Câu 3.27 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các nguyên hàm sau: a) \(\int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \) , đặt \(u = \sqrt {x - 3} \) b) \(\int {{x \over {{{(1 + {x^2})}^{{3 \over 2}}}}}} dx\) , đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \) c) \(\int {{{{e^x}} \over {{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\) , đặt \(u = {e^{2x}} + 1\) d) \(\int {{1 \over {\sin x - \sin a}}} dx\) e) \(\int {\sqrt x \sin \sqrt x } dx\) , đặt \(t = \sqrt x \) g)\(\int {x\ln {x \over {1 + x}}} dx\) Hướng dẫn làm bài a) \({2 \over 5}{(x - 3)^{{3 \over 2}}}(2x - 1) + C\) b)\( - {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\) c) \({1 \over 2}\ln ({e^{2x}} + 1) + C\) d) \({1 \over {\cos a}}\ln |{{\sin {{x - a} \over 2}} \over {\cos {{x - a} \over 2}}}| + C\) . HD: Ta có:\(\cos a = \cos ({{x - a} \over 2} - {{x + a} \over 2})\) e) \( - 2x\cos \sqrt x + 4\sqrt x \sin \sqrt x + 4\cos \sqrt x + C\) g) \({{{x^2}} \over 2}\ln {x \over {1 + x}} + {1 \over 2}\ln |1 + x| - {1 \over 2}x + C\) Bài 3.28 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\), đặt \(t = \sqrt y \) b) \(\int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\root 3 \of {{{(z - 1)}^2}} } dz\) , đặt \(u = \root 3 \of {{{(z - 1)}^2}} \) c) \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx\) d) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\cos }^5}\varphi } - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \) e) \(\int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}\alpha \cos 3\alpha } d\alpha \) Hướng dẫn làm bài a) \({{16} \over {105}}\) b) \(2{{49} \over {220}}\) c) \({{38} \over {15}}\) . HD: \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx = {1 \over 5}\int\limits_1^e {{{(4 + 5\ln x)}^{{1 \over 2}}}d(4 + 5\ln x)} \) d) 0 e)\({\pi \over 8}\) . HD: Dùng công thức hạ bậc đối với \({\cos ^3}x\) Câu 3.29 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\) b) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}}} dx\) c) \(\int\limits_0^1 {{{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \ln (x + 1)dx\) d) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} dx\) Hướng dẫn làm bài a) \({1 \over 4}(1 + {\pi \over 4})\) . HD: \({{1 + \cos 2x} \over 2} = {\cos ^2}x\) b) \({1 \over 2}\ln {{(e - 1)(\sqrt e + 1)} \over {(e + 1)(\sqrt e - 1)}}\) . HD:\({{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}} = {1 \over 2}({{{e^x}} \over {{e^x} - 1}} - {{{e^x}} \over {{e^x} + 1}})\) c) \({1 \over 2}({\ln ^2}2 - \ln 2 + 1)\) . HD: \({{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1) = {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}} + {{\ln (x + 1)} \over {{{(x + 1)}^2}}}\) d) \({\pi \over 4} + \ln (1 + {\pi \over 4}) - {1 \over 2}\ln 2\) . HD: \({{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}\) và \(d(x\sin x + \cos x) = x\cos xdx\) Câu 3.30 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính diện tich các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = x - 1 + {{\ln x} \over x},y = x - 1\) và x = e; b) y = x3 – x2 và \(y = {1 \over 9}(x - 1)\); c) \(y = 1 - \sqrt {1 - {x^2}} \) và y = x2 Hướng dẫn làm bài a) \({1 \over 2}\) b) \({8 \over {81}}\) . HD: Đường thẳng \(y = {1 \over 9}(x - 1)\) đi qua tâm đối xứng \(I({1 \over 3}; - {2 \over {27}})\) của hàm số y = x3 – x2 . Do đó, hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho gồm hai hình vẽ đối xứng nhau qua điểm I (hình 85). Vậy : \(S = 2\int\limits_{ - {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {{\rm{[}}({x^3} - {x^2}) - {1 \over 9}(x - 1){\rm{]}}dx}\) \( = 4\int\limits_0^{{1 \over 3}} {({1 \over 9} - {x^2})dx = {8 \over {81}}} \) (theo bài 3.14. \(\int\limits_{ - {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {({x^3} - {1 \over 9}x)dx = 0} \)) c) \({\pi \over 2} - {4 \over 3}\) Câu 3.31 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi a) \(y = {x^{{2 \over 3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(y = {x^{{2 \over 3}}}\) tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy; b) \(y = {1 \over x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục Ox c) y = |2x – x2|, y = 0 và x = 3 , quanh : * Trục Ox * Trục Oy Hướng dẫn làm bài a) \({\pi \over {36}}\) . Phương trình tiếp tuyến là: \(y = {2 \over 3}x + {1 \over 3}\) \(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy} - \pi \int\limits_{{1 \over 3}}^1 {{{({3 \over 2}y - {1 \over 2})}^2}dy}\) \(= {\pi \over 4} - {{2\pi } \over 9}{({3 \over 2}y - {1 \over 2})^3}\left| {\matrix{1 \cr {{1 \over 3}} \cr} = {\pi \over {36}}} \right.\) b) \(\pi ({5 \over 3} - 2\ln 2)\) c) \({V_x} = {{18} \over 5}\pi \) và \({V_y} = {{59} \over 6}\pi \) \({V_y} = \pi {\rm{\{ }}\int\limits_0^1 {{\rm{[(}}1 + \sqrt {1 - y} {)^2} - {{(1 - \sqrt {1 - y} )}^2}{\rm{]}}} dy + \int\limits_0^3 {{\rm{[}}9 - {{(1 + \sqrt {1 + y} )}^2}{\rm{]}}dy\} } \) \( = \pi {\rm{[}}\int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} dy + \int\limits_0^3 {(7 - y - 2\sqrt {1 + y} )dy] = {{59\pi } \over 6}} } \) Câu 3.32 trang 187 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau: a) \((\int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} } dx;m,n \in {N^*}\) b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}} \over {{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \) c) \(\int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\) Hướng dẫn làm bài a) Đúng b) Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} = \int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} + \int\limits_0^{ - 1} {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} \) (*) Dùng phương pháp đổi biến t = - x đối với tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} \) , ta được: \(\int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{{x^2}dx} \over {{e^{ - x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^{ - t}} + 1}}} } \) Thay vào (*) ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} } \) c) Sai.
