Câu 4.25 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hai số phức khác 0 là \(z = r\left( {{\rm{cos}}\varphi + i\sin \varphi } \right)\) và \(z' = r'\left( {{\rm{cos}}\varphi ' + i\sin \varphi '} \right),\left( {r,r',\varphi ,\varphi ' \in R} \right)\) Tìm điều kiện cần và đủ về \(r,r',\varphi ,\varphi '\) để \(z = z'\) Giải \(z = z'\) khi và chỉ khi hoặc \(r' = r,\varphi ' = \varphi + k2\pi \left( {k \in Z} \right),\)hoặc \(r' = - r,\varphi ' = \varphi + \left( {2k + 1} \right)\pi \left( {k \in Z} \right)\) Câu 4.26 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) Một acgumen của \(z - \left( {1 + 2i} \right)\) bằng \({\pi \over 6}\) b) Một acgumen của \(z + i\) bằng một acgumen của \(z - 1\) Giải a) Tia có gốc A (là điểm biểu diễn số \(1 + 2i\)) với vectơ chỉ hướng \(\overrightarrow u \) biểu diễn số \(\sqrt 3 + i\) (tức là \(\overrightarrow u \) có một acgumen là \({\pi \over 6}\)) (không kể điểm A) (h.4.8) b) Các điểm B, J theo thứ tự biểu diễn số 1, -i thì tập hợp cần tìm là các điểm thuộc đường thẳng BJ nằm ngoài đoạn BJ (h.4.9) Câu 4.28 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau: a) \(\sin \varphi + i2{\sin ^2}{\varphi \over 2}\) b) \({\rm{cos}}\varphi + i\left( {1 + \sin \varphi } \right)\) Giải a) \(\sin \varphi +2 i{\sin ^2}{\varphi \over 2} = 2\sin {\varphi \over 2}\left( {{\rm{cos}}{\varphi \over 2} + isin{\varphi \over 2}} \right),\) nên khi \(\sin {\varphi \over 2} = 0,\) số đó có dạng lượng giác không xác định khi \(\sin {\varphi \over 2} > 0,\) dạng viết trên là dạng lượng giác của số đã cho. Khi \(\sin {\varphi \over 2} < 0,\) số đó có dạng lượng giác \( - 2\sin {\varphi \over 2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi \over 2} + \pi } \right) + isin\left( {{\varphi \over 2} + \pi } \right)} \right]\) b) \({\rm{cos}}\varphi + i\left( {1 + \sin \varphi } \right) \) \(= \sin \left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right) + i\left[ {1 - c{\rm{os}}\left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right)} \right]\) \(=sin\left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right) + i2{\sin ^2}\left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\) Nên theo câu a) ta có: Khi \(\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = 0,\) số đã cho có dạng lượng giác không xác định. Khi \(\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) > 0,\) số đã cho có dạng lượng giác \( 2\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) + isin\left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)} \right]\) Khi \(\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) < 0,\) số đã cho có dạng lượng giác \( - 2\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi \over 2} + {{5\pi } \over 4}} \right) + isin\left( {{\varphi \over 2} + {{5\pi } \over 4}} \right)} \right]\) Câu 4.29 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm số phức z sao cho \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|\) và một acgumen của \(z - 2\) bằng một acgumen của \(z + 2\) cộng với \({\pi \over 2}\) Giải Cần tìm z sao cho \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|\) chứng tỏ M biểu diễn z cách đều O và điểm A biểu diễn 2, tức là phần thực của z bằng 1. \({{z - 2} \over {z + 2}} = {{\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = {{z\overline z - 4 + 2\left( {z - \overline z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = li\left( {l > 0} \right)\) khi và chỉ khi \(z\overline z - 4 = 0\) (tức là \(\left| z \right| = 2\)) và phần ảo của z phải dương. Vậy điểm M biểu diễn z phải thuộc nửa đường tròn nằm phía trên trục thực, có tâm O, có bán kính bằng 2. Giao của nửa đường tròn đó với đường thẳng \(x = 1\) là điểm M biểu diễn điểm z cần tìm. Vậy số số đó là \(z = 1 + \sqrt 3 i\) (Về hình học: điều kiện một acgumen của \(z - 2\) bằng một acgumen \(z + 2\) cộng với \({\pi \over 2}\) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA (A’, A theo thứ tự biểu diễn -2 và 2) bằng \({\pi \over 2}\)) (h.4.10 Cách 2: Nếu viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right| \Leftrightarrow x = 1\) Khi đó \({{z - 2} \over {z + 2}} = {{1 + iy - 2} \over {1 + iy + 2}} = {{ - 1 + iy} \over {3 + iy}} = {{ - 3 + {y^2} + 4iy} \over {9 + {y^2}}} = li\) (l thực dương) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y^2} = 3 \hfill \cr y > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = \sqrt 3 \) Vậy\(z = 1 + \sqrt 3 i\) Câu 4.30 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho \({{z - 2} \over {z + 2}}\) có một acgumen bằng \({\pi \over 3}\) Giải \({{z - 2} \over {z + 2}} = {{z\overline z - 4 + 2\left( {z - \overline z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}}\) có một acgumen bằng \({\pi \over 3}\) khi và chỉ khi \(z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = l\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\), l là số thực dương. Nếu viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì \(\eqalign{& z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = {x^2} + {y^2} - 4 + 4yi \cr&\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = l + l\sqrt 3 i\left( { > 0} \right) \cr& \Leftrightarrow 4y = \left( {{x^2} + {y^2} - 4} \right)\sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - {2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^2} - {{16} \over 3} = 0 \cr} \) Vậy M chạy trên cung tròn có tâm biểu diễn \({2 \over {\sqrt 3 }}i\) và có bán kính bằng \({4 \over {\sqrt 3 }}\) nằm ở phía trên trục thực. Chú ý: A’, A là các điểm theo thứ tự biểu diễn -2. 2 thì điều kiện \({{z - 2} \over {z + 2}}\) có một acgumen bằng \({\pi \over 3}\) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA’ (M là điểm biểu diễn z) bằng \({\pi \over 3}\). Suy ra quỹ tích của M là cung tròn chứa góc \({\pi \over 3}\) căng trên đoạn A’A (không kể A, A’) (h.4.11) Câu 4.32 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức \({\left( {{{3 - \sqrt 3 i} \over {\sqrt 3 - 3i}}} \right)^n}\) là số thực, là số ảo ? b) Cũng câu hỏi tương tự cho số phức \({\left( {{{7 + i} \over {4 - 3i}}} \right)^n}\) Giải a) \({{3 - \sqrt 3 i} \over {\sqrt 3 - 3i}} = {{\sqrt 3 + i} \over 2} = c{\rm{os}}{\pi \over 6} + isin{\pi \over 6}\) nên với số n nguyên dương, ta có: \({\left( {{{3 - \sqrt 3 i} \over {\sqrt 3 - 3i}}} \right)^n} = c{\rm{os}}{{n\pi } \over 6} + isin{{n\pi } \over 6}\) Số đó là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{n\pi } \over 6} = 0 \Leftrightarrow n = 6k\) (k là số nguyên dương) Số đó là số ảo \( \Leftrightarrow c{\rm{os}}{{n\pi } \over 6} = 0 \Leftrightarrow {{n\pi } \over 6} = {\pi \over 2} + k\pi \Leftrightarrow n = 6k + 3\) (k là số nguyên không âm). b) \({{7 + i} \over {4 - 3i}} = 1 + i = \sqrt 2 \left( {{\rm{cos}}{\pi \over 4} + isin{\pi \over 4}} \right)\) nên với số n nguyên dương, ta có: \({\left( {{{7 + i} \over {4 - 3i}}} \right)^n} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^n}\left( {{\rm{cos}}{n\pi \over 4} + isin{n\pi \over 4}} \right)\) Số đó là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{n\pi } \over 4} = 0 \Leftrightarrow n = 4k\) (k nguyên dương) Số đó là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{n\pi } \over 4} = 0 \Leftrightarrow n = 4k+2\) (k là số nguyên không âm) Câu 4.33 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(4 + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)i\) \(2 + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)i\)\(1 + 3i\) \(3 + i\) Chứng minh rằng bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn. Giải Chỉ cần chứng minh các góc lượng giác (CA,CB), (DA, DB) có số đo bằng nhau (sai khác \(k\pi, \;k\in Z\) ) (h.4.12) Ta có \(\overrightarrow {CA} \) biểu diễn số phức \(3 + \sqrt 3 i\), \(\overrightarrow {CB} \) biểu diễn số phức \(1 + \sqrt 3 i\) nên số đo góc (CA, CB) là một acgumen của \({{1 + \sqrt 3 i} \over {3 + \sqrt 3 i}}\) cũng là một acgumen của \(\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)\left( {3 - \sqrt 3 i} \right) = 2\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + i} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {DA} \) biểu diễn số phức \(1 + (2 + \sqrt 3 )i\),\(\overrightarrow {DB} \) biểu diễn số phức \( - 1 + (2 + \sqrt 3 )i\) nên số đo góc (DA, DB) là một acgumen của \({{ - 1 + (2 + \sqrt 3 )i} \over {1 + (2 + \sqrt 3 )i}}\) cũng là một acgumen của \(\left[ { - 1 + \left( {2 + \sqrt 3 } \right)i} \right]\left[ {1 - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)i} \right] \) \(= 2\left( {\sqrt 3 + 2} \right)\left( {\sqrt 3 + i} \right)\) Rõ ràng số này số \(2\sqrt 3 (\sqrt 3 + i)\) có cùng acgumen ( sai khác \(k2\pi ,k \in Z\)) Câu 4.34 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Biểu diễn hình học các số \(5 + i\) và \(239 + i\) rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện \(0 < a < {\pi \over 2},0 < b < {\pi \over 2}\) và \({\mathop{\rm tana}\nolimits} = {1 \over 5},{\mathop{\rm tanb}\nolimits} = {1 \over {239}}\) thì \(4a - b = {\pi \over 4}\) Giải Điểm M để biểu diễn số \(5 + i\), điểm N biểu diễn số \(239 + i\) thì \(\tan \left( {Ox,OM} \right) = {1 \over 5} = \tan a\), tan(\({\rm{O}}x,ON\) ) \( = {1 \over {239}} = \tan b\). Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \(Oxy\), còn \(0 < a < {\pi \over 2}\), \(0 < b < {\pi \over 2}\) nên một acgumen của \(5 + i\) là \(a\), một acgumen của \(239 + i\) là \(b\) . Từ đó một acgumen của \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}}\) là \(4a - b\). Ta có \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = {{476 + 480i} \over {239 + i}}\), mà \(\left( {239 + i} \right)\left( {1 + i} \right) = 238 + 240i\) Nên \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = 2(1 + i)\) Số \(2(1 + i)\) có một acgumen bằng \({\pi \over 4}\) Vậy \(4a - b = {\pi \over 4} + k2\pi \) \((k \in Z)\). Dễ thấy \(0 < b < a < {\pi \over 4}\), suy ra \(4a - b = {\pi \over 4}\). Câu 4.35 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số \({z_1},{z_0}\) thì \({z_0}^2 + {z_1}^2 = {z_0}{z_1}\) Giải Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng \({\pi \over 3}\) hoặc \( - {\pi \over 3}\) tức là khi và chỉ khi \({z_0} \ne 0\) và nếu đặt \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(\left| \alpha \right| = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi \over 3}\) hoặc \( - {\pi \over 3}\). Mặt khác, khi \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Leftrightarrow z_0^2 + {\alpha ^2}z_0^2 = \alpha z_0^2 \Leftrightarrow 1 + {\alpha ^2} = \alpha \) \( \Leftrightarrow {\alpha ^2} - \alpha + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha = {{1 \pm \sqrt 3 i} \over 2} \Leftrightarrow \left\lfloor \alpha \right\rfloor = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi \over 3}\) hoặc \( - {\pi \over 3}\). Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}\) ( \(z \ne 0\)). Câu 4.36 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. a) Cho \(z = c{\rm{os}}\varphi {\rm{ + }}i\sin \varphi \left( {\varphi \in R} \right)\). Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 1\), ta có \({z^n} + {1 \over {{z^n}}} = 2\cos n\varphi ,{z^n} - {1 \over {{z^n}}} = 2i\sin n\varphi \) b) Từ câu a), chứng minh rằng \(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\varphi = {1 \over 8}\left( {{\rm{cos4}}\varphi + 4\cos 2\varphi + 3} \right)\) \({\sin ^5}\varphi = {1 \over {16}}\left( {\sin 5\varphi - 5\sin 3\varphi + 10\sin \varphi } \right)\) Giải a) \({z^n} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi ,{1 \over {{z^n}}} = \cos n\varphi - i\sin n\varphi \) nên \({z^n} + {1 \over {{z^n}}} = 2\cos n\varphi ,{z^n} - {1 \over {{z^n}}} = 2i\sin n\varphi \) (Đặc biệt \({z} + {1 \over z} = 2\cos \varphi ,z - {1 \over z} = 2i\sin \varphi \)). b) \(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\varphi = {\left[ {{1 \over 2}\left( {z + {1 \over z}} \right)} \right]^{ - 4}} \) \(= {1 \over {{2^4}}}\left[ {{z^4} + {1 \over {{z^4}}} + C_4^1\left( {{z^2} + {1 \over {{z^2}}}} \right) + C_4^2} \right]\) \( = {1 \over {{2^4}}}\left( {2\cos 4\varphi + 4.2cos2\varphi + 6} \right) \) \(= {1 \over 8}\left( {\cos 4\varphi + 4cos2\varphi + 3} \right)\) \({\sin ^5}\varphi = {\left[ {{1 \over {2i}}\left( {z - {1 \over z}} \right)} \right]^5}\) \( = {1 \over {{2^5}i}}\left[ {\left( {{z^5} - {1 \over {{z^5}}}} \right) - C_5^1\left( {{z^3} - {1 \over {{z^3}}}} \right) + C_5^2\left( {z - {1 \over z}} \right)} \right]\) \( = {1 \over {{2^5}}}\left( {2\sin 5\varphi - 2C_5^1\sin 3\varphi + 2C_5^2\sin \varphi } \right)\) \(={1 \over {16}}\left( {\sin 5\varphi - 5\sin 3\varphi + 10\sin \varphi } \right)\).
