Bài 3.1 Trang 170 sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Bài 3.1. Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau: a) \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) và \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\) b) \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\) và \(g(x) = {e^{\sin x}}\) c)\(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) và \(g(x) = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\) d) \(f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \) e) \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) và \(g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}\) Hướng dẫn làm bài a) Hàm số \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) là một nguyên hàm của \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\) b) Hàm số \(g(x) = {e^{\sin x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\) c) Hàm số \(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\) d) Hàm số \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \) là một nguyên hàm của hàm số (f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) e) Hàm số \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}\) Câu 3.2 trang 170 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số: a) \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}}\) và \(G(x) = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\) b) \(F(x) = {1 \over {{{\sin }^2}x}}\) và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\) c) \(F(x) = 5 + 2{\sin ^2}x\) và \(G(x) = 1 - \cos 2x\) Hướng dẫn làm bài a) Vì \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}} + 3 = G(x) + 3\) nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = {{2{x^2} - 6x - 20} \over {{{(2x - 3)}^2}}}\) b) Vì \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9\) , nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = - {{2\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\) c) Vì \(F'(x) = (5 + 2{\sin ^2}x)' = 2\sin 2x\) và \(G'(x) = (1 - \cos 2x)' = 2\sin 2x\) , nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x Bài 3.3 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f(x) = {(x - 9)^4}\) b) \(f(x) = {1 \over {{{(2 - x)}^2}}}\) c) \(f(x) = {x \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) d) \(f(x) = {1 \over {\sqrt {2x + 1} }}\) e) \(f(x) = {{1 - \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}\) g) \(f(x) = {{2x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}\) Hướng dẫn làm bài a) \(F(x) = {{{{(x - 9)}^5}} \over 5} + C\) b) \(F(x) = {1 \over {2 - x}} + C\) c) \(F(x) = - \sqrt {1 - {x^2}} + C\) d) \(F(x) = \sqrt {2x + 1} + C\) e) \(F(x) = 2(\tan x - x) + C\) . HD: Vì \(f(x) = 2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = 2({1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1)\) g) \(F(x) = \ln ({x^2} + x + 1) + C\). HD: Đặt u = x2 + x + 1 , ta có u’ = 2x + 1 Bài 3.4 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: a) \(\int {{x^2}\root 3 \of {1 + {x^3}} } dx\) với x > - 1 (đặt t = 1 + x3) b) \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx\) (đặt t = x2) c) \(\int {{x \over {{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\) (đặt t = 1 + x2) d) \(\int {{1 \over {(1 - x)\sqrt x }}} dx\) (đặt \(t = \sqrt x \) ) e) \(\int {\sin {1 \over x}.{1 \over {{x^2}}}} dx\) (Đặt \(t = {1 \over x}\) ) g) \(\int {{{{{(\ln x)}^2}} \over x}} dx\) (đặt \(t = \ln x\)) h) \(\int {{{\sin x} \over {\root 3 \of {{{\cos }^2}x} }}} dx\) (đặt t = cos x) i) \(\int {\cos x} {\sin ^3}xdx\) (đặt t = sin x) k) \(\int {{1 \over {{e^x} - {e^{ - x}}}}} dx\) (đặt \(t = {e^x}\)) l) \(\int {{{\cos x + \sin x} \over {\sqrt {\sin x - \cos x} }}} dx\) (đặt \(t = \sin x - \cos x\) ) Hướng dẫn làm bài a) \({1 \over 4}{(1 + {x^3})^{{4 \over 3}}} + C\) b\(- {1 \over 2}{e^{ - {x^2}}} + C\) c) \( - {1 \over {2(1 + {x^2})}} + C\) d) \(\ln |{{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}| + C\) e) \(\cos {1 \over x} + C\) g) \({1 \over 3}{(\ln x)^3} + C\) h) \( - 3\root 3 \of {\cos x} + C\) i) \({1 \over 4}{\sin ^4}x + C\) k) \({1 \over 2}\ln |{{{e^x} - 1} \over {{e^x} + 1}}| + C\) l) \(2\sqrt {\sin x - \cos x} + C\) Bài 3.5 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a) \(\int {(1 - 2x){e^x}} dx\) b) \(\int {x{e^{ - x}}dx} \) c) \(\int {x\ln (1 - x)dx} \) d) \(\int {x{{\sin }^2}xdx} \) e) \(\int {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\) g) \(\int {\sqrt x {{\ln }^2}xdx} \) h) \(\int {x\ln {{1 + x} \over {1 - x}}dx} \) Hướng dẫn làm bài a) \((3 - 2x){e^x} + C\) b) \( - (1 + x){e^{ - x}} + C\) c) \({{{x^2}} \over 2}\ln (1 - x) - {1 \over 2}\ln (1 - x) - {1 \over 4}{(1 + x)^2} + C\). d) \({{{x^2}} \over 4} - {x \over 4}\sin 2x - {1 \over 8}\cos 2x + C\) HD: Đặt u = x, dv = sin2xdx e) \(x\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ) - \sqrt {1 + {x^2}} + C\) . HD: Đặt \(u = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) và dv = dx g) \({2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}({(\ln x)^2} - {4 \over 3}\ln x + {8 \over 9}) + C\) HD: Đặt \(u = {\ln ^2}x;dv = \sqrt x dx\) h) \(x - {{1 - {x^2}} \over 2}\ln {{1 + x} \over {1 - x}} + C\) HD: \(u = \ln {{1 + x} \over {1 - x}},dv = xdx\) Bài 3.6 trang 172 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau: a) \(\int {x{{(3 - x)}^5}dx} \) b) \(\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx\) c) \(\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \) d) \(\int {{{\ln (\cos x)} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\) e) \(\int {{x \over {{{\sin }^2}x}}} dx\) g) \(\int {{{x + 1} \over {(x - 2)(x + 3)}}dx} \) h) \(\int {{1 \over {1 - \sqrt x }}} dx\) i) \(\int {\sin 3x\cos 2xdx} \) k) \(\int {{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\) l) \(\int {{{\sin x\cos x} \over {\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} }}} dx,({a^2} \ne {b^2})\) HD: Đặt \(u = \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \) Hướng dẫn làm bài a) \({(3 - x)^6}({{3 - x} \over 7} - {1 \over 2}) + C\) . HD: t = 3 – x b) \({{{4^x}} \over {\ln 4}} - 2{{{6^x}} \over {\ln 6}} + {{{9^x}} \over {\ln 9}} + C\) c) \( - {{8 + 30x} \over {375}}{(2 - 5x)^{{3 \over 2}}} + C\). HD: Dựa vào \(x = - {1 \over 5}(2 - 5x) + {2 \over 5}\) d) \(\tan x{\rm{[}}\ln (\cos x) + 1] - x + C\) . HD: Đặt \(u = \ln (\cos x),dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\) e) \( - x\cot x + \ln |\sin x| + C\) . HD: Đặt \(u = x,dv = {{dx} \over {{{\sin }^2}x}}\) g) \({1 \over 5}\ln [|x - 2{|^3}{(x + 3)^2}{\rm{]}} + C\) HD: Ta có \({{x + 1} \over {(x - 2)(x + 3)}} = {3 \over {5(x - 2)}} + {2 \over {5(x + 3)}}\) h) \( - 2(\sqrt x + \ln |1 - \sqrt x |) + C\). HD: Đặt \(t = \sqrt x \) i) \( - {1 \over 2}(\cos x + {1 \over 5}cos5x) + C\) . HD: \(\sin 3x.c\cos 2x = {1 \over 2}(\sin x + \sin 5x)\) k) \(\cos x + {1 \over {\cos x}} + C\) . HD: Đặt u = cos x l) \({1 \over {{a^2} - {b^2}}}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} + C\) Bài 3.7 trang 172 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: a) \(\int {{{\sin }^4}x} dx\) b) \(\int {{1 \over {{{\sin }^3}x}}dx} \) c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \) d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \) e) \(\int {{1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}}} dx\) g)\(\int {{{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}}} dx\) Hướng dẫn làm bài a) \({3 \over 8}x - {{\sin 2x} \over 4} + {{\sin 4x} \over {32}} + C\) HD: \({\sin ^4}x = {{{{(1 - \cos 2x)}^2}} \over 4} = {1 \over 4}({3 \over 2} - 2\cos 2x + {1 \over 2}\cos 4x)\) b)\({1 \over 2}\ln |\tan {x \over 2}| - {{\cos x} \over {2{{\sin }^2}x}} + C\) Hd: Đặt u = cot x c) \({\cos ^5}x({{{{\cos }^2}x} \over 7} - {1 \over 5}) + C\) . HD: Đặt u = cos x d) \({1 \over {128}}(3x - \sin 4x + {1 \over 8}\sin 8x) + C\) HD: \({\sin ^4}x{\cos ^4}x = {1 \over {{2^4}}}{({\sin ^2}2x)^2} = {1 \over {{2^6}}}{(1 - \cos 4x)^2}\) e) \(\ln |\tan ({x \over 2} + {\pi \over 4})| - {1 \over {\sin x}} + C\) . HD:\({1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}} = {{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \over {\cos x{{\sin }^2}x}}\) g) \(\tan {x \over 2} - 2\ln |\cos {x \over 2}| + C\) . HD: \({{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}} = {1 \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}} + {{\sin {x \over 2}} \over {\cos {x \over 2}}}\) Bài 3.8 trang 172 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {1 \over {1 + \sin x}}\) ? a)\F(x) = 1 - \cot ({x \over 2} + {\pi \over 4})\) b) \(G(x) = 2\tan {x \over 2}\) c) \(H(x) = \ln (1 + \sin x)\) d) \(K(x) = 2(1 - {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}})\) Hướng dẫn làm bài a) \(F(x) = 1 - \cot ({x \over 2} + {\pi \over 4})\) d) \(K(x) = 2(1 - {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}})\) Bài 3.9 trang 173 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau đây: a) \(\int {(x + \ln x){x^2}dx} \) b) \(\int {(x + {{\sin }^2}x)\sin xdx} \) c) \(\int {(x + {e^x}){e^{2x}}dx} \) d)\(\int {(x + \sin x){{dx} \over {{{\cos }^2}x}}} \) e) \(\int {{{{e^x}\cos x + ({e^x} + 1)\sin x} \over {{e^x}\sin x}}} dx\) Hướng dẫn làm bài a) \({{{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}(\ln x - {1 \over 3}) + C\) . HD: Đặt \(u = x + \ln x;dv = {x^2}dx\) b) \(\sin x - (x + 1)\cos x + {1 \over 3}{\cos ^3}x + C\) HD: Đặt \(u = x + {\sin ^2}x,dv = \sin xdx\) c) \({{{e^{2x}}} \over {12}}(4{e^x} + 6x - 3) + C\) . HD: Đặt \(u = x + {e^x},dv = {e^{2x}}dx\) d) \(x\tan x + \ln |\cos x| + {1 \over {\cos x}} + C\). HD: Đặt \(u = x + \sin x,dv = d(\tan x)\) e) \(\ln |{e^x}\sin x| - {e^{ - x}} + C\) . HD: \(d({e^x}\sin x) = ({e^x}\sin x + {e^x}\cos x)dx\)
