}2 + 4{\log _3}5 = 2(b - a + 1) + 4(a - 1) = 2a + 2b - 2\) b) Ta có: \(\begin{array}{l} {\log _{140}}63 = {\log _{140}}({3^2}.7) = 2{\log _{140}}3 + {\log _{140}}7\\ = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} + \frac{1}{{{{\log }_7}140}} = \frac{2}{{{{\log }_3}({2^2}.5.7)}} + \frac{1}{{{{\log }_7}({2^2}.5.7)}}\\ = \frac{2}{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}} + \frac{1}{{2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5 + 1}} \end{array}\) Từ đề bài suy ra: \(\begin{array}{l} {\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\\ {\log _{\frac{1}{2}}}\pi {\log _7}5 = {\log _7}2.{\log _2}3.{\log _3}5 = cab\\ {\log _3}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}3}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2.{{\log }_2}3}} = \frac{1}{{ca}} \end{array}\) Vậy \({\log _{140}}63 = \frac{2}{{\frac{2}{a} + b + \frac{1}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + cab + 1}} = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\). Bài 2.16 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Hãy so sánh mỗi cặp số sau: a) \({\log _3}\frac{6}{5}\) và \({\log _3}\frac{5}{6}\) b) \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) và \({\log _{\frac{1}{3}}}17\) c) \({\log _{\frac{1}{2}}}e\) và \({\log _{\frac{1}{2}}}\pi \) d) \(6\pi {\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và \({\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Hướng dẫn làm bài: a) \({\log _3}\frac{6}{5}\) > \({\log _3}\frac{5}{6}\) b) \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) < \({\log _{\frac{1}{3}}}17\) c) \({\log _{\frac{1}{2}}}e\) > \({\log _{\frac{1}{2}}}\pi \) d) \(6\pi {\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2}\) > \({\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Bài 2.17 trang 108 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Chứng minh rằng: a) \({\log _{{a_1}}}{a_2}.{\log _{{a_2}}}{a_3}{\log _{{a_3}}}{a_4}.....{\log _{{a_{n - 1}}}}{a_n} = {\log _{{a_1}}}{a_n}\) b) \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^3}}}b}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{a^n}}}b}} = \frac{{n(n + 1)}}{{2{{\log }_a}b}}\) Hướng dẫn làm bài: a) Sử dụng tính chất: \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\) b) Sử dụng tính chất: \({\log _{{a^k}}}b = \frac{1}{k}{\log _a}b\) và \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)