Bài 3.21 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = 2x – x2 , x + y = 2 ; b) y = x3 – 12x , y = x2 c) x + y = 1 ; x + y = -1 ; x – y = 1 ; x – y = -1 ; d) \(y = {1 \over {1 + {x^2}}},y = {1 \over 2}\) e) y = x3 – 1 và tiếp tuyến với y = x3 – 1 tại điểm (-1; -2). Hướng dẫn làm bài a) \({1 \over 6}\) b) \(78{1 \over {12}}\) .HD: \(S = \int\limits_{ - 3}^0 {({x^3} - 12x - {x^2})dx + } \int\limits_0^4 {({x^2} - {x^3} + 12x)dx} \) c) 2 ; HD: \(S = 4\int\limits_0^1 {(1 - x)dx} \) d) \({\pi \over 2} - 1\) HD: \(S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over {1 + {x^2}}} - {1 \over 2})dx = 2\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}dx} - 1} \) Đặt \(x = \tan t\) để tính \(\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}} dx\) e) \({{27} \over 4}\) .HD: Phương trình tiếp tuyến tại (-1; -2) là y = 3x + 1. Do đó, diện tích :\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 1 - {x^3} + 1)dx = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 2 - {x^3})dx} } \) Bài 3.22 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính thể tích vật thể: a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông. b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2 + y2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông. Hướng dẫn làm bài a) \({1 \over 3}\) . HD: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}}0;1]\) là hình vuông cạnh bằng x , S(x) = x2 . Vậy \(V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx = {1 \over 3}} } \) b) \({{16} \over 3}\) . HD: (H.83) Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}} - 1;1]\) là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y) với \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) . Khi đó, \(AB = 2\sqrt {1 - {x^2}} \). Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 4(1 - {x^2})\) . Vậy \(V = 4\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})dx = 8\int\limits_0^1 {(1 - {x^2})dx = {{16} \over 3}} } \) Bài 3.23 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: a) y = 2 – x2 , y = 1 , quanh trục Ox. b) y = 2x – x2 , y = x , quanh trục Ox. c) \(y = {(2x + 1)^{{1 \over 3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục Oy. d) y = x2 + 1 , x = 0 và tiếp tuyến với y = x2 + 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox. e) y = ln x , y = 0 , x = e , quanh trục Oy. Hướng dẫn làm bài a) \({{56} \over {15}}\pi \) b) \({\pi \over 5}\) c) \({{480} \over 7}\pi \) . HD: Xem hình d) \({8 \over {15}}\pi \) e) \({{{e^2} + 1} \over 2}\pi \) Bài 3.24 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {1 \over x}\), y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi \(a \to + \infty \) (tức là \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a)\)). Hướng dẫn làm bài \(V(a) = \pi (1 - {1 \over a})\) và \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a) = \pi \) Câu 3.25 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên). a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con). b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân. Hướng dẫn làm bài a) \({S_n} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n} - 1}}}}\) . HD: Theo hình 80 ta có: \({S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ - {1 \over n}}} + {e^{ - 2{1 \over n}}} + ... + {e^{ - {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ - {1 \over n}}}{{1 - {e^{ - 1}}} \over {1 - {e^{ - {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n}}} - 1}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}\) Mặt khác \(\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx = 1 - {e^{ - 1}}} \) Câu 3.26 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau? a) \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(\pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\) b) \(\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) ; c) {y = 2x – x2 , y = x} và {y = 2x – x2 , y = 2 – x }; d) \({\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\} \) và \({\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\} \); e) \({\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\) Hướng dẫn làm bài: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng e) Sai
