Câu 3.42 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 2\pi \) b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 2 - x,y = {x^2}\) và trục hoành trong miền \(x \ge 0\) Giải a) Ta có \(\sin x \ge 0\) trên đoạn \(\left[ {0 ;\pi } \right]\) và \(\sin x \le 0\) trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\). Vậy diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình 3.2) là: \(S = \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx = \int\limits_0^\pi {\sin xdx - } } \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx} \) \(= 2 - \left( { - 2} \right) = 4\) b) Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = 2 - x\) và \(y = {x^2}\) bằng cách giải phương trình \(2 - x = {x^2}\). Ta tìm được \(x = 1\) và \(x = - 2\) (loại). Hình tạo thành (phần tô đậm trong hình 3.2) gồm một tam giác cong và một tam giác. Diện tích tam giác cong là:\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} = {1 \over 3}\). Diện tích tam giác là \({1 \over 2}\). Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: \({1 \over 3} + {1 \over 2} = {5 \over 6}\) Câu 3.43 trang 148 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\) Giải \(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right|dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)} } dx\) \( - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)dx + } \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)dx} \) \(={1 \over 4} - \left( { - {1 \over 4}} \right) + {9 \over 4} = {{11} \over 4}\) Câu 3.47 trang 148 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số \(y = x + {1 \over x}\), trục hoành, đường thẳng \(x = - 2\) và đường thẳng \(x = - 1\) b) Đồ thị hàm số \(y = 1 - {1 \over {{x^2}}}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(x = 2\) c) Đồ thị hàm số \(y = 1 - {1 \over {{x^2}}}\), đường thẳng \(y = - {1 \over 2}\) và đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) Giải a) \(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {1 + {1 \over x}} \right|} dx\) (h.3.7) $$ = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {1 + {1 \over x}} \right)} \,dx = \left( { - x - \ln |x|} \right)|_{ - 2}^{ - 1} = 1 + \ln 2$$ b) \(S = \int\limits_1^2 {\left( {1 - {1 \over {{x^2}}}} \right)dx} = \left( {x + {1 \over x}} \right)|_1^2 = 0,5\) c) Diện tích hình thang cong ABCD là \(\int\limits_{ - {1 \over 2}}^{{1 \over 2}} {{{dy} \over {\sqrt {1 - y} }}} = \sqrt 6 - \sqrt 2 \) (h.3.8) Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là: \(2\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\) Câu 3.49 trang 149 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số \(y = {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 2\) và đường thẳng \(x = 3\) b) Đồ thị hàm số \(y = {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), đường thẳng \(y = 2\) và đường thẳng \(y = 8\) Giải a) \(S = \int\limits_2^3 {{2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} = - {2 \over {x - 1}}|_2^3 = 1\) b) Từ \(y = {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), ta rút ra \(x = 1 + {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}\) hoặc \(x = 1 - {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}\) Vậy \(S = \int\limits_2^8 {\left[ {1 + {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }} - \left( {1 - {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}} \right)} \right]} dy = \int\limits_2^8 {{{2\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}} dy = 8\) Câu 3.50 trang 149 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 2,y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) b) Đồ thị hai hàm số \(y = 2 - {x^2},y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\) c) Đồ thị hai hàm số \(y = 2 - {x^2},y = x\) d) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành. Giải a) \(S =\int\limits_0^2 {|{{x^2} + 2 - x}|} dx= \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2 - x} \right)} dx\) \(=( {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + 2x)|_0^2 = {{14} \over 3}\) b) \(S =\int\limits_0^1 {| {2 - {x^2} - x} |} dx= \int\limits_0^1 {\left( {2 - {x^2} - x} \right)} dx\) (h.3.9) \( = 2x - {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2}|_0^1 = {7 \over 6}\) c) \(S=\int\limits_{ - 2}^1 {| {2 - {x^2} - x} |} dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {2 - {x^2} - x} \right)} dx\) (h.3.10) \( = 2x - {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2}|_{ - 2}^1 = {9 \over 2}\) d) \(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx + 2} \) \(={{22} \over 3}\) (h.3.11) Câu 3.51 trang 149 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hai hàm số \(y = 7 - 2{x^2}\) và \(y = {x^2} + 4\) b) Hai đường cong \(x - {y^2} = 0\) và \(x + 2{y^2} = 3\) c) Hai đường cong \(x = {y^3} - {y^2}\) và \(x = 2y\) Giải a) \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {7 - 2{x^2} - {x^2} - 4} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {3 - 3{x^2}} \right)} dx = 4\) (h.3.12) b) \(S = 2\int\limits_0^1 {\sqrt x dx} + 2\int\limits_1^3 {\sqrt {{{3 - x} \over 2}} } dx = 2.{2 \over 3} + 2.{4 \over 3} = 4\) (h.3.13) c) \(S = \int\limits_0^2 {\left( {2y - {y^3} + {y^2}} \right)dy + } \int\limits_{ - 1}^0 \left( {{y^3} - {y^2} - 2y} \right)dy \) \(= {8 \over 3} + {5 \over {12}} = {{37} \over {12}} \) (h.3.14)
