Câu 2.112 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a)\(\left\{ \matrix{ x + y = 11 \hfill \cr{\log _2}x + {\log _2}y = 1 + {\log _2}15 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ \log ({x^2} + {y^2}) = 1 + \log 8 \hfill \cr\log (x + y) - log(x - y) = \log 3; \hfill \cr} \right.\) Giải a) Điều kiện \(x > 0,y > 0\) Biến đổi phương trình thứ hai trong hệ như sau: \({\log _2}x + {\log _2}y = 1 + {\log _2}15 \Leftrightarrow {\log _2}xy = {\log _2}30\) \( \Leftrightarrow xy = 30\) \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right)\) b) Điều kiện \(x + y > 0,x - y > 0\) Biến đổi phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai trong hệ như sau: \(\eqalign{& \log ({x^2} + {y^2}) = 1 + \log 8 \Leftrightarrow \log ({x^2} + {y^2}) = \log 80\cr&\Leftrightarrow {x^2} + {y^2}=80\cr& log(x + y) - log(x - y) = \log 3\cr& \Leftrightarrow \log {{x + y} \over {x - y}} = \log 3\cr& \Leftrightarrow {{x + y} \over {x - y}} = 3 \cr} \) Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {8;4} \right)\) Câu 2.113 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a)\(\left\{ \matrix{{3^x}{.2^y} = 972 \hfill \cr{\log _{\sqrt 3 }}(x - y) = 2; \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ x + y = 25 \hfill \cr{\log _2}x - {\log _2}y = 2 \hfill \cr} \right.\) Giải a) \(\left\{ \matrix{{3^x}{.2^y} = 972 \hfill \cr{\log _{\sqrt 3 }}(x - y) = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{3^x}{.2^y} = 972 \hfill \cr x - y = 3 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = y + 3 \hfill \cr{3^{y+3}}{.2^y} = 972 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = y + 3 \hfill \cr{6^y} = 36 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 5 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\) b) Biến đổi phương trình thứ hai trong hệ thành \({x \over y} = 4\left( {x > 0,y > 0} \right)\) Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {20;5} \right)\) Câu 2.115 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a)\(\left\{ \matrix{{2^x} + {5^{x + y}} = 7 \hfill \cr {2^{x - 1}}{.5^{x + y}} = 5 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{{x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _5}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr} \right.\) Giải a) Đặt \(u = {2^x},v = {5^{x + y}}(u > 0,v > 0)\), ta có hệ: \(\left\{ \matrix{u + v = 7 \hfill \cr uv = 10 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {{{\log }_2}5;{{\log }_5}2 - {{\log }_2}5} \right),\left( {1;0} \right)\) b) ĐKXĐ: \(x \pm y > 0\) . Khi đó \(\left\{ \matrix{{x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr{\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _5}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\log _3}\left( {x + y} \right) + {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr{\log _3}\left( {x + y} \right) - {{{{\log }_3}\left( {x - y} \right)} \over {{{\log }_3}5}} = 1 \hfill \cr} \right.\) Tiếp theo, đặt \(u = {\log _3}\left( {x + y} \right)\) và \(v = {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1\) , ta có hệ \(\left\{ \matrix{u + v = 1 \hfill \cr u - {v \over {{{\log }_3}5}} = 1 \hfill \cr} \right.\) Giải hệ ta được \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\) Câu 2.116 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a )\(\left\{ \matrix{{\log ^2}x = {\log ^2}y + {\log ^2}xy \hfill \cr{\log ^2}\left( {x - y} \right) + \log x\log y = 0 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{{3^{\log x}} = {4^{\log y}} \hfill \cr{\left( {4x} \right)^{\log 4}} = {\left( {3y} \right)^{\log 3}} \hfill \cr} \right.\) Giải a) ĐKXĐ: \(x > 0,y > 0,x > y\) Biến đổi phương trình đầu như sau: \(\eqalign{& {\log ^2}x = {\log ^2}y + {\left( {\log x + \log y} \right)^2} \cr&\Leftrightarrow 2{\log ^2}y + 2\log x\log y = 0 \cr& \Leftrightarrow \log y\left( {\log x + \log y} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{\log y = 0 \hfill \cr\log x + \log y = 0 \hfill \cr} \right.\left[ \matrix{ y = 1 \hfill \cr y = {1 \over x} \hfill \cr} \right. \cr} \) - Với \(y = 1\), thế vào phương trình thứ hai ta được \({\log ^2}\left( {x - 1} \right) + \log x\log 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\) - Với \(y = {1 \over x}\), thế vào phương trình thứ hai ta được \(\eqalign{& {\log ^2}\left( {x - {1 \over x}} \right) + \log x\log {1 \over x} = 0 \cr&\Leftrightarrow{\log ^2}{{{x^2} - 1} \over x} - {\log ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{lo{g^2}{{{x^2} - 1} \over x} = \log x \hfill \cr lo{g^2}{{{x^2} - 1} \over x} = - \log x \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x^2} - 1 = {x^2}\left( {loại} \right) \hfill \cr {{{x^2} - 1} \over x} = {1 \over x} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 2 \cr} \) Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \(x = \sqrt 2 ;y = {1 \over {\sqrt 2 }}\) Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2;1} \right),\left( {\sqrt 2 ;{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\) b) Lôgarit có số 10 của hai vế phương trình trong hệ ta được \(\left\{ \matrix{\log x\log 3 = \log y\log 4 \hfill \cr\log 4\left( {\log 4 + \log x} \right) = \log 3\left( {\log 3 + \log y} \right) \hfill \cr} \right.\) Rồi đặt \(u = \log x,v = \log y\) Tìm u, v giải ra x, y ta được: \(\left( {x;y} \right) = \left( {{1 \over 4};{1 \over 3}} \right)\) Câu 2.117 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a ) \(\left\{ \matrix{ {4^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {\left( {xy} \right)^{{{\log }_3}2}} \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 3x - 3y = 12 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ y = 1 + {\log _2}x \hfill \cr{x^y} = 64 \hfill \cr} \right.\) Giải a) \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\) ĐKXĐ: \(xy > 0\) Áp dụng công thức \({a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\) , phương trình đầu của hệ có thể viết thành \({\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{\log }_3}xy}}\) Đặt \(t = {2^{{{\log }_3}xy}}\left( {t > 0} \right)\) ta có \({t^2} = 2 + t\). Giải phương trình ta tìm được \(t = - 1\) (loại) và \(t = 2\). Từ đó \({\log _3}xy = 1\) hay \(xy = 3\) Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành \({\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 18 = 0\) Giải ra, ta được \(x + y = 6\) và \(x + y = - 3\) Như vậy, ta có hai hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x + y = 6 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr} \right.\) và \(\left\{ \matrix{ x + y = - 3 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\) b) Thế y từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế. \(\eqalign{ & \left( {1 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}x = 6 \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _2}x = 2 \hfill \cr {\log _2}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 4 \Rightarrow y = 3 \hfill \cr x = {1 \over 8} \Rightarrow y = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy nghiệm của hệ là: \(\left( {4;3} \right),\left( {{1 \over 8}; - 2} \right)\) Câu 2.118 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) \(\left\{ \matrix{9{x^2} - 4{y^2} = 5 \hfill \cr{\log _5}\left( {3x + 2y} \right) - {\log _3}\left( {3x - 2y} \right) = 1 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{{5^{\ln x}} = {6^{\ln y}} \hfill \cr{\left( {6x} \right)^{\ln 6}} = {\left( {5y} \right)^{\ln 5}} \hfill \cr} \right.\) Giải a) ĐKXĐ: \(3x \pm 2y > 0\) Lôgarit cơ số 5 hai vế của phương trình đầu ta được \({\log _5}\left( {3x + 2y} \right) - {\log _5}\left( {3x - 2y} \right) = 1\) Biến đổi phương trình thứ hai thành \({\log _5}\left( {3x + 2y} \right) - {{{{\log }_5}\left( {3x - 2y} \right)} \over {{{\log }_5}3}} = 1\) Sau đó đặt \({\log _5}\left( {3x + 2y} \right) = u;{\log _5}\left( {3x - 2y} \right) = v\) \(\left( {u > 0,v > 0} \right)\) dẫn đến hệ \(\left\{ \matrix{u - v = 1 \hfill \cr u - {v \over {{{\log }_5}3}} = 1 \hfill \cr} \right.\) Ta tìm được: v=0, u=1 Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) b) Điều kiện \(x > 0,y > 0\) Lôgarit cơ số e hai vế của cả hai phương trình của hệ dẫn đến \(\left\{ \matrix{\ln x\ln 5 = \ln y\ln 6 \hfill \cr\ln 6\left( {\ln 6 + \ln x} \right) = \ln 5\left( {\ln 5 + \ln y} \right) \hfill \cr} \right.\) Giải hệ ta được: \(\left( {x;y} \right) = \left( {{1 \over 6};{1 \over 5}} \right)\)
