Câu 2.33 trang 76 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng, đẳng thức nào sai ? a) \({\log _\pi }1 = 0\) b) \({\log _3}{1 \over {81}} = 4\) c) \({\log _4}16 = 2\) d) \({\log _5}{1 \over {{{125}^{ - 1}}}} = - 3\) e) \({\log _{{1 \over 3}}}9 = 2\) g) \({\log _{0,5}}4 = - 2\) Giải a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai e) Sai g) Đúng Câu 2.34 trang 76 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hãy tính a) \({\log _{\sqrt 2 }}8\) b) \({\log _{\sqrt {{1 \over 3}} }}27\) c) \({\log _{2\sqrt 2 }}128\) d) \({\log _{\sqrt 5 }}0,2\) Giải a) \({\log _{\sqrt 2 }}8 = {\log _{\sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = 6\) b) \({\log _{\sqrt {{1 \over 3}} }}27 = {\log _{{3^{{{ - 1} \over 2}}}}}27 = - 2{\log _3}{3^3} = - 2.3 = - 6\) c) \({\log _{2\sqrt 2 }}128 = {\log _{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}}128 = {\log _{{2^{{3 \over 2}}}}}128\) \(= {2 \over 3}{\log _2}{2^7} = {2 \over 3}.7 = {{14} \over 3}\) d) \({\log _{\sqrt 5 }}0,2 = {\log _{{5^{{1 \over 2}}}}}{1 \over 5} = 2{\log _5}{5^{ - 1}} = 2.\left( { - 1} \right) = - 2\) Câu 2.35 trang 76 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hãy tìm lôgarit của các số sau theo cơ số a: a) \(25;{1 \over 5};\sqrt 5 \) với \(a = 5\) b) \(64;{1 \over 8};2\) với \(a = 8\) c) \(16;{1 \over 4};\sqrt 2 \) với \(a = 2\) d) \(27;{1 \over 9};\sqrt 3 \) với \(a = 3\) Giải a) \(2; - 1;{1 \over 2}\) b) \(2; - 1;{1 \over 3}\) c) \(4; - 2;{1 \over 2}\) d) \(3; - 2;{1 \over 2}\) Câu 2.36 trang 76 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Với giá trị nào nào của x thì mỗi biểu thức sau đây xác định ? a) \({\log _{0,2}}\left( {7 - x} \right)\) b) \({\log _6}{1 \over {1 - 2x}}\) c) \({\log _{{1 \over 4}}}\left( { - {x^2}} \right)\) d) \({\log _{0,7}}\left( { - 2{x^3}} \right)\) Giải a) \(7 - x > 0 \Leftrightarrow x < 7\) b) \({1 \over {1 - 2x}} > 0 \Leftrightarrow 1 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < {1 \over 2}\) c) \( - {x^2} \le 0\,\forall x \in\mathbb R\) Do đó không tồn tại giá trị nào của x d) \( - 2{x^3} > 0 \Leftrightarrow x < 0\) Câu 2.38 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hãy tìm lôgarit của các số sau theo cơ số a: a) \(2;{1 \over 2};1;0\) với \(a = 4\) b) \(3; - 1; - 3;1\) với \(a = 3\) c) \(3;{1 \over 2};0; - 1\) với \(a = 2\) d) \(1; - 2;0;3\) với \(a = 5\) Giải a) \({\log _4}16;{\log _4}2;{\log _4}4;{\log _4}1\) b) \({\log _3}27;{\log _3}{1 \over 3};{\log _3}{1 \over {27}};{\log _3}3\) c) \({\log _2}8;{\log _2}\sqrt 2 ;{\log _2}1;{\log _2}{1 \over 2}\) d) \({\log _5}5;{\log _5}{1 \over {25}};{\log _5}1;{\log _5}125\) Hướng dẫn:\(b = {\log _a}{a^b}\) Câu 2.39 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hãy sử dụng tính chất của lôgarit để đơn giản biểu thức a) \(2,{3^{{{\log }_{2,3}}2}}\) b) \({\pi ^{{{\log }_\pi }5}}\) c) \({2^{{{\log }_2}5}}\) d) \(3,{8^{{{\log }_{3,8}}11}}\) e) \({5^{1 + {{\log }_5}3}}\) g) \({10^{1 - \log 2}}\) h) \({\left( {{1 \over 7}} \right)^{1 + {{\log }_{{1 \over 7}}}2}}\) i) \({3}^{2-{{\log }_3}18;}\) k) \({4}^{2{{\log }_4}3}\) l) \({5}^{3\log _5{1 \over 2}};\) m) \({\left( {{1 \over 2}} \right)}^{4{{\log }_{{1 \over 2}}}3};\) n) \({6}^{2{{\log }_6}5.}\) Giải Sử dụng công thức \({a^{{{\log }_a}b}} = b\) a) 2 b) 5 c) 5 d) 11 e) 15 g) 5 h) \({2 \over 7}\) i) \({1 \over 2}\) k) 9 l)\({1 \over 8}\) m) 81 n) 25 Câu 2.48 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hãy chứng minh a)\({\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} < - 2;\) b)\({4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}};\) c) \({\log _3}7 + {\log _7}3 > 2;\) d) \({3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}}.\) Giải a) Ta có \({\log _{{1 \over 2}}}3 = {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}}\)và\({1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} + \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right| > 2\) ( theo công thức đổi cơ số của lôgarit,bất đẳng thức Cô- si và \({1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} \ne \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|)\) Mặt khác, \({\log _3}{1 \over 2} < 0\) nên \( - {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}} - {\log _3}{1 \over 2} > 2\), hay \({\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} < - 2\) b) \({4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}} \Leftrightarrow {\log _4}{4^{{{\log }_5}7}} = {\log _4}{7^{{{\log }_5}4}} \) \(\Leftrightarrow {\log _5}7 = {\log _5}4.{\log _4}7\). Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng . c) Ta có \({\log _3}7 > 0\),\({\log _7}3 > 0\) và \({\log _3}7 = {1 \over {{{\log }_7}3}} \ne {\log _7}3\). Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có \({1 \over {{{\log }_7}3}} + {\log _7}3 > 2\),suy ra \({\log _3}7 + {\log _7}3 > 2\). d) \({3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _3}{3^{{{\log }_2}5}} = {\log _3}{5^{{{\log }_2}3}}\) \(\Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5\). Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng . Câu 2.50 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Biết \({\log _7}12 = a\) , \({\log _{12}}24 = b\). Tính \({\log _{54}}168\) theo a và b. b) Biết \({\log _6}15 = a\),\({\log _{12}}18 = b\).Tính \({\log _{25}}24\) theo a và b. Giải a) \({\log _{54}}168 = {{{{\log }_7}168} \over {{{\log }_7}54}} = {{{{\log }_7}\left( {3.7.8} \right)} \over {{{\log }_7}\left( {{{2.3}^3}} \right)}} = {{{{\log }_7}3 + 1 + 3{{\log }_7}2} \over {{{\log }_7}2 + 3{{\log }_7}3}}\) Như vậy, để tính được \({\log _{54}}168\) qua a, b,c ta cần tính được \({\log _7}3\),\({\log _7}2\) qua a, b . Từ giả thiết \(a = {\log _7}12\) , \(b = {\log _{12}}24\), ta tính được \({\log _7}2\),\({\log _7}3\) từ hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ 2{\log _7}2 + {\log _7}3 = a \hfill \cr 3{\log _7}2 + {\log _7}3 = ab \hfill \cr} \right.\) b) \({\log _{25}}24 = {1 \over 2}{\log _5}24 = {3 \over 2}{\log _5}2 + {1 \over 2}{\log _5}3\) Ta cần tính \({\log _5}2\) và \({\log _5}3\) theo \(a = {\log _6}15\) và \(b = {\log _{12}}18\) Ta có \(a = {\log _6}15 = {{{{\log }_5}15} \over {{{\log }_5}6}} = {{1 + {{\log }_5}3} \over {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}\) (1) Ta có \(b = {\log _{12}}18 = {{{{\log }_5}18} \over {{{\log }_5}12}} = {{{{\log }_5}2 + 2{{\log }_5}3} \over {2{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}\) (2) Từ (1) và (2), ta tính được \({\log _5}2\) và \({\log _5}3\) theo a và b. Câu 2.51 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Đơn giản biểu thức sau rồi tính giá trị khi \(x = - 2.\) \({\log _4}{{{x^2}} \over 4} - 2{\log _4}(4{x^4}).\) Giải \(\eqalign{ & A = {\log _4}{{{x^2}} \over 4} - 2{\log _4}(4{x^4}) \cr&= 2lo{g_4}\left| x \right| - 1 - 2\left( {1 + 4{{\log }_4}\left| x \right|} \right) \cr& = - 3 - 6{\log _4}\left| x \right|= - 3 - 3{\log _2}\left| x \right| \cr} \) Khi \(x = - 2\) thì \(A = - 3 - 3{\log _2}2 = - 6\) Câu 2.53 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hai số dương a và b .Chứng minh rằng a)\({a^{\log b}} = {b^{\log a}};\) b) \({a^{lnb}} = {b^{\ln a}}.\) Giải a) \({a^{\log b}} = {b^{\log a}} \Leftrightarrow \log {a^{\log b}} = \log {b^{\log a}}\) \( \Leftrightarrow {\mathop{\rm logb}\nolimits} .{\mathop{\rm loga}\nolimits} = {\mathop{\rm loga}\nolimits} .{\mathop{\rm logb}\nolimits} \) Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu cũng đúng. b) \({a^{\ln b}} = {b^{\ln a}} \Leftrightarrow \ln {a^{\ln b}} = \ln {b^{\ln a}}\) \( \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnb}\nolimits} .{\mathop{\rm ln a}\nolimits} = {\mathop{\rm lna}\nolimits} .{\mathop{\rm lnb}\nolimits} \) Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu cũng đúng. Câu 2.58 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Biết \(\log 3 \approx 0,4771\) , tính \({\log _{81}}90\) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn). b) Biết \(\log 2 \approx 0,3010\);\(\ln 10 \approx 2,3026\) . Tính \(\ln 2\) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn). Giải a) \({\log _{81}}90 = {{\log 90} \over {\log 81}} = {{1 + 2\log 3} \over {4\log 3}} \approx {{1 + 2.0,4771} \over {4.0,4771}} \approx 1,024\) b) \(\ln 2 = \ln 10.\ln 2 \approx 2,3026.0,3010 \approx 0,693\) Câu 2.60 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Năm 1992, người ta đã biết số \(p = {2^{756839}} - 1\) là một số nguyên tố ( số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó).Hỏi rằng, viết trong hệ thập phân, số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số? ( Biết rằng \({\log 2} \approx 0,30102\) ) Giải \(p + 1 = {2^{756839}} \) \(\Rightarrow \log \left( {p + 1} \right) = 756839.\log 2 \approx 227823,68\) \( \Rightarrow p + 1 \approx {10^{227823,68}}\) \(\Rightarrow {10^{227823,68}} < p + 1 < {10^{227824}}\) Câu 2.63 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Biết \(\log 3 = p,\log 5 = q\) . Hãy chứng minh \({\log _{15}}30 = {{1 + p} \over {p + q}}.\) Giải \({\log _{15}}30 = 1 + {\log _{15}}2 = 1 + {{\log 2} \over {\log 3 + \log 5}}\) \(\eqalign{& = {{\log 3 + \log 5 + \log 2} \over {\log 3 + \log 5}} \cr& = {{\log 3 + \log 10} \over {\log 3 + \log 5}} = {{1 + p} \over {p + q}} \cr} \) Câu 2.64 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Áp suất không khí P ( đo bằng milimet thủy ngân ,kí hiệu là mmHg) giảm mũ so với độ cao x ( đo bằng mét),tức là P giảm theo công thức \(P = {P_{0.}}.{e^{xi}},\) Trong đó \({P_0} = 760mmHg\) là áp suất của mức nước biển (x=0), I là hệ số giảm. Biển rằng ở đọ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71mm. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu? Giải Trước tiên tìm i từ đẳng thức \(672,71 = 760.{e^{1000.i}}\left( {i \approx - 0,00012} \right)\) Từ đó \(p = 760.{e^{3000.\left( { - 0,00012} \right)}} \approx 530,23mmHg\)
