Câu 4.18 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Thực hiện các phép tính sau: a) \({{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)} \over {3 + 2i}}\) b) \({{(3 - 4i)(1 + 2i)} \over {1 - 2i}} + 4 - 3i\) Hướng dẫn làm bài a) \({{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)} \over {3 + 2i}}\) \(={{31} \over {13}} - {{12} \over {13}}i\) b) \({{(3 - 4i)(1 + 2i)} \over {1 - 2i}} + 4 - 3i\) \(={{27} \over 5} + {9 \over 5}i\) Câu 4.19 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) \((3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i)\) b) \(2ix + 3 = 5x + 4i\) c) \(3x(2 – i) +1 = 2ix(1 + i) + 3i\) Hướng dẫn làm bài a) \((3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i)\) \(x = {{(1 + 2i)(4 + i)} \over {3 + 4i}}\) \(= {{42} \over {25}} + {{19} \over {25}}i\) b) \(2ix + 3 = 5x + 4i\) \(x = {{ - 3 + 4i} \over { - 5 + 2i}}\) \(= {{23} \over {29}} - {{14} \over {29}}i\) c) \(3x(2 – i) +1 = 2ix(1 + i) + 3i\) \(x = {{ - 1 + 3i} \over {8 - 5i}}\) \(= {{ - 23} \over {89}} + {{19} \over {89}}i\) Câu 4.20 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Chứng minh rằng: a) \(\overline {({{{z_1}} \over {{z_2}}})} = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\) b) \(|{{{z_1}} \over {{z_2}}}| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\) Hướng dẫn làm bài a) Giả sử \({{{z_1}} \over {{z_2}}} = z\) . Ta có: \({z_1} = z.{z_2} = > {\bar z_1} = \bar z.{\bar z_2} < = > \bar z = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\) Vậy \((\overline {{{{z_1}} \over {{z_2}}})} = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\) b) Tương tự, \(|{z_1}| = |z.{z_2}| = |z|.|{z_2}|\) hay \(|z| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\) . Vậy \(|{{{z_1}} \over {{z_2}}}| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\) Câu 4.21 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi \(z = \bar z\) b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: \(z = - {{3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}\) Hướng dẫn làm bài a) Hiển nhiên \(z \in R\) thì \(z = \bar z\) . Ngược lại, giả sử z = a + bi và \(z = \bar z\). Từ đó suy ra a + bi = a – bi và do đó b = - b hay b = 0. Vậy \(z \in R\) b) Ta có \(z = {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}\), suy ra \(\bar z = \overline {({{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}})} = \overline {({{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}})} + \overline {({{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}})} \)\( = \overline {{{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}}} + \overline {{{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}}} = {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 - 3i}} + {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} = z\) Vậy \(z \in R\). Câu 4.22 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm nghịch đảo của số phức sau: a) \(\sqrt 2 - i\sqrt 3 \) b) i c) \({{1 + i\sqrt 5 } \over {3 - 2i}}\) d) \({(3 + i\sqrt 2 )^2}\) Hướng dẫn làm bài a) \({1 \over {\sqrt 2 - i\sqrt 3 }} = {{\sqrt 2 + i\sqrt 3 } \over 5} = {{\sqrt 2 } \over 5} + {{\sqrt 3 } \over 5}i\) b) \({1 \over i} = - i\) c) \({{3 - 2i} \over {1 + i\sqrt 5 }} = {{(3 - 2i)(1 - i\sqrt 5 )} \over 6} = {{3 - 2\sqrt 5 } \over 6} - {{3\sqrt 5 + 2} \over 6}i\) d) \({1 \over {{{(3 + i\sqrt 2 )}^2}}} = {{{{(3 - i\sqrt 2 )}^2}} \over {121}} = {7 \over {121}} - {{6\sqrt 2 } \over {121}}i\) Câu 4.23 trang 208 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải phương trình sau trên tập số phức: \((1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i\) (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011) Hướng dẫn làm bài \(\eqalign{ & \left( {1 - i} \right)z + \left( {2 - i} \right) = 4 - 5i \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 4 - 5i - 2 + i \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)z = 2 - 4i \cr & \Leftrightarrow t = {{2 - 4i} \over {1 - i}} \cr & = {{\left( {2 - 4i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over {1 + 1}} = {{2 + 2i + 4i + 4} \over 2} = 3 - i \cr} \) Câu 4.24 trang 208 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm các số phức \(2z + \bar z\) và \({{25i} \over z}\) biết rằng z = 3 – 4i (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012) Hướng dẫn làm bài \(\eqalign{ & 2z + \bar z = 2\left( {3 - 4i} \right) + 3 + 4i \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 - 8i + 3 + 4i \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9 - 4i \cr} \) \(\eqalign{ & {{25i} \over z} = {{25i} \over {\left( {3 - 4i} \right)}} \cr & = {{25i\left( {3 + 4i} \right)} \over {\left( {3 - 4i} \right)\left( {3 + 4i} \right)}} \cr & = {{75i + 100{i^2}} \over {{3^2} - {{\left( {4i} \right)}^2}}} \cr & = {{75i - 100} \over {25}} = 3i - 4 \cr} \)
