Bài 3.17 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau: a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\overrightarrow n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến; b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\overrightarrow u = (0;1;1),\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\); c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1). Hướng dẫn làm bài: a) Phương trình \((\alpha )\) có dạng: (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0 hay x + y + z – 3 = 0 b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow u = (0;1;1)\) và \(\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\). Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow u \wedge \overrightarrow v = (2; - 1;1)\) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = (2; - 1;1)\) là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2(x – 1) – y +z = 0 hay 2x – y + z – 2 = 0 c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow {MN} = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow {MP} = (4;1;0)\) Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {MN} \wedge \overrightarrow {MP} = ( - 1;4; - 5)\) Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 hay x – 4y + 5z – 2 = 0 Bài 3.18 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2). Hướng dẫn làm bài Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3) Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IB} = (1;4; - 1)\) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: 1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0. Bài 3.19 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6) a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC). Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1)\) và \(\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1)\) suy ra \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = (4;4;4)\) Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (4;4;4)\) hoặc \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\) Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0 hay x + y + z – 9 =0 b) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên \((\alpha )\) cũng có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\) Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0 hay x + y + z – 10 = 0. Bài 3.20 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0. Hướng dẫn làm bài Mặt phẳng \((\alpha )\) song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0 Vậy phương trình của \((\alpha )\) có dạng : x + y + 2z + D = 0 \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0. Vậy phương trình của \((\alpha )\) là x + y + 2z = 0. Bài 3.21 trang 113 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 . Hướng dẫn làm bài: Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\): x + 2y – z = 0. Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {AB} = (2;2;1)\) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (1;2; - 1)\) Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 4;3;2)\) Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: -4(x) + 3(y – 1) + 2z = 0 hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0 Bài 3.22 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau: \((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0 \((\beta )\): 2x + By + 6z + 7 = 0 Hướng dẫn làm bài: \((\alpha )//(\beta ) \Leftrightarrow {A \over 2} = {{ - 1} \over B} = {3 \over 6} \ne {2 \over 7} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{A = 1} \cr {B = - 2} \cr} } \right.\) Bài 3.23 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0 b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0 c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0 Hướng dẫn làm bài a) \(d(M,(\alpha )) = {{|1 + 4 + 1|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {6 \over 3} = 2\) b) \(d(M,(\beta )) = {{|3 + 25|} \over {\sqrt {9 + 16} }} = {{28} \over 5}\) c) \(d(M,(\gamma )) = {{|5|} \over {\sqrt 1 }} = 5\) Bài 3.24 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng \((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0 \((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0 Hướng dẫn làm bài: Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) \( \Leftrightarrow d(M,(\alpha )) = d(M,(\beta )) \Leftrightarrow {{|3x - y + 4z + 2|} \over {\sqrt {9 + 1 + 16} }} = {{|3x - y + 4z + 8|} \over {\sqrt {9 + 1 + 16} }}\) \(\Leftrightarrow 3x – y + 4z + 5 = 0\) Bài 3.25 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để: a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song: b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó. Hướng dẫn làm bài Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là: A(0; 0; 0) , B(1;0; 0) , D(0; 1; 0) B’(1; 0 ; 1) , D’(0; 1; 1) , C’ (1; 1; 1) a) Phương trình của hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) là : x + y – z = 0 và x + y – z – 1 = 0 Ta có: \({1 \over 1} = {1 \over 1} = {{ - 1} \over { - 1}} \ne {0 \over { - 1}}\) . Vậy (AB’D’) // (BC’D) b) \(d((AB'D'),(BC'D)) = d(A,(BC'D)) = {1 \over {\sqrt 3 }}\) Bài 3.26 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng: \((\beta )\): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 \((\gamma )\): 5x – 4y + 3z + 1 = 0 Hướng dẫn làm bài: Mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với hai mặt phẳng \((\beta )\) và \((\gamma )\), do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3; - 2;2)\) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (5; - 4;3)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_\beta }} \wedge \overrightarrow {{n_\gamma }} = (2;1; - 2)\) Mặt khác \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) . Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0. Bài 3.27 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ. Hướng dẫn làm bài: Hình chiếu của điểm A(2; 3; 4) lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0 ; 4). Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm B, C, D nên \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \({x \over 2} + {y \over 3} + {z \over 4} = 1\) hay 6x + 4y + 3z – 12 = 0 Bài 3.28 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây: a) \(({\alpha _1}):3x - 2y - 3z + 5 = 0,\) \((\alpha {'_1}):9x - 6y - 9z - 5 = 0\) b) \(({\alpha _2}):x - 2y + z + 3 = 0,\) \((\alpha {'_2}):x - 2y - z + 3 = 0\) c) \(({\alpha _3}):x - y + 2z - 4 = 0,\) \((\alpha {'_3}):10x - 10y + 20z - 40 = 0\) Hướng dẫn làm bài a) \(({\alpha _1})//({\alpha _1}')\) b) \(({\alpha _2})\) cắt \(({\alpha _2}')\) c) \(({\alpha _3}) \equiv ({\alpha _3}')\) Bài 3.29 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 3z + 4 = 0 Hướng dẫn làm bài: Mặt phẳng \((\beta )\) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 3z + 4 = 0 , do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\beta )\) là: \(\overrightarrow j = (0;1;0)\) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 1;3)\) Suy ra \((\beta )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow j \wedge \overrightarrow {{n_\alpha }} = (3;0; - 2)\) Mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3;0; - 2)\) Vậy phương trình của \((\beta )\) là: 3(x – 2) – 2(z – 2) = 0 hay 3x – 2z – 2 = 0 Bài 3.30 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Hướng dẫn làm bài: Gọi giao điểm của \((\alpha )\) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c) (a, b, c > 0). Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) (1) Do \((\alpha )\) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \({1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1\) Thể tích của tứ diện OABC là \(V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow 1 \ge {{27.6} \over {abc}}\) \(\Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27\) Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow V = 27 \Leftrightarrow {1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.\) Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là: \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\) hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0
