Câu 3.1 trang 141 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(y = 1 - x\) b) \(y = 2 + {x^2}\) c) \(y = {x^3} - 9\) d) \(y = {2 \over 5} + {1 \over 3}{x^2}\) e) \(y = {1 \over 2}\sqrt x - {1 \over {{x^2}}}\) f) \(y = {5 \over 2}{x^{{3 \over 2}}} + 8x\) Giải a) \(x - {1 \over 2}{x^2} + C\) b) \(2x + {{{x^3}} \over 3} + C\) c) \({{{x^4}} \over 4} - 9x + C\) d) \({2 \over 5}x + {{{x^3}} \over 9} + C\) e) \({{\sqrt {{x^3}} } \over 3} + {1 \over x} + C\) f) \({x^{{5 \over 2}}} + 4{x^2} + C\) Câu 3.2 trang 141 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(y = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\) b) \(y = \left( {{x^2} - 3x} \right)\left( {x + 1} \right)\) c) \(y = {\left( {x - 3} \right)^3}\) d) \(y = \left( {x + 2{x^3}} \right)\left( {x + 1} \right)\) Giải a) \({{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} - 6x + C\) b) \({{{x^4}} \over 4} - {{2{x^3}} \over 3} - {{3{x^2}} \over 2} + C\) c) \({{{{\left( {x - 3} \right)}^4}} \over 4} + C\) d) \({{2{x^5}} \over 5} + {{{x^4}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} + C\) Câu 3.3 trang 141 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm a) \(\int {{{{x^2} - 3x} \over x}} dx\) b) \(\int {{{4{x^3} + 5x - 1} \over {{x^2}}}} dx\) c) \(\int {{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {{x^4}}}} dx\) d) \(\int {{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}} dx\) Giải a) \( \int {{{{x^2} - 3x} \over x}} dx= \int {(x - 3)} dx={{{x^2}} \over 2} - 3x + C\) b) \(\int {{{4{x^3} + 5x - 1} \over {{x^2}}}} dx= \int {\left( {4x + {5 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \right)} dx\) \(=2{x^2} + 2x + {1 \over x} + C\) c) \( \int {{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {{x^4}}}} dx = \int {{{{x^2} + 4x + 4} \over {{x^4}}}} = \int {\left( {{1 \over {{x^2}}} + {4 \over {{x^3}}} + {4 \over {{x^4}}}} \right)} dx\) \(=- {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}} - {4 \over {3{x^3}}} + C\) d) \(\int {{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}} dx = \int {{{{x^4} + 2{x^2} + 1} \over {{x^4}}}} \) \(= \int {\left( {1 + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}} \right)} dx={{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - {1 \over x} + C\) Câu 3.4 trang 141 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm a) \(\int {\left( {{x^{{3 \over 4}}} + {x^{{1 \over 2}}} - 5} \right)} dx\) b) \(\int {\sqrt x \left( {\sqrt x - 2x} \right)} \left( {x + 1} \right)dx\) c) \(\int {\left( {{x^{ - 3}} - 2{x^{ - 2}} + 4x + 1} \right)} dx\) d) \(\int {\left[ {\left( {2x + 3{x^{ - 2}}} \right)\left( {{x^2} - {1 \over x}} \right) + 3{x^{ - 3}}} \right]} dx\) Giải a) \(\int {\left( {{x^{{3 \over 4}}} + {x^{{1 \over 2}}} - 5} \right)} dx\) = \({4 \over 7}{x^{{7 \over 4}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} - 5x + C\) b) \(\int {\sqrt x \left( {\sqrt x - 2x} \right)} \left( {x + 1} \right)dx\) \(\eqalign{ & = \int {\left( {x - 2x\sqrt x } \right)\left( {x + 1} \right)} dx \cr & = \int {({x^2} + x - 2{x^2}\sqrt x } - 2x\sqrt x )dx \cr} \) \(={{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - {4 \over 7}{x^{{7 \over 2}}} - {4 \over 5}{x^{{5 \over 2}}} + C\) c) \(\int {\left( {{x^{ - 3}} - 2{x^{ - 2}} + 4x + 1} \right)} dx\) \( =- {1 \over {2{x^2}}} + {2 \over x} + 2{x^2} + x + C\) d) \(\int {\left[ {\left( {2x + 3{x^{ - 2}}} \right)\left( {{x^2} - {1 \over x}} \right) + 3{x^{ - 3}}} \right]} dx\) \(\eqalign{ & = \int {\left( {2{x^3} - 2 + 3 - {3 \over {{x^3}}} + {3 \over {{x^3}}}} \right)dx} \cr & = \int {\left( {2{x^3} + 1} \right)dx} \cr} \) \(={{{x^4}} \over 2} + x + C\) Câu 3.5 trang 141 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết rằng a) \(f\left( x \right) = 2x + 1\) và \(f\left( 1 \right) = 5\) b) \(f\left( x \right) = 2 - {x^2}\) và \(f\left( 2 \right) = {7 \over 3}\) c) \(f\left( x \right) = 4\sqrt x - x\) và \(f\left( 4 \right) = 0\) d) \(f\left( x \right) = x - {1 \over {{x^2}}} + 2\) và \(f\left( 1 \right) = 2\) Giải a) \(f\left( x \right) = {x^2} + x + C\). Vì \(f\left( 1 \right) = 5\) suy ra \(C = 5 - 2 = 3\) Vậy \(f(x)={x^2} + x + 3\) b) \(f(x)=2x - {{{x^3}} \over 3}+C\). Vì \(f\left( 2 \right) = {7 \over 3}\) suy ra \(C=1\) Vậy \(f(x)=2x - {{{x^3}} \over 3} + 1\) c) \(f(x)={{8x\sqrt x } \over 3} - {{{x^2}} \over 2}+C \). Vì \(f\left( 4 \right) = 0\) suy ra \(C= - {{40} \over 3}\) Vậy \(f(x)={{8x\sqrt x } \over 3} - {{{x^2}} \over 2} - {{40} \over 3}\) d) \(f(x)={{{x^2}} \over 2} + {1 \over x} + 2x+C\). Vì \(f\left( 1 \right) = 2\) suy ra \(C=- {3 \over 2}\) Vậy \(f(x)={{{x^2}} \over 2} + {1 \over x} + 2x - {3 \over 2}\). Câu 3.7 trang 142 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu biết \(f'\left( x \right) = ax + {b \over {{x^2}}},f\left( { - 1} \right) = 2,f\left( 1 \right) = 4,f'\left( 1 \right) = 0\). Giải \(f\left( x \right) = {{a{x^2}} \over 2} - {b \over x} + c\) . Từ điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{{a \over 2} + b + c = 2 \hfill \cr{a \over 2} - b + c = 4 \hfill \cr a + b = 0 \hfill \cr} \right.\) Giải ra ta được \(a = 1,b = - 1,c = {5 \over 2}\) Vậy \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {1 \over x} + {5 \over 2}\) Câu 3.8 trang 142 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu biết \(f'\left( x \right) = {{15\sqrt x } \over {14}},f\left( 1 \right) = 4\) Giải \(f(x)={{5\sqrt {{x^3}} } \over 7}+C\) Vì \(f\left( 1 \right) = 4\) nên \({5 \over 7} + C = 4 \Rightarrow C = {{23} \over 7}\) Vậy \(f(x)={{5\sqrt {{x^3}} } \over 7} + {{23} \over 7}\)
