Câu 2.119 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) \(y = \log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) b) \(y = \sqrt {{{\log }_{0,8}}{{2x + 1} \over {x + 5}} - 2} \) c) \(y = {\log _{{1 \over 3}}}{{x - 1} \over {x + 1}}\) d) \(y = \sqrt {{{\log }_{{1 \over 2}}}\left( {x - 2} \right) + 1} \) Giải a) Điều kiện: \({x^2} - 3x + 2 > 0\) \(x\in\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) b) \(\left( { - {1 \over 2};{{55} \over {34}}} \right]\) Ta phải có \(\log_{0,8}{{2x + 1} \over {x + 5}} \ge 2 = \log_{0,8}{\left( {0,8} \right)^2}\) (1) Vì hàm số lôgarit cơ số 0,8 là hàm số nghịch biến nên (1) \( \Leftrightarrow 0 < {{2x + 1} \over {x + 5}} \le {\left( {0,8} \right)^2} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{{2x + 1} \over {x + 5}} > 0 \hfill \cr{{2x + 1} \over {x + 5}} - 0,64 \le 0 \hfill \cr} \right.\) \(\left\{ \matrix{x > - 5\text{ hoặc }x > - {1 \over 2} \hfill \cr- 5 < x < {{55} \over {34}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {1 \over 2} < x < {{55} \over {34}}\) c) Điều kiện: \({{x - 1} \over {x + 1}} > 0\) \( \Leftrightarrow x\in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) d) Điều kiện \(\left\{ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}\left( {x - 2} \right) + 1 \ge 0 \hfill \cr x - 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {2;4} \right]\) Câu 2.120 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau xác định với mọi x: a) \(y = {\log _5}\left( {{x^2} - mx + m + 2} \right)\) b) \(y = {1 \over {\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}\) c) \(y = {\log _2}{\log _3}\left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m} \right]\) Giải a) Điều kiện: \({x^2} - mx + m + 2 > 0\) với mọi x, dẫn đến \(\Delta = {m^2} - 4m - 8 < 0\) \(\Leftrightarrow 2 - 2\sqrt 3 < m < 2 + 2\sqrt 3 \) b) Điều kiện: \({\log }_3\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right) >0\) \(\Leftrightarrow{x^2} - 2x + 3m > 1\) với mọi x do đó \(m > {2 \over 3}\) c) Hàm số \(y = {\log _2}{\log _3}\left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m} \right]\) xác đinh với mọi x khi và chỉ khi \({\log _3}\left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m} \right] > 0\) với mọi x, tức là \( {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m} > 0\) với mọi x (1) + Với \(m = 2\) (không thỏa mãn) + Với \(m \ne 2\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{\Delta ' = - 3m + 7 < 0 \hfill \cr a = m - 2 > 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > {7 \over 3} \hfill \cr m > 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > {7 \over 3}\) Câu 2.125 trang 90 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) \(3{\log _x}4 + 2{\log _{4x}}4 + 3{\log _{16x}}4 \le 0\) b) \({\log _4}{\log _3}{{x - 1} \over {x + 1}} < {\log _{{1 \over 4}}}{\log _{{1 \over 3}}}{{x + 1} \over {x - 1}}\) Giải a) Đưa về cùng lôgarit cơ số 4. \(3{\log _x}4 + 2{\log _{4x}}4 + 3{\log _{16x}}4 \le 0\) \( \Leftrightarrow {3 \over {{{\log }_4}x}} + {2 \over {{{\log }_4}x + 1}} + {3 \over {{{\log }_4}x + 2}} \le 0\) . Đặt \({\log _4}x = t\) , ta có \({3 \over t} + {2 \over {t + 1}} + {3 \over {t + 2}} \le 0\) . Từ đó ta có kết luận: \(0 < x < {1 \over 6}\) hoặc \({1 \over 8} \le x < {1 \over 4}\) hoặc\({1 \over 2} \le x < 1\). b) Trước hết đưa về cùng lôgarit cơ số 4 , sau đó đưa cùng lôgarit cơ số 3 , rồi đặt \(t = {\log _3}{{x - 1} \over {x + 1}}\) , ta có bất phương trình \({{{t^2} - 1} \over t} < 0\) . Giải t ta tìm được x < -2 hoặc 1 < x < 2.
