Câu 1.36 trang 17 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau: a) \(y = {{x + 1} \over {2x + 1}}\) b) \(y = 4 + {1 \over {x - 2}}\) c) \(y = {{\sqrt {{x^2} + x} } \over {x - 1}}\) d) \(y = {{\sqrt {x + 3} } \over {x + 1}}\) Giải a) Đường thẳng \(x = -{1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {\left( { - {1 \over 2}} \right)^ - }\) và \(x \to {\left( { - {1 \over 2}} \right)^ + }\). Đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) b) Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {2^ - }\) và \(x \to {2^ + }\)). Đường thẳng y = 4 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 - {1 \over x}}} = 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 - {1 \over x}}} = - 1\) Nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)) và đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to - \infty \)) (h.1.8) d) Đường thẳng x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to {( - 1)^ - }\) và \(x \to {( - 1)^ + }\)). Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)) (h1.1.9). Câu 1.37 trang 17 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau: a) \(y = 2x - 1 + {1 \over x}\) b) \(y = {{{x^2} + 2x} \over {x - 3}}\) c) \(y = x - 3 + {1 \over {2{{(x - 1)}^2}}}\) d) \(y = {{2{x^2} + {x^2}} \over {{x^2} + 1}}\) Giải a) Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {0^ + }\) và \(x \to {0^ - }\). Đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) b) Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {3^ - }\) và \(x \to {3^ + }\)). Đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = + \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {1^ - }\) và \(x \to {1^ + }\)). Vì \(y - (x - 3) = {1 \over {2{{(x - 1)}^2}}} \to 0\) khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \) nên đường thẳng y = x – 3 là tiệm cân xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) (h.1.10). d) Đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng \(y = 2x - 1 + {{1 - 2x} \over {{x^2} + 1}} \) Vì hàm số xác định trên R nên đồ thị của nó không có tiệm cận đứng. Câu 1.38 trang 18 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm các đường tiệm của đồ thị các hàm số sau: a) \(y = {{2{x^2} + 1} \over {{x^2} - 2x}}\) b) \(y = {x \over {1 - {x^2}}}\) c) \(y = {{{x^2}} \over {{x^2} - 1}}\) d) \(y = {{\sqrt x } \over {4 - {x^2}}}\) Giải a) Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {0^ + }\) và \(x \to {0^ - }\)). Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {2^ + }\) và \(x \to {2^ - }\)) Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) b) Tiệm cận đứng: x = 1 (khi \(x \to {1^ + }\) và \(x \to {1^ - }\)) Tiệm cận đứng: x = -1 (khi \(x \to {( - 1)^ + }\) và \(x \to {( - 1)^ - }\)) Tiệm cận ngang: y = 0 (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) c) Tiệm cận đứng: x = 1 (khi \(x \to {1^ + }\) và \(x \to {1^ - }\)) Tiệm cận đứng: x = -1 (khi \(x \to {( - 1)^ + }\) và \(x \to {( - 1)^ - }\)) Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)) d) Tiệm cận đứng: x = 2 (khi \(x \to {2^ + }\) và \(x \to {2^ - }\)) Tiệm cận ngang: y = 0 (khi \(x \to + \infty \) ) (h.1.11) Câu 1.39 trang 18 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm các đường tiệm của đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1} \) b) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 2x} \) c) \(y = \sqrt {{x^2} + 3} \) d) \(y = x + {2 \over {\sqrt x }}\) Giải a) Ta có : \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = 1\) \(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - x} \right) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - x + 1} \over {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} + 1}} = - {1 \over 2} \cr} \) Đường thẳng \(y = x - {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)) \(\eqalign{& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 1} } \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = - 1 \cr} \) \(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x + 1} \over {\sqrt {{x^2} - x + 1} - x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x + 1} \over { - x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} - 1}} = {1 \over 2} \cr} \) Đường thẳng \(y =- x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to - \infty \)) (h.1.12) b) Tiệm cận xiên: y = 2x + 1 (khi \(x \to + \infty \)) Tiệm cận ngang: y = -1 (khi \(x \to - \infty \)) c) Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \)) Tiệm cận ngang: y = -x (khi \(x \to - \infty \)) d) Tiệm cận đứng: x = 0 (khi \(x \to {0^ + }\)) Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \)) (h.1.14) Câu 1.40 trang 18 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong \(y = {{x - 5} \over {2x + 3}}\) (H) b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (H) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (H) Giải a) \(I\left( { - {3 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) b) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) \(\left\{ \matrix{x = X - {3 \over 2} \hfill \cr y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Phương trình của đường cong (H) đối với hệ tọa độ IXY \(Y = {{13} \over {4X}}\) Hàm số là hàm lẻ nhận I làm tâm đối xứng Câu 1.41 trang 18 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong \(y = {{2{x^2} - 3x - 3} \over {x - 2}}\) (C) b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Giải a) \(I\left( {2;5} \right)\) b) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) \(\left\{ \matrix{x = X + 2 \hfill \cr y = Y + 5 \hfill \cr} \right.\) Phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY là: \(Y = 2X - {1 \over X}\) Câu 1.42 trang 18 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cùng các câu hỏi như trong bài tập 1.41 đối với đồ thị các hàm số sau: a) \(y = {{x + 5} \over {2x + 1}}\) b) \(y = 3x + 4 + {2 \over {x + 1}}\) Giải a) \(\eqalign{& I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right);\left\{ \matrix{x = X - {1 \over 2} \hfill \cr y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.;Y = {9 \over {4X}} \cr & \cr} \) b) \(I( - 1;1);\left\{ \matrix{x = X - 1 \hfill \cr y = Y + 1 \hfill \cr} \right.;Y = 3X + {2 \over X}\)
