Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_0^1 {({y^3} + 3{y^2} - 2)dy} \) b)\(\int\limits_1^4 {(t + {1 \over {\sqrt t }}} - {1 \over {{t^2}}})dt\) c) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(2\cos x - \sin 2x)dx} \) d) \(\int\limits_0^1 {{{({3^s} - {2^s})}^2}ds} \) e) \(\int\limits_0^{{\pi \over 3}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{{\pi \over 3}}^{{{3\pi } \over 2}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{{{5\pi } \over 2}} {\cos 3xdx} \) g)\(\int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx} \) h) \(\int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dx\) i) \(\int\limits_0^4 {{{4x - 1} \over {\sqrt {2x + 1} + 2}}} dx\) Hướng dẫn làm bài a) \( - {3 \over 4}\) b) \({{35} \over 4}\) c) 1 d) \({4 \over {\ln 3}} - {{10} \over {\ln 6}} + {3 \over {2\ln 2}}\) e) \( - {1 \over 3}\) g) \({{31} \over 6}\) . HD: \(\int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx }\) \({= \int\limits_0^2 { - ({x^2} - x - 2)dx + \int\limits_2^3 {({x^2} - x - 2)dx} } } \) h) \({1 \over 2}\ln 2\) . HD: \(\int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dx\) \(= \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {|\sin x + \cos x|}}} dx = \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{d(\sin x + \cos x)} \over {\sin x + \cos x}}} \) i) \({{34} \over 3} + 10\ln {3 \over 5}\) . HD: Đặt \(t = \sqrt {2x + 1} \) Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: a) \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \) (đặt t = 1 – x) b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \)) c) \(\int\limits_1^9 {x\root 3 \of {1 - x} dx} \) (đặt \(t = \root 3 \of {1 - x} \)) d) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} dx\) (đặt \(u = \sqrt {{x^2} + x + 1} \) ) e) \(\int\limits_1^2 {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^4}}}} dx\) (đặt \(t = {1 \over x}\)) g) \(\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} \) (đặt \(x = \pi - t\) ) h) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \) i) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {1 + {x^2}}}} \) (đặt \(x = \tan u\) ) Hướng dẫn làm bài a) \( - {{13} \over {42}}\) b) \(2 - {\pi \over 2}\) c) \( - {{468} \over 7}\) d) \(2(\sqrt 3 - 1)\) e) \( - {1 \over 3}({{5\sqrt 5 } \over 8} - 2\sqrt 2 )\) g) \({{{\pi ^2}} \over 4}\) . HD: Đặt \(x = \pi - t\) , ta suy ra: \(\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} dx = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{ - d(\cos x)} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} \) Vậy \(\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_{ - 1}^1 {{{dt} \over {1 + {t^2}}}} \) . Đặt tiếp t = tan u h) \({{{2^5}} \over {15}}\) . HD: Đặt t = 1 – x3 i) \({\pi \over 4}\) Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos 2xdx} \) b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \) c) \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \) d) \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \) e) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \) g) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \) h) \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx\) i) \(\int\limits_1^e {{{1 + x\ln x} \over x}} {e^x}dx\) Hướng dẫn làm bài a) \( - {1 \over 2}\) b) \({1 \over 4}({3 \over 4} - {{\ln 2} \over 2})\) c) \({3 \over 2}\ln 3 - 1\) d) \(3\ln 3 - 6\ln 2\) e) \({3 \over 2}{e^{{5 \over 2}}}\) . HD: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx = } \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}} dx + \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \) Tính tích phân từng phần: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}dx = x{e^{x + {1 \over x}}}\left| {\matrix{2 \cr {{1 \over 2}} \cr} } \right.} - \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \) g) \({\pi \over 6} - {2 \over 9}\) HD: Đặt \(u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\) h) \({e \over 2} - 1\). HD: \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} - \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}dx} \) và tính tích phân từng phần : \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = {{ - {e^x}} \over {1 + x}}\left| {\matrix{ 1 \cr 0 \cr} + } \right.\int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} \) i) ee . HD: Tương tự câu g) Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các tích phân sau đây: a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(x + 1)\cos (x + {\pi \over 2}} )dx\) b) \(\int\limits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{{\log }_2}(x + 1)dx} \) c) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{x^2} - 1} \over {{x^4} + 1}}} dx\) (đặt \(t = x + {1 \over x}\)) d)\(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \) Hướng dẫn làm bài a) – 2 b) \({1 \over {2\ln 2}}({1 \over 2} + {\ln ^2}2)\) . HD:\({{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{\log _2}(x + 1) = {1 \over {\ln 2}}{\rm{[}}x\ln (x + 1) + {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}}{\rm{]}}\) c)\({1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\) . HD: Đặt \(t = x + {1 \over x}\) , ta nhận được: \(\int\limits_{{5 \over 2}}^2 {{{dt} \over {{t^2} - 2}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}} \ln |{{t - \sqrt 2 } \over {t + \sqrt 2 }}|\left| {\matrix{2 \cr {{5 \over 2}} \cr} } \right. = {1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\) d) \(\ln 2 - {1 \over 2}\) . HD: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}} = } \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin x.{{d(\sin x + 1)} \over {{{(\sin x + 1)}^2}}}} = \ln 2 - {1 \over 2}\) Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0} \). Hướng dẫn làm bài Với \(x \in {\rm{[}}0;1]\) , ta có \(0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}\) . Do đó: \(0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx} \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}} \) Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh. Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in R\) là hàm số chẵn. Hướng dẫn làm bài Đặt t = - s trong tích phân: \(f( - x) = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt\) , ta được:\(f( - x) = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt = \int\limits_0^x {{s \over {\sqrt {1 + {s^4}} }}} ds = f(x)\) Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.\) (1) : nếu f là hàm số chẵn (2): nếu f là hàm số lẻ. Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\) Hướng dẫn làm bài Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } } \) Đổi biến x = - t đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \) , ta được: \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx = - \int\limits_a^0 {f( - t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } } \) Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \) Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng: Vì \(g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0}\) Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos x)dx} } \) Hướng dẫn làm bài Đổi biến số: \(x = {\pi \over 2} - t\) , ta được: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = - \int\limits_{{\pi \over 2}}^0 {f(\sin ({\pi \over 2} - t))dt = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos t)dt} } } \) Hay \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos x)dx} } \) Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\) a) Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2\) b) Tính I3 và I5. Hướng dẫn làm bài a) Xét với n > 2, ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \) Dùng tích phân từng phần với và , ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}\) \({= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \) \( = (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)dx} \) \(= (n - 1){I_{n - 2}} - (n - 1){I_n}\) Vậy \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\) b) \({I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\) Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Đặt \({I_{m,n}} = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} dx,m,n \in {N^*}\). Chứng minh rằng:\({I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},m > 0,n > 1\) Từ đó tính I1,2 và I1,3 . Hướng dẫn làm bài Dùng tích phân từng phần với \(u = {(1 - x)^n},dv = {x^m}dx\) , ta được: \({I_{m,n}} = {{{x^{m + 1}}} \over {m + 1}}{(1 - x)^n}\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} } \right. + {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}{{(1 - x)}^{n - 1}}dx} \) Vậy \({I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}} {(1 - x)^{n - 1}}dx \) \(= {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},n > 1,m > 0\) . \({I_{1,2}} = {1 \over {12}}\) và \({I_{1,3}} = {1 \over {20}}\) Bài 3.20 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng: a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \) b) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(\root 3 \of {\sin x} - \root 3 \of {\cos x} } )dx = 0\) c) \(\int\limits_{ - {1 \over 2}}^{{1 \over 2}} {\ln {{1 - x} \over {1 + x}}} dx = 0\) d) \(\int\limits_0^2 {({1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1)dx = 0} \) Hướng dẫn làm bài: a) Đúng (vì vế trái bằng \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx = 0} \) ) b) Đúng (theo bài 3.17) c) Đúng (theo bài 3.16) d) Sai: Vì \(1 + {1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} > 1,x \in {\rm{[}}0;2]\)
