Bài 3.1 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho ba vecto \(\overrightarrow a = (2; - 1;2),\overrightarrow b = (3;0;1),\overrightarrow c = ( - 4;1; - 1)\) . Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow m \) và \(\overrightarrow n \) biết rằng: a) \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c \) b)\(\overrightarrow n = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + 4\overrightarrow c \) Hướng dẫn làm bài \(\overrightarrow m = ( - 4; - 2;3),\overrightarrow n = ( - 9;2;1)\) Bài 3.2 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho vecto \(\overrightarrow a = (1; - 3;4)\). a) Tìm y0 và z0 để cho vecto \(\overrightarrow b = (2;{y_0};{z_0})\) cùng phương với \(\overrightarrow a \) b) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow c \) biết rằng \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) ngược hướng và \(|\overrightarrow {c|} = 2|\overrightarrow a |\) Hướng dẫn làm bài: a) Ta biết rằng \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \) với k là một số thực. Theo giả thiết ta có: \(\overrightarrow b = ({x_0};{y_0};{z_0})\) với x0 = 2. Ta suy ra \(k = {1 \over 2}\) nghĩa là \(l = {1 \over 2}{x_0}\) Do đó: \( - 3 = {1 \over 2}{y_0}\) nên y0 = -6 \(4 = {1 \over 2}{z_0}\) nên z0 = 8 Vậy ta có \(\overrightarrow b = (2; - 6;8)\) b) Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow c = - 2\overrightarrow a \) Do đó tọa độ của \(\overrightarrow c \) là: \(\overrightarrow c \) = (-2; 6; -8). Bài 3.3 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0 ; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). Hướng dẫn làm bài: Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx). Ta có: M’(x0; y0; 0) M’’ (0; y0; z0) M’’’(x0; 0; z0) Bài 3.4 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hai bộ ba điểm: a) A = (1; 3; 1) , B = (0; 1; 2) , C = (0; 0; 1) b) M = (1; 1; 1) , N = (-4; 3; 1) , P = (-9; 5; 1) Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng? Hướng dẫn làm bài: a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;1)\) \(\overrightarrow {AC} = ( - 1; - 3;0)\) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương, nghĩa là \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) với k là một số thực. Giả sử ta có \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) , khi đó \(\left\{ {\matrix{{k.( - 1) = - 1} \cr {k.( - 3) = - 2}\cr {k.(0) = 1} \cr} } \right.\) Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = ( - 5;2;0)\) và \(\overrightarrow {MP} = ( - 10;4;0)\). Hai vecto \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \) thỏa mãn điều kiện: \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {MP} \) với \(k = {1 \over 2}\) nên ba điểm M, N, P thẳng hàng. Bài 3.5 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1). Hướng dẫn làm bài: Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có: MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2 MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2 MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2 Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2 Từ đó ta tính được \(M({5 \over 6};0; - {7 \over 6})\) Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overline {BC} \) b)\(\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\overrightarrow {AD} + {1 \over 2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \) Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} \) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) Do đó: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \) vì \(\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD} \) b) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \) Do đó: \(2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {DB} \) Vậy \(\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\overrightarrow {AD} + {1 \over 2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \) Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \) b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \) Hướng dẫn làm bài: a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \). Do đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\) hay \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \) (1) Mặt khác \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \) \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \) Nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) (2) Vì \(\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BD} \) Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \) là đẳng thức cần chứng minh. b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} - \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} - {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\) Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \) (3) Mặt khác: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \) \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \) Nên \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \) (4) Vì \(\overrightarrow {CB} - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \) Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \) là đẳng thức cần chứng minh. Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) . Gọi \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v = 3\overrightarrow b - \overrightarrow c ,\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a \) . Chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng. Hướng dẫn làm bài: Muốn chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \(\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \). Giả sử có \(\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \) \(2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a = p(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b - \overrightarrow c )\) \(\Leftrightarrow (3 + p)\overrightarrow a + (3q - 2p)\overrightarrow b - (q + 2)\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \) (1) Vì ba vecto lấy tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ {\matrix{{3 + p = 0} \cr {3q - 2p = 0} \cr {q + 2 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow \left\{ {\matrix{{p = - 3} \cr {q = - 2} \cr} } \right.\) Như vậy ta có: \(\overrightarrow {\rm{w}} = - 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \) nên ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng. Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý khác vecto \(\overrightarrow 0 \). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\overrightarrow a \) . Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\) Hướng dẫn làm bài: Gọi \(\overrightarrow {{a_0}} \) là vecto đơn vị cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) , ta có \(\overrightarrow {{a_0}} = {1 \over {|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \). Gọi \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó ta có: \({{|\overrightarrow {O{A_1}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,{{|\overrightarrow {O{A_2}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,{{|\overrightarrow {O{A_3}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma \) Vì \(|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1\) nên \(|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma \) Ta có \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + \overrightarrow {O{A_3}} \) , ta suy ra: \(\overrightarrow {O{A_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k \) hay \(\overrightarrow {O{A_0}} = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma )\) . Vì \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) mà \(|\overrightarrow {{a_0}} | = 1\) nên ta có: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\) Bài 3.10 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD. a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\) b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.” Hướng dẫn làm bài: a) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) (1) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) (2) \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) (3) Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\) b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có \(AB \bot CD,AC \bot DB\) , nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0\) thì \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\) và do đó \(AD \bot BC\) .” Bài 3.11 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Tính tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) trong không gian với các tọa độ đã cho là: a) \(\overrightarrow a = (3;0; - 6),\overrightarrow b = (2; - 4;c)\) b) \(\overrightarrow a = (1; - 5;2),\overrightarrow b = (4;3; - 5)\) c) \(\overrightarrow a = (0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ),\overrightarrow b = (1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 )\) Hướng dẫn làm bài a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6(1 - c)\) ; b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 21\) c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\) Bài 3.12 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: a) A(4; -1; 1) , B(2; 1; 0) b) A(2; 3; 4) , B(6; 0; 4) Hướng dẫn làm bài a) \(|\overrightarrow {AB} | = 3\) b) \(|\overrightarrow {AB} | = 5\) Bài 3.13 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn. Hướng dẫn làm bài Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - a;b;0)\) và \(\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)\) Vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0\) nên góc \(\widehat {BAC}\) là góc nhọn. Lập luận tương tự ta chứng minh được các góc \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cũng là góc nhọn. Bài 3.14 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2. b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ; c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1) Hướng dẫn làm bài: a) (x – 5)2 + (y +3)2 + (z – 7)2 = 4 ; b) (x – 4)2 + (y +4)2 + (z – 2)2 = 36; c) (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 18 Bài 3.15 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây: a) x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 16z – 26 = 0 ; b) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 8x – 4y – 12z – 100 = 0 Hướng dẫn làm bài a) Tâm I(3; -1; 8), bán kính r = 10; b) Tâm I(-2; 1; 3), bán kính r = 8. Bài 3.16 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Hướng dẫn làm bài: Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0. Vì \(A \in (S)\) nên ta có: 1 – 2a + d =0 (1) \(B \in (S)\) nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2) \(C \in (S)\) nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3) \(D \in (S)\) nên ta có: d = 0 (4) Giải hệ 4 phương trình trên ta có: \(d = 0,a = {1 \over 2},b = - 1,c = 2\). Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: x2 + y2 + z2 –x + 2y – 4z = 0 Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng: \({(x - {1 \over 2})^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} - {1 \over 4} - 1 - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {(x - {1 \over 2})^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = {{21} \over 4}\) Vậy mặt cầu (S) có tâm \(I({1 \over 2}; - 1;2)\) và có bán kính \(r = {{\sqrt {21} } \over 2}\)
