Bài 2.18 trang 115 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Hãy so sánh mỗi số sau với 1. a) \({(0,1)^{\sqrt 2 }}\) b) \({(3,5)^{0,1}}\) c) \({\pi ^{ - 2,7}}\) d) \({(\frac{{\sqrt 5 }}{5})^{ - 1,2}}\) Hướng dẫn làm bài: a) \({(0,1)^{\sqrt 2 }} < 1\) b) \({(3,5)^{0,1}} > 1\) c) \({\pi ^{ - 2,7}} < 1\) d) \({(\frac{{\sqrt 5 }}{5})^{ - 1,2}} > 1\). Bài 2.19 trang 115 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của mỗi cặp hàm số sau: a) \(y = {2^x}\) và y = 8 b) \(y = {3^x}\) và \(y = \frac{1}{3}\) c) \(y = {(\frac{1}{4})^x}\) và \(y = \frac{1}{{16}}\) d) \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) và y = 9 Hướng dẫn làm bài: a) (3; 8) b) \(( - 1;\frac{1}{3})\) c) \((2;\frac{1}{{16}})\) d) (-2; 9). Bài 2.20 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi cặp số sau: a) (1,7)3 và 1 b) (0,3)2 và 1. c) (3,2)1,5 và (3,2)1,6 d) (0,2)-3 và (0,2)-2 e) \({(\frac{1}{5})^{\sqrt 2 }}\) và \({(\frac{1}{5})^{1,4}}\) g) \({6^\pi }\) và 63,14 Hướng dẫn làm bài: a) (1,7)3 > 1 ; b) (0,3)2 < 1 ; c) (3,2)1,5 < (3,2)1,6 d) (0,2)- 3 > (0,2)- 2 e) \({(\frac{1}{5})^{\sqrt 2 }} < {(\frac{1}{5})^{1,4}}\) g) \({6^\pi } > {6^{3,14}}\). Bài 2.21 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Từ đồ thị của hàm số \(y = {3^x}\) , hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = 3x – 2 b) y = 3x + 2 c) y = |3x – 2| d) y = 2 – 3x Hướng dẫn làm bài: a) Đồ thị của hàm số y \(y = {3^x} - 2\) nhận được từ đồ thị của hàm số \(y = {3^x}\) bằng phép tịnh tiến song song với trục tung xuống dưới 2 đơn vị (H. 49) b) Đồ thị của hàm số \(y = {3^x} + 2\) nhận được từ đồ thị của hàm số \(y = {3^x}\) bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên phía trên 2 đơn vị (H. 50) c) \(y = |{3^x} - 2| = \left\{ \begin{array}{l} {3^x} - 2,{3^x} - 2 \ge 0\\ - {3^x} + 2,{3^x} - 2 < 0 \end{array} \right.\) Do đó, đồ thị của hàm số \(y = |{3^x} - 2|\) gồm: - Phần đồ thị của hàm số \(y = {3^x} - 2\) ứng với \({3^x} - 2 \ge 0\) (nằm phía trên trục hoành). - Phần đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số \(y = {3^x} - 2\) ứng với \({3^x} - 2 < 0\) . Vậy đồ thị của hàm số \(y = |{3^x} - 2|\) có dạng như hình 51. d) \(y = 2 - {3^x} = - ({3^x} - 2)\) Ta có đồ thị của hàm số \(y = 2 - {3^x}\) đối xứng với đồ thị cua hàm số \(y = {3^x} - 2\) qua trục hoành (H.52). Bài 2.22 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên đoạn [-1; 1]. Hướng dẫn làm bài: Trên đoạn [-1; 1], ta có : \(\begin{array}{l} y = {\log _{\sqrt 5 }}x\\ y = {2^{|x|}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x},khix \in {\rm{[}}0;1]}\\ {{2^{ - x}},khix \in {\rm{[}} - 1;0]} \end{array}} \right. \end{array}\) Do đó, trên đoạn [0; 1] hàm số đồng biến, trên đoạn [-1; 0] hàm số nghịch biến. Suy ra các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại các đầu mút. Ta có: \(y( - 1) = {2^{ - ( - 1)}} = {2^1} = 2,y(0) = {2^0} = 1,y(1) = {2^1} = 2\) Vậy \(\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(1) = y( - 1) = 2,\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(0) = 1\). Bài 2.23 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Cho biết chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ (1 ngày đêm). Hỏi 250 gam chất đó sẽ còn lại bao nhiêu gam sau: a) 1,5 ngày đêm? B) 3,5 ngày đêm Hướng dẫn làm bài: Ta biết công thức tính khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t là: \(m(t) = {m_0}{(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}}\) Trong đó, m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu. (tức là tại thời điểm t = 0). T là chu kỳ bán rã. Ta có: T = 24 giờ = 1 ngày đêm, m0 = 250 gam. Do đó: a) Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 1,5 ngày đêm là: \(m(1,5) = 250{(\frac{1}{2})^{\frac{{1,5}}{1}}} \approx 88,388(g)\) b) Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 3,5 ngày đêm là: \(m(3,5) = 250{(\frac{1}{2})^{\frac{{3,5}}{1}}} \approx 22,097(g)\). Bài 2.24 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ? Hướng dẫn làm bài: Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm. Ta có: - Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là: V1 = V0 + iV0 = V0(1 + i) - Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là: V2 = V1 + iV1 = V1(1 + i) = V0(1 + i)2 ……………… - Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là V5 = V0(1 + i)5 Thay V0 = 4.105 (m3), i = 4% = 0,04, ta được V5 = 4.105 (1 + 0,04)5 = 4,8666.105 (m3). Bài 2.25 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\) b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\) c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 5}}\) d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\) e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\) g) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\) Hướng dẫn làm bài: a) \(D = ( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty )\) b) \(D =(-1; 6)\) c) \(D = ( - 5; - 3) \cup (3; + \infty )\) d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\) e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\) g) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\). Bài 2.26 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Tình đạo hàm của các hàm số đã cho ở bài tập 2.25. a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\) b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\) c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 5}}\) d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\) e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\) g) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\) Hướng dẫn làm bài: a) \(y' = \frac{{2x - 3}}{{({x^2} - 3x - 4)\ln 8}}\) b) \(y' = \frac{{ - 2x + 5}}{{( - {x^2} + 5x + 6)\ln \sqrt 3 }} = \frac{{ - 4x + 10}}{{( - {x^2} + 5x + 6)\ln 3}}\) c) \(y' = \frac{{{x^2} + 10x + 9}}{{({x^2} - 9)(x + 5)\ln 0,7}}\) d) \(y' = \frac{8}{{(16 - {x^2})\ln 3}}\) e) \(y' = \frac{{{2^x}\ln 2}}{{({2^x} - 2)\ln \pi }}\) g) \(y' = \frac{{{3^{x - 1}}}}{{{3^{x - 1}} - 9}}\). Bài 2.27 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Từ đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\) , hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = |{\log _4}x|\) b) \(y = {\log _4}|x|\) c) \(y = {\log _4}x + 2\) d) \(y = 1 - {\log _4}x\) Hướng dẫn làm bài: a) \(y = |{\log _4}x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_4}x,\,\,khi\,\,x \ge 1}\\ { - {{\log }_4}x,\,\,khi\,\,0 < x < 1} \end{array}} \right.\) Do đó, đồ thị của hàm số \(y = |{\log _4}x|\) gồm: - Phần đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\) ứng với \(x \ge 1\) - Phần đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số \(y = {\log _4}x\) ứng với 0 < x < 1. Vậy đồ thị có dạng như Hình 53. b) Hàm số \(y = {\log _4}|x|\) có tập xác định D = R\{0} và là hàm số chẵn vì: \(y( - x) = {\log _4}| - x| = {\log _4}|x| = y(x)\) Do đó, đồ thị của hàm số này có trục đối xứng là trục tung, trong đó phần đồ thị ứng với x > 0 là đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\) Vậy ta có đồ thị như Hình 54. c) Đồ thị của hàm số nhận được từ đồ thị của hàm số bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên trên 2 đơn vị (H.55) d) Để vẽ đồ thị của hàm số \(y = 1 - {\log _4}x\) , ta thực hiện các bước sau: - Lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\) để được đồ thị của hàm số \(y = - {\log _4}x\) ; - Tịnh tiến song song với trục tung đồ thị của hàm số \(y = - {\log _4}x\) lên phía trên 1đơn vị. Vậy ta có đồ thị của hàm số \(y = 1 - {\log _4}\) như trên Hình 56. Bài 2.28 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Các hình 38 và 39 là đồ thị của bốn hàm số: \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x;y = {\log _{\frac{1}{e}}}x;y = {\log _{\sqrt 5 }}x;y = {\log _{\frac{1}{3}}}\) Hãy chỉ rõ đồ thị tương ứng với mỗi hàm số và giải thích. Hướng dẫn làm bài: Ta có (C1), (C2) đi lên từ trái sang phải nên là đồ thị của các hàm số đồng biến, tức là ứng với hàm số logarit có cơ số lớn hơn 1. Mặt khác, khi x > 1 thì \({\log _{\sqrt 2 }}x > {\log _{\sqrt 5 }}x\) và khi 0 < x < 1 thì \({\log _{\sqrt 2 }}x < {\log _{\sqrt 5 }}\) Do đó, (C1) là đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) , (C2) là đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) Ta có (C3), (C4) đi xuống từ trái sang phải nên là đồ thị của các hàm số nghịch biến, nghĩa là ứng với hàm số logarit có cơ số nhỏ hơn 1. Mặt khác, khi x > 1 thì \({\log _{\frac{1}{e}}}x < {\log _{\frac{1}{3}}}x\) và khi 0 < x < 1 thì \({\log _{\frac{1}{e}}}x > {\log _{\frac{1}{3}}}x\) Do đó, (C3) là đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{e}}}x\) ; (C4) là đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\). Bài 2.29 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Hãy so sánh x với 1, biết rằng: a) \({\log _3}x = - 0,3\) b) \({\log _{\frac{1}{3}}}x = 1,7\) c) \({\log _2}x = 1,3\) d) \({\log _{\frac{1}{4}}}x = - 1,1\) Hướng dẫn làm bài: a) x < 1 b) x < 1 c) x > 1 d) x > 1.
