Câu 1.23 trang 14 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m. Tính góc \(\alpha = \widehat {DAB} = \widehat {CBA}\) sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và diện tích lớn nhất đó (h.1.1) Giải Dựng \(AH \bot CD\). Đặt \(x = \widehat {ADC,}0 < x < {\pi \over 2}\) , ta được AH = sinx; DH = cosx; DC = 1+ 2cosx. Diện tích hình thang là \(S = {{AB + CD} \over 2}AH = (1 + \cos x)sinx;0 < x < {\pi \over 2}\) Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) sao cho tại điểm đó s đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) \(S '= (\cos x + 1)(2\cos x - 1);0 < x < {\pi \over 2}\) Hình thang có diện tích lớn nhất khi \(\alpha = {{2\pi } \over 3}\) . Khi đó diện tích hình thang là \(S = {{3\sqrt 3 } \over 4}({m^2})\) Câu 1.24 trang 14 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất. Giải Gọi x, y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 10 cm, 0 < x < 10 và 0 < y < 10. Diện tích tam giác là \(S = {1 \over 2}xy(c{m^2})\) Ta có \({x^2} + {y^2} = 100\) S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({x^2}{y^2} = {x^2}(100 - {x^2})\) đạt giá trị lớn nhất. Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;10} \right)\) sao cho tại đó hàm số \(z = {x^2}(100 - {x^2}),x \in \left( {0;10} \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Ta tìm được \(x = y = 5\sqrt 2 \) Trong các tam giác vuông đó, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất. Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là \(x = y = 5\sqrt 2 \) (cm) Câu 1.26 trang 14 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình 1.3) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của một hình quạt còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu (h.1.3), \(0 < x < 2\pi \) a) Hãy biểu diễn hán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x. b) Tính thể tích hình nón theo R và x. c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Giải a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài \(\overparen{AB}\) của quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có \(2\pi r = Rx\) Do đó \(r = {{Rx} \over {2\pi }}\) và \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - {{{R^2}{x^2}} \over {4{\pi ^2}}}} = {R \over {2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \) b) Thể tích hình nón là \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} ,0 < x < 2\pi \) c) Ta tìm \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) sao cho tại đó V đạt giá trị lớn nhất \(V' = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}.{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)} \over {\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\) Với \(0 < x < 2\pi \), ta có \(V' = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = {{2\sqrt 6 } \over 3}\pi \approx 1,63\pi \) Hình nón có thể tích lớn nhất khi \(x = {{2\sqrt 6\pi } \over 3} \approx 1,63\pi \) \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;2\pi } \right)} V = V({{2\sqrt 6 \pi} \over 3}) = {{2\sqrt 3 } \over {27}}\pi {R^3}\) Câu 1.29 trang 16 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức \(f(v) = {{290,4v} \over {0,36{v^2} + 13,2v + 264}}\) (xe/giây) Trong đó v (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi đi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Giải \(f'(v) = 290,4.{{ - 0,36{v^2} + 264} \over {{{(0,36{v^2} + 13,2v + 264)}^2}}}.v > 0\) \(f'(v) = 0 \Leftrightarrow v = {{\sqrt {264} } \over {0,6}}\) f đạt giá trị lớn nhất khi \(v = {{\sqrt {264} } \over {0,6}} \approx 27,08\) (km/h) \(f({{\sqrt {264} } \over {0,6}}) \approx f(27,08) \approx 8,9\) Câu 1.30 trang 16 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5km. Trên bờ biền có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h (h.1.5). Xác định vị trí của điểm M để người đó đến kho nhanh nhất. Giải Đặt \(x = BM,0 \le x \le 7\). Khi đó, \(AM = \sqrt {{x^2} + 25} ,MC = 7 - x.\) Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là \(T(x) = {{\sqrt {{x^2} + 25} } \over 4} + {{7 - x} \over 6}\) (giờ) \(0 \le x \le 7\) Hàm số T đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(x = 2\sqrt 5 \approx 4,472(km)\)
