Câu 3.38 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Cho a > 0. Chứng minh rằng \(\int\limits_\alpha ^\beta {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \) trong đó r và k là các số thực thỏa mãn \({\rm{tan}}r = {\beta \over a},\tan k = {\alpha \over a}\) b) Tính \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} \) Giải a) Đặt \(x = {\rm{a}}\tan u\). Khi đó \(dx = {{adu} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}},{x^2} + {a^2} = {a^2}\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right) = {{{a^2}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}}\) Theo công thức biến đổi, ta có: \(\int\limits_\alpha ^\beta {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}}} = \int\limits_k^r {{{du} \over a} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \) với \(\tan r = {\beta \over \alpha },\tan k = {\alpha \over a}\) b) Đặt \(u = \tan {x \over 2}\). Khi đó \(dx = {{2du} \over {1 + {u^2}}}.\)Mặt khác \(2 + c{\rm{os}}x = 2 + {{1 - {u^2}} \over {1 + {u^2}}} = {{3 + {u^2}} \over {1 + {u^2}}}\), Vậy theo a) ta có \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} = \int\limits_0^1 {{{1 + {u^2}} \over {3 + {u^2}}}.{{2du} \over {1 + {u^2}}} = } 2\int\limits_0^1 {{{du} \over {{u^2} + 3}} = } {2 \over {\sqrt 3 }}\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {du} \) \(= {{\pi \sqrt 3 } \over 9}\) Câu 3.40 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_5}\) Giải Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \(u = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 1}}x,v' = c{\rm{os}}x\) suy ra \({I_n} = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{n - 2}}x.{{\sin }^2}xdx} \) Thay \({\sin ^2}x = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\), ta có điều cần chứng minh. Suy ra \({I_5} = {4 \over 5}{I_3} = {4 \over 5}.{2 \over 3}{I_1} = {8 \over {15}}\)