Câu 1.4 trang 10 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hãy chứng minh rằng a) Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) nghịch biến trên đoạn [1;2] b) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 9} \) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}3; + \infty )\) c) Hàm số \(y = x + {4 \over x}\) nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2] Giải a) Hàm số liên tục trên đoạn [1;2] và có đạo hàm \(y' = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }} < 0\) với mọi \(x \in (1,2)\) Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2] b) Hàm số liên tục trên nửa khoảng \({\rm{[}}3; + \infty )\) và có đạo hàm \(y' = {x \over {\sqrt {{x^2} - 9} }} > 0\) với mọi \(x \in (3, + \infty )\) Do đó hàm dố đồng biến tên nửa khoảng \({\rm{[}}3; + \infty )\) c) TXĐ: \(x\ne0\) \(y' = 1 - {4 \over {{x^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\) BBT Từ BBT ta có hàm số \(y = x + {4 \over x}\) nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2] Câu 1.5 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng a) Hàm số \(y = {{3 - x} \over {2x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Hàm số \(y = {{2{x^2} + 3x} \over {2x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó c) Hàm số \(y = - x + \sqrt {{x^2} + 8} \) nghịch biến trên \(\mathbb R\) Giải a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\) \(y' = {{ - 7} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\) Do đó hàm số \(y = {{3 - x} \over {2x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\) \(y' = {{4{x^2} - 4x + 3} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D\) Do đó hàm số \(y = {{2{x^2} + 3x} \over {2x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó c) Vì \(y' = - 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 8} }} < 0\) với mọi x nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) Câu 1.6 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\) đồng biến trên \(\mathbb R\) Giải Ta có \(f'(x) = 1 - \sin 2x\ge0\; \forall x\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1\) Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn \(\left[ {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]\) và có đạo hàm \(f'(x) > 0\) với mọi \(x\in\left( {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right),\;k\in\mathbb Z\) Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn \(\left[ {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]\;k\in\mathbb Z\) Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) Câu 1.7 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Với các giá trị nào của m, hàm số \(y = x + 2 + {m \over {x - 1}}\) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ? Giải Ta có \(y' = 1 - {m \over {{{(x - 1)}^2}}}\) với mọi \(x \ne 1\) - Nếu \(m \le 0\) thì y’ > 0 với mọi \(x \ne 1\) . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) - Nếu m > 0 thì \(y' = {{{x^2} - 2x + 1 - m} \over {{{(x - 1)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt m \) Bảng biến thiên Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {1 - \sqrt m ;1} \right)\) và \(\left( {1;1 + \sqrt m } \right)\). Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác đinh của nó khi và chỉ khi \(m \le 0\) Câu 1.8 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Với các giá trị nào của a, hàm số \(f(x) =- {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + (2a + 1)x - 3a + 2\) nghịch biến trên \(\mathbb R\) ? Giải Ta có: \(f'(x) = - {x^2} + 4x + 2a + 1\) \(\Delta ' = 2a - 5;\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a = - {5 \over 2}\) +) Nếu \(a =- {5 \over 2}\) thì \(f'(x) = - {(x - 2)^2} \le 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\), \(f'(x)=0\) chỉ tại điểm x = 2. Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) +) Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình \(f'(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) (giả sử \({x_1} < {x_2}\)). Dễ thấy hàm số f đồng biến trên khoảng \(\left( {{x_1},{x_2}} \right)\). Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn. +) Nếu \(\Delta ' < 0\), tức là \(a < - {5 \over 2}\) thì \(f(x) < 0\) với mọi \(x\in \mathbb R\). Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(a \le - {5 \over 2}\) Câu 1.9 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số \( f(x) = 2 - sin^2x - sin^2(a+x) - 2cosacosxcos(a+x) \) a) Tìm đạo hàm của hàm số f b) Từ a) suy ra rằng hàm số f lấy giá trị không đổi trên R và tính giá trị không đổi đó. Giải a ) f'(x) = 0 với mọi x ∈ R. b) \(f(x) = {\sin ^2}a\) với mọi x ∈ R. Từ a) suy ra rằng f lấy giá trị ko đổi trên R. Do đó \(f(x) = f(0) = 2 - si{n^2}a - 2{\cos ^2}a = {\sin ^2}a\) với mọi x ∈ R. Câu 1.10 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số f:\(\left( {{{ - \pi } \over 4};{\pi \over 4}} \right) \to R\) xác đinh bởi \(f(x) = cosx{\rm{ + }}\sin x\tan {x \over 2}\) a) Tìm đạo hàm của hàm số f b) Từ a) suy ra rằng hàm số f là một hàm hằng trên khoảng \(f:\left( {{{ - \pi } \over 4};{\pi \over 4}} \right)\) và tìm hằng đó. Giải a) Ta có \(f'(x) = - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos x\tan {x \over 2} + {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}}\) \( = - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos x\tan {x \over 2} + \tan {x \over 2}\) \( = - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \tan {x \over 2}(1 + \cos x)\) \( = - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0\) với mọi x ∈ \(\left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right).\) b) Từ a) suy ra rằng f là một hàm hằng trên khoảng \(\left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right).\) Do đó \(f(x) = f(0) = 1\) với mọi x ∈ \(\left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right).\) Câu 1.11 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số \(f(x) = 2{x^2}\sqrt {x - 2} \) a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}2; + \infty )\) b) Chứng minh rằng phương trình \(2{x^2}\sqrt {x - 2} = 11\) có một nghiệm duy nhất. Giải a) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right).\) \(f(x) = 2\left( {2x\sqrt {x - 2} + {{{x^2}} \over {2\sqrt {x - 2} }}} \right) = {{x(5x - 8)} \over {\sqrt {x - 2} }} > 0\) với mọi \(x \in \left[ {2; + \infty } \right).\) Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right).\) b) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right],f(2) = 0,f(3) = 18\) vì 0 < 11 < 18 nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực. \(c \in \left( {2;3} \right)\) sao cho f(c)= 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho. Vì hàm số f đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) nên c là nghiệm duy nhất của phương trình. Câu 1.12 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x + cosx\) a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\) b) Chứng minh rằng với mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right)\), phương trình \({\sin ^2}x + cosx = m\) có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) Giải a) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) Ta có: \(f'(x) = 2\sin x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\) \( = \sin x(2\cos x - 1),x \in \left( {0;\pi } \right)\) Vì khi đó sinx > 0 nên \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = {\pi \over 3}\) Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\)và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\) b) +) Hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\), \(f\left( {{\pi \over 3}} \right) = {5 \over 4}\) và \(f(\pi) = -1\). Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right) \subset \left( { - 1;{5 \over 4}} \right)\) tồn tại một số thực \(c \in \left( {{\pi \over 3};\pi } \right)\) sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm của phương trình trong b). Vì hàm số f nghịch biến trên \(\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\)nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất. +) Vì với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 3}} \right)\) ta có \(1 \le f(x) \le {5 \over 4}\) nên phưng trình đã nêu không có nghiệm \(m \in \left( { - 1;1} \right)\) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\) Câu 1.13 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số \(f(x) = 2\sin x + \tan x - 3x\) a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) b) Chứng minh rằng \(2\sin x + \tan x > 3x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) Giải a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) , ta có \(f'(x) = 2\cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 3\) \( = {{2{{\cos }^3}x - 3\cos x + 1} \over {{{\cos }^2}x}}\) \( = {{{{(1 - cosx)}^2}(2\cos x + 1)} \over {{{\cos }^2}x}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) b) Từ a) suy ra \(f(x) > f(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\), tức là ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Câu 1.14 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) b) Chứng minh rằng \(\tan - x > x + {{{x^3}} \over 3}\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) Giải a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) b) Từ a) suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\), tức là \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) Xét hàm số \(g(x) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) Hàm số liên tục trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(g'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} - {\tan ^2}x - {x^2} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) (vì \(\tan x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Câu 1.15 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số \(f(x) = {4 \over \pi }x - \tan x,x \in \left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\) a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\) b) Từ đó suy ra rằng: \(\tan x \le {4 \over \pi }x\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\) Giải a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\) và có đạo hàm \(f'(x) = {4 \over \pi } - {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{4 - \pi } \over \pi } - {\tan ^2}x,x \in \left( {0;{\pi \over 4}} \right)\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }} \) Dễ dàng thấy rằng \(0 < \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }} < 1 = \tan {\pi \over 4}\). Do đó tồn tại một số duy nhất \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 4}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = \sqrt {{{4 - \pi } \over \pi }} \) Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\alpha} \right]\) và nghịch biến trên \(\left[ {\alpha ;{\pi \over 4}} \right]\) b) Theo bảng biến thiên ta có \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\) Từ đó có bất đẳng thức cần chứng minh.
