Câu 1.61 trang 22 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Với giá trị nào của m, phương trình \(4{x^3} - 3x - 2m + 3 = 0\) Có một nghiệm duy nhất ? Giải m > 1 hoặc m >2 Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(f(x) = 4{x^3} - 3x + 3 = 2m\) Do đó nghiệm của phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) của hàm số \(y = 4{x^3} - 3x + 3\) và đường thẳng \(y = 2m\) Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = 4{x^3} - 3x + 3\). Từ đó dễ dàng tìm được các giá trị sao cho đường thẳng \(y = 2m\) cắt (C) tại đúng một điểm. Câu 1.62 trang 22 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hai hàm số \(f(x) = - {1 \over 4}{x^2} + x + {1 \over 4}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} \) a) Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số f và đồ thị (C) của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A. c) Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D). Giải b) \(y = {x \over 2} + {1 \over 2}\) c) Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có \(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} - {{x + 1} \over 2}\) - Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\) - Với \(x + 1 > 0\) hay \(x > - 1\) \(g(x) - h(x) > 0\) \(\eqalign{& \Leftrightarrow g(x) > h(x) \cr& \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x) \cr& \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left( {x + 1} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \) Vậy \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức x = 1. Câu 1.63 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số \(f(x) = {x^2} - 3x + 4,g(x) = 1 + {1 \over x}\) và \(h(x) = - 4x + 6\sqrt x \) Tiếp xúc với nhau tại một điểm. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x) là: \(\eqalign{ & {x^2} - 3x + 4 = 1 + {1 \over x} \cr & \Rightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow x = 1 \cr} \) Vậy f(x) và g(x) giao nhau tại A (1; 2) Ta có: \(-4.1+6.\sqrt 1=2\) Do đó A thuộc đồ thị của hàm số h(x) Mặt khác: \(f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right) = h'\left( 1 \right) = - 1\) Do đó ba hàm số đã cho tiếp xúc với nhau tại A (1; 2) Câu 1.64 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình \(y = {x^2} - 3x - 1\) Tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số \(y = {{ - {x^2} + 2x - 3} \over {x - 1}}\) Viết phương trình tiếp tuyến tuyến chung của parabol (P) và đường cong (C) tại tiếp điểm của chúng. Giải Ta viết hàm số thứ hai dưới dạng \(y = - x + 1 - {2 \over {x - 1}}\) Hoành độ của tiếp điểm (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \matrix{- x + 1 - {2 \over {x - 1}} = {x^2} - 3x - 1 \hfill \cr - 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2x - 3 \hfill \cr} \right.\) Phương trình thứ hai của hệ tương đương với phương trình \(\eqalign{& {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2(x - 1) \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \) x = 2 cũng là nghiệm của phương trình đầu của hệ. Hệ có nghiệm duy nhât là x = 2. Do đó hai đường cong (P) và (C) tiếp xúc với nhau tại điểm A(2;-3) Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là y = x – 5 Câu 1.65 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến chung của parabol \(y = {x^2} - 3x\) đi qua điểm \(A\left( {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)\) và chúng vuông góc với nhau. Giải Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k là \(y = k\left( {x - {3 \over 2}} \right) - {5 \over 2}\) \(\left( {{D_k}} \right)\) Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng \(\left( {{D_k}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\eqalign{& {x^2} - 3x = kx - {3 \over 2}k - {5 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2(k + 3)x + 3k + 5 = 0 \cr} \) Đường thẳng \(\left( {{D_k}} \right)\) là tiếp tuyến của parabol khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép, tức là \(\eqalign{& \Delta ' = {\left( {k + 3} \right)^2} - 2\left( {3k + 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {k^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \pm 1 \cr} \) Như vậy có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A. Hệ số góc của hai tiếp tuyến đó là \({k_1} = 1\) và \({k_2} = - 1\). Vì \(k_1.{k_2} = - 1\) nên hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu 1.66 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số \(y = {{mx - 1} \over {x - m}},m \ne \pm 1\) Gọi \(\left( {{H_m}} \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho. a) Chứng minh rằng với mọi \(m \ne \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A và B. b) Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( {{H_m}} \right)\). Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi. Giải a) Đồ thị \(\left( {{H_m}} \right)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \({y_0} = {{m{x_0} - 1} \over {{x_0} - m}}\) Với mọi \(m \ne \pm 1\) , đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi \(m \ne \pm 1\). Với mọi \(m \ne \pm 1\), phương trình trên tương đương với phương trình \(\eqalign{& {y_0}\left( {{x_0} - m} \right) = m{x_0} - 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x_0} + {y_0}} \right)m = {x_0}{y_0} + 1 \cr} \) Phương trình nghiệm đúng với mọi \(m \ne \pm 1\) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{{x_0} + {y_0} = 0 \hfill \cr {x_0}{y_0} + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y_0} = - {x_0} \hfill \cr - x_0^2 + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\) Hệ phương trình tương đương với mọi \(m \ne \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1) b) Tập hợp các điểm M khi m lấy các giá trị trong tập hợp \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) là đường thẳng y = x bỏ đi hai điểm (-1;-1) và (1;1) Câu 1.67 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}\) b) Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B. c) Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi. Giải b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình \({{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m\) \( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0\) . (1) Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆ = \({\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\) \( \Leftrightarrow m < - 5\) hoặc \(m > - 1\) . (2) c) Khi đó , tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là \({x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}\) và \({y_M} = m.\) (3) Từ đó suy ra \({x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}\) hay \({y_M} = 2{x_M} - 3.\) Vậy điểm M nằm trên đường thẳng \(y = 2x - 3.\) Từ (3) suy ra \(m = 2{x_M} - 3.\) Từ (2) ,ta có \(\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} < - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr} \right.\) Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty )\) là phần của đường thẳng \(y = 2x - 3\) ứng với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup ( 1; + \infty )\) Đó là hai nửa đường thẳng. Câu 1.68 trang 24 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = {{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}\) b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số \(y = {{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}}\) c) Với các giá trị nào của m, phương trình \({{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}} = m\) Có bốn nghiệm phân biệt ? Giải b) Giữ nguyên phần của đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối sứng của đồ thị của hàm số \(y = {{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}}\) c) m>3. Hướng dẫn. b) Vì \({x^2} + x + 1 > 0\) với mọi \(x \in R\) nên \(y = {{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}}\) = \left| {{{{x^2} + x + 1}\over {x + 1}}} \right| = \left| {f(x)} \right|.\) c) Sử dụng đồ thị của hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|\)
