Câu 1 trang 209 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số: \(f\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} - {e^x}\) a) Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi x < 0 b) Chứng minh bất đẳng thức \(1 + x < {e^x} + x + {{{x^2}} \over 2}\) với mọi x < 0 Giải Hướng dẫn: a) \(f'\left( x \right) = 1 + x - {e^x},f''\left( x \right) = 1 - {e^x}\) \(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi x < 0. b) Từ a) suy ra f nghịch biến trên nửa khoảng\(\left( { - \infty ;0} \right]\). Do đó \(f(x) > f(0)\) , với mọi x < 0, Hay \(1 + x + {{{x^2}} \over 2} - {e^x} > 0\) với mọi x < 0 c) Từ b) suy ra \(1 - 0,01 < {e^{ - 0,01}} < 1 - 0,01 + {{0,0001} \over 2}\) . Câu 3 trang 209 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {1 + {e^{ - x}}} \right)\) a) Chứng minh rằng \(f\left( x \right) = - x + f\left( { - x} \right)\) với mọi \(x \in R\) b) Từ đó suy ra rằng đường thẳng \(y = - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)(khi \(x \to + \infty \)). Giải a) Với mọi \(x \in R\) , \(f(x) = \ln \left[ {{e^{ - x}}\left( {1 + {e^x}} \right)} \right] \) \(= - x + \ln \left( {1 + {e^x}} \right) = - x + f( - x)\) b)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) + x} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f( - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \ln (1 + {e^x}) = 0\) Câu 6 trang 210 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. So sánh : \({\log _2}3\) và \(\root 3 \of 7 \) Giải Do \({3^3} < {2^5} \Leftrightarrow 3{\log _2}3 < 5 \Leftrightarrow {\log _2}3 < {5 \over 3}\) (1) \({5^3} < 189 \Leftrightarrow 5 < 3\root 3 \of 7 \Leftrightarrow {5 \over 3} < \root 3 \of 7 \) (2) Từ (1) và (2) suy ra \({\log _2}3 < \root 3 \of 7 \) Câu 7 trang 210 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho ba số \(\ln a,\ln b,\ln c\) (a, b, c dương và khác 1) lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng ba số \({\log _a}x,{\log _b}x,{\log _c}x\) (a, b, c dương và khác 1) theo thứ tự đó cũng lấp thành một cấp số nhân. Giải Từ giả thiết \(\ln a,\ln b,\) lập thành cấp số nhân, suy ra \({\ln ^2}b = \ln a.\ln c\) \({{\ln x} \over {\ln a}}.{{\ln x} \over {\ln c}} = {{{{\ln }^2}x} \over {{{\ln }^2}b}}\) Dùng công thức đổi cơ số, ta có: \({\log _a}x.{\log _c}x = \log _b^2x\) Từ đó suy ra \({\log _a}x,{\log _b}x,{\log _c}x\) lập thành một cấp số nhân. Câu 11 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Giải các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \matrix{5{\log _2}x - {\log _4}{y^2} = 8 \hfill \cr5{\log _2}{x^2} - {\log _4}y = 19 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {2^x}{.4^y} = 64 \hfill \cr \sqrt x + \sqrt y = 3 \hfill \cr} \right.\) Giải a) \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;4} \right)\) Đặt \({\log _2}x = u\) và \({\log _4}y = v\), ta có hệ: \(\left\{ \matrix{5u - 2v = 8 \hfill \cr10u - v = 19 \hfill \cr} \right.\) b) Lôgarit hóa hai vế của phương trình thứ nhất để đưa về dạng \(\left\{ \matrix{x + 2y = 6 \hfill \cr \sqrt x + \sqrt y = 3 \hfill \cr} \right.\) Rồi đặt \(\sqrt x = u,\sqrt y = v\left( {u \ge 0,v \ge 0} \right)\) dẫn đến hệ: \(\left\{ \matrix{{u^2} + 2{v^2} - 6 = 0 \hfill \cr u + v = 3 \hfill \cr} \right.\) Tìm được \(u = 2;v = 1\) Suy ra \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)\) Câu 15 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {2^x},y = 3 - x\) , trục hoành và trục tung. Giải Dễ thấy phương trình \({2^x} = - x + 3\) Có một nghiệm duy nhất là \(x = 1\) . do đó đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm B có hoành độ \(x = 1\).Vậy diện tích cần tính ( phần tô đậm trong hình 2) là: \(S = \int\limits_0^1 {{2^x}dx + {S_{ABC}} = {1 \over {\ln 2}} + 2} \) Câu 18 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện: \(\left\{ \matrix{\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1 \hfill \cr z + {\rm{w}} = li \hfill \cr} \right.\) Trong đó l là số thực cho trước. Giải Ta xét các trường hợp sau: 1) \(l = 0.\) Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho \(\left| z \right| = 1\), còn \({\rm{w}} = - z\) 2) \(l \ne 0.\) Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w. Do \(l \ne 0\) nên P khác O. Điều kiện \(z + {\rm{w}} = li\) tương đương với điều kiện \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} \). Nhưng vì \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau: Khi \(0 \ne \left| l \right| < 2\) thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số \( \pm {1 \over 2}\sqrt {4 - {l^2}} + {l \over 2}i\) Khi \(l = 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán. Khi \(l = - 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán. Khi \(\left| l \right| > 2\) thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho. Câu 21 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z. w sau: \(\left\{ \matrix{z + {\rm{w}} = 3\left( {1 + i} \right) \hfill \cr{z^3} + {{\rm{w}}^3} = 0\left( { - 1 + i} \right) \hfill \cr} \right.\) Giải \(z{\rm{w}} = {{\left[ {3{{\left( {1 + i} \right)}^3} - 9\left( { - 1 - i} \right)} \right]} \over {9\left( {1 + i} \right)}} = 5i.\) Suy ra z, w là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 3\left( {1 + i} \right)z + 5i = 0;\) phương trình này có biệt thức \(\Delta = - 2i = {\left( {1 - i} \right)^2}\) nên có các nghiệm là \(1 + 2i\) và \(2 + i.\) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(\left( {1 + 2i;2 + i} \right)\) và \(\left( {2 + i;1 + 2i} \right)\) Câu 22 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm số phức z sao cho \(\left| {{{z + 3i} \over {z + i}}} \right| = 1\) và \(z + 1\) có một acgumen bằng \( - {\pi \over 6}\) Giải Điều kiện \(\left| {{{z + 3i} \over {z + i}}} \right| = 1\) nói rằng phần ảo của z bằng -2. Điều kiện \(z + 1\) có một acgumen bằng \( - {\pi \over 6}\)nói rằng \(z + 1 = l\left( {\sqrt 3 - i} \right)\) với \(l > 0\). Vậy \(z + 1 = 2\left( {\sqrt 3 + i} \right),\) tức là \(z = 2\sqrt 3 - 1 - 2i.\) Câu 23 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho số phức \({\rm{w}} = \bar z{{1 - 3i} \over {1 + 2i}},\) trong đó \(z = \cos \varphi + i\sin \varphi ,\left( {\varphi \in R} \right)\) a) Hãy viết số phức w dưới dạng lượng giác. b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức w nói trên khi \(\varphi \)) thay đổi, \(0 \le \varphi \le \pi \) Giải a) Ta có \(\bar z = \cos \varphi - i\sin \varphi = \cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right),\) \({{1 - 3i} \over {1 + 2i}} = - \left( {1 + i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)\) Vậy \({\rm{w}} = \bar z{{1 - 3i} \over {1 + 2i}} = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{{5\pi } \over 4} - \varphi } \right) + i\sin \left( {{{5\pi } \over 4} - \varphi } \right)} \right]\) b) Do \(0 \le \varphi \le \pi \) nên \({\pi \over 4} \le {{5\pi } \over 4} - \varphi \le {{5\pi } \over 4}.\) Vậy tập hợp cần tìm là nửa đường tròn tâm O, bán kính bằng \(\sqrt 2 \), nằm phía trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ. (h.3)
