Câu 1.17 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(f(x) = {{{x^2} + 8x - 24} \over {{x^2} - 4}}\) b) \(f(x) = {x \over {{x^2} + 4}}\) c) \(f(x) = x\sqrt {3 - x} \) d) \(f(x) = {x^2} - 2\left| x \right| + 2\) Giải a) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1; f(1) = 5 và đạt cực tiểu tại điểm x = 4; f(4) = 2 b) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 2;{\rm{ }}f\left( { - 2} \right) = - {1 \over 4}\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2;{\rm{ }}f\left( 2 \right) = {1 \over 4}\) c) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 2; f(2) = 2 d) Hàm số liên tục trên R \(f(x) = \left\{ \matrix{{x^2} + 2x + 2;x < 0 \hfill \cr {x^2} - 2x + 2;x \ge 0 \hfill \cr} \right.\) \(f'(x) = \left\{ \matrix{2x + 2;x < 0 \hfill \cr 2x - 2;x > 0 \hfill \cr} \right.\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 1\) Bảng biến thiên Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0,f(0) = 2\) và đạt cực tiểu tại các điểm x = -1 và x = 1; \(f( - 1) = f(1) = 1\) Câu 1.18 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = \sin {x^2} - \sqrt 3 {\rm{cos}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\) b) \(y = 2\sin x + {\rm{cos2}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\) Giải a) \(y' = 2\sin x\cos x + \sqrt 3 \sin x\) \( = \sin x(2\cos x + \sqrt 3 )\) Với \(0 < x < \pi \) ta có \(\sin x > 0\) . Do đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = - {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6}\) Bảng biến thiên Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\) Có thể áp dụng quy tắc 2 \(y' = \sin 2x + \sqrt 3 \sin x;y'' = 2\cos x + \sqrt 3 \cos x\) \(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 2\cos {{5\pi } \over 6} + \sqrt 3 \cos {{5\pi } \over 6} \) \(= 2.{1 \over 2} + \sqrt 3 \left( { - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) = - {1 \over 2} < 0\) Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\) b) \(y' = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x(1 - 2\sin x)\) Với \(0 < x < \pi \) , ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow x = {\pi \over 2},x = {\pi \over 6},x = {{5\pi } \over 6}\) Ta áp dụng quy tắc 2 \(y'' = - 2\sin x - 4\cos 2x\) \(y'' = \left( {{\pi \over 2}} \right) = - 2\sin {\pi \over 2} - 4\cos x = 2 > 0\) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = {\pi \over 2};y\left( {{\pi \over 2}} \right) = 1\) \(y''\left( {{\pi \over 6}} \right) = - 2\sin {\pi \over 6} - 4\cos {\pi \over 3} = - 3 < 0\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {\pi \over 6};y\left( {{\pi \over 6}} \right) = {3 \over 2}\) \(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = - 2\sin {{5\pi } \over 6} - 4\cos x{{5\pi } \over 3} = - 3 < 0\) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {3 \over 2}\) Câu 1.20 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm các số thực p và q sao cho hàm số \(f(x) = x + p + {q \over {x + 1}}\) Đạt cực đại tại điểm \(x = - 2{\rm{ }}\) và \({\rm{ }}f\left( { - 2} \right) = - 2\). Giải Ta có \(f'(x) = 1 - {q \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) với mọi \(x \ne - 1\) - Nếu \(q \le 0\) thì \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \ne - 1\). Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) . Hàm số không có cực đại, cực tiểu. - Nếu q > 0 thì phương trình \(f'(x) = {{{x^2} + 2x + 1 - q} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\) Có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1 - \sqrt q \) và \({x_2} = - 1 + \sqrt q \) Hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_1} = - 1 - \sqrt q \) và đạt cực tiểu tại điểm \({x_2} = - 1 + \sqrt q \). Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 khi và chỉ khi \( - 1 - \sqrt q = - 2 \Leftrightarrow \sqrt q = 1 \Leftrightarrow q = 1\) \(f(-2) = - 2 \Leftrightarrow p = 1\)
