Bài 3.31 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau: a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;1)\) ; b) \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + z + 9 = 0 c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4) Hướng dẫn làm bài: a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (3;3;1)\) là: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 3t} \cr {y = 2 + 3t} \cr {z = 3 + t} \cr} } \right.\) Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x - 1} \over 3} = {{y - 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}\) b) \(\Delta \bot (\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{a_\alpha }} = (2; - 1;1)\) Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = - t} \cr {z = - 1 + t} \cr} } \right.\) Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x - 1} \over 2} = {y \over { - 1}} = {{z + 1} \over 1}\) c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {CD} = (1;2;3)\) Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 + 2t} \cr {z = 1 + 3t} \cr} } \right.\) Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là \({{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\) Bài 3.32 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\): x +2z = 0 và cắt hai đường kính d1: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 - t} \cr {y = t} \cr {z = 4t} \cr} } \right.\) và d2: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 - t'} \cr {y = 4 + 2t'} \cr {z = 4} \cr} } \right.\) Hướng dẫn làm bài Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với \((\alpha )\) . Đường thẳng \(\Delta \) cần tìm chính là đường thẳng AB. Ta có: \(A(1 - t;t;4t) \in {d_1}\) \(A \in (\alpha ) \Leftrightarrow t + 4.(2t) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) Suy ra: A(1; 0; 0) Ta có : \(B(2 - t';4 + 2t';4) \in {d_2}\) \(B \in (\alpha ) \Leftrightarrow 4 + 2t' + 8 = 0 \Leftrightarrow t' = - 6\) Suy ra B(8; -8; 4) \(\Delta \) đi qua A, B nên có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = (7; - 8;4)\) Phương trình chính tắc của \(\Delta \) là: \({{x - 1} \over 7} = {y \over { - 8}} = {z \over 4}\) Bài 3.33 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: a) \(d:{{x + 1} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 3} \over 3}\) và \(d':{{x - 1} \over 3} = {{y - 5} \over 2} = {{z - 4} \over 2}\) b)\(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 2 - t} \cr} } \right.\) và \(d':\left\{ {\matrix{{x = 9 + 2t'} \cr {y = 8 + 2t'} \cr {z = 10 - 2t'} \cr} } \right.\) c) \(d:\left\{ {\matrix{{x = - t} \cr {y = 3t} \cr {z = - 1 - 2t} \cr} } \right.\) và \(d':\left\{ {\matrix{{x = 0} \cr {y = 9} \cr {z = 5t'} \cr} } \right.\) Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = (3;2;2)\) Suy ra \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_d}} \wedge \overrightarrow {{a_{d'}}} = ( - 2;7; - 4)\) Ta có \({M_0}( - 1;1; - 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d' \Rightarrow }}\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = (2;4;6)\) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = - 4 + 28 - 24 = 0\) . Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau. b) Ta có \(\overrightarrow {{a_d}} = (1;1; - 1)\) và \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = (2;2; - 2).{M_0}(0;1;2) \in d\) Vì \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {{a_{d'}}} = 2\overrightarrow {{a_d}} } \cr {{M_0} \notin d'} \cr} } \right.\) (tọa độ M0 không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song. c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = ( - 1;3; - 2)\) d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = (0;0;5)\) Gọi \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_d}} \wedge \overrightarrow {{a_{d'}}} = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0 \) Ta có \({M_0}(0;0; - 1) \in d\) \(M{'_0}(0;9;0) \in d' \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = (0;9;1),\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = 45 \ne 0\) Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau. Bài 3.34 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ {\matrix{{x = 5 + t} \cr {y = at} \cr {z = 2 - t} \cr} } \right.\) và \(d':\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t'} \cr {y = a + 4t'} \cr {z = 2 - 2t'} \cr} } \right.\) Hướng dẫn làm bài: Ta có \(\overrightarrow {{a_d}} = (1;a; - 1)\) và \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = (2;4; - 2)\) \(d//d' \Rightarrow {1 \over 2} = {a \over 4} = {{ - 1} \over { - 2}} \Rightarrow a = 2\) Khi đó \(M{'_0}(1;2;2)\) thuộc d’ và M’0không thuộc d. Vậy d // d’ ⟺ a = 2. Bài 3.35 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau a) \(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 - t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0 b) d: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 - t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0 c)\(d:\left\{ {\matrix{{x = 3 - t} \cr {y = 2 - t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0 Hướng dẫn làm bài: a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0 ⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0 Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại M0(0; 1; 1). b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9 Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với \((\alpha )\) c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t = 0 Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \((\alpha )\) . Bài 3.36 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :{{x - 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\) Hướng dẫn làm bài: Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;2;1)\) . Ta có \(\overrightarrow {{M_0}A} = (0;0;1),\overrightarrow n = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow {{M_0}A} = (2; - 2;0)\) . \(d(A,\Delta ) = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\) Vậy khoảng cách từ điểm A đến \(\Delta \) là \({{2\sqrt 2 } \over 3}\). Bài 3.37 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho đường thẳng \(\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0 a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha )\). b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\) Hướng dẫn làm bài: a) Ta có: \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = (2;3;2)\) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 2;1)\) \(\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 - 6 + 2 = 0\) (1) Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc \(\Delta \) , ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\) . Vậy \({M_0} \notin (\alpha )\) (2). Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha )\) b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( - 3) - 2.( - 1) + ( - 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\) Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((\alpha )\) là \({2 \over 3}\). Bài 3.38 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong các trường hợp sau: a)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = 2 - 3t'} \cr {y = 2 + 3t'} \cr {z = 3t'} \cr} } \right.\) b)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\) Hướng dẫn làm bài: a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow a = (1; - 1;0)\) và \(\overrightarrow a ' = ( - 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 1; - 1;0)\) \((\alpha )\) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = (1;1;0)\) Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng x – 1 + y + 1= hay x + y = 0 Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\) \(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \) b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có phương trình là: \(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\) Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0 Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta '\) . Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha )) = {{|5.(2) - 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\) Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\). Bài 3.39 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hai đường thẳng \(\Delta :{{x - 1} \over 2} = {{y + 3} \over 1} = {{z - 4} \over { - 2}}\) \(\Delta ':{{x + 2} \over { - 4}} = {{y - 1} \over { - 2}} = {{z + 1} \over 4}\) a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\) ; b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\) . Hướng dẫn làm bài: a) \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2;1; - 2)\) \(\Delta '\) đi qua điểm M0’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = ( - 4; - 2;4)\) Ta có \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a } \cr {{M_0} \notin \Delta '} \cr} } \right.\) Vậy \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = ( - 3;4; - 5)\) \(\overrightarrow a = (2;1; - 2)\) \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{M_0}M{'_0}} \wedge \overrightarrow a = ( - 3; - 16; - 11)\) \(d(\Delta ,\Delta ') = M{'_0}H = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {9 + 256 + 121} } \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\sqrt {386} } \over 3}\) Bài 3.40 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :{{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 2}\) a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \); b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \) . Hướng dẫn làm bài: a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 2t} \cr} } \right.\) Xét điểm \(H(1 + 2t; - 1 - t;2t) \in \Delta \) Ta có \(\overrightarrow {MH} = (2t - 1; - t;2t - 1)\) \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = (2; - 1;2)\) H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_\Delta }} = 0\) \(\Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = {4 \over 9}\) Ta suy ra tọa độ điểm \(H({{17} \over 9};{{ - 13} \over 9};{8 \over 9})\) b) H là trung điểm của MM’, suy ra xM’ + xM = 2xH Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = {{34} \over 9} - 2 = {{16} \over 9}\) Tương tự, ta được \({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = {{ - 26} \over 9} + 1 = {{ - 17} \over 9};\) \({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = {{16} \over 9} - 1 = {7 \over 9}\) Vậy \(M'({{16} \over 9};{{ - 17} \over 9};{7 \over 9})\) Bài 3.41 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 2z + 12 = 0 a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \((\alpha )\) ; b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng \((\alpha )\) . Hướng dẫn làm bài: a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 2z + 12 = 0 là: \(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 2 + 2t} \cr} } \right.\) Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t ; 2 + 2t) \( \in \Delta \) Ta có \(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 \Leftrightarrow t = {{ - 19} \over 9}\) Vậy ta được \(H({{ - 29} \over 9};{{10} \over 9};{{ - 20} \over 9})\) b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = {{ - 58} \over 9} - 1 = {{ - 67} \over 9}\) \({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = {{20} \over 9} + 1 = {{29} \over 9}\) \({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = {{ - 40} \over 9} - 2 = {{ - 58} \over 9}\) Vậy ta được \(M'({{ - 67} \over 9};{{29} \over 9};{{ - 58} \over 9})\). Bài 3.42 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hai đường thẳng : \(d:{{x - 1} \over { - 1}} = {{y - 2} \over 2} = {z \over 3}\) và \(d':\left\{ {\matrix{{x = 1 + t'} \cr {y = 3 - 2t'} \cr {z = 1} \cr} } \right.\) Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’. Hướng dẫn làm bài: Phương trình tham số của đường thẳng d:\(\left\{ {\matrix{{x = 1 - t} \cr {y = 2 + 2t} \cr {z = 3t} \cr} } \right.\) Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là \(\overrightarrow a = ( - 1;2;3),\overrightarrow {a'} = (1; - 2;0)\). Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có \(\overrightarrow {MM'} = (t' + t;1 - 2t' - 2t;1 - 3t)\) . MM’ là đường vuông góc chung của d và d’. \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {a'} = 0} \cr} } \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - t' - t + 2 - 4t' - 4t + 3 - 9t = 0} \cr {t' + t - 2 + 4t' + 4t = 0} \cr} } \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5t' + 14t = 5} \cr {5t' + 5t = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {1 \over 3}} \cr {t' = {1 \over {15}}} \cr} } \right.\) Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M({2 \over 3};{8 \over 3};1),M'({{16} \over {15}};{{43} \over {15}};1)\) Do đó \(\overrightarrow {MM'} = ({6 \over {15}};{3 \over {15}};0)\) Suy ra đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2;1;0)\) Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\matrix{{x = {2 \over 3} + 2t} \cr {y = {8 \over 3} + t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\) Bài 3.43 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’. Hướng dẫn làm bài: Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ,\(\overrightarrow {CD} = a\overrightarrow i ;\overrightarrow {CB} = a\overrightarrow j ;\overrightarrow {CC'} = a\overrightarrow k \) Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a,; 0;0), D’(a; 0; a) \(\overrightarrow {CA'} = (a;a;a),\overrightarrow {{\rm{DD}}'} = (0;0;a)\) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\overrightarrow {CA'} \) và song song với \(\overrightarrow {DD'} \) . Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \overrightarrow {CA'} \wedge \overrightarrow {{\rm{DD}}'} = ({a^2}; - {a^2};0)\) hay x – y = 0 Phương trình tổng quát của \((\alpha )\) là x – y = 0. Ta có: \(d(CA',{\rm{DD}}') = d(D,(\alpha )) = {{| - a|} \over {\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {a \over {\sqrt 2 }}\) Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) Bài 3.44 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y +z – 1 = 0 và đường thẳng d: \({{x - 1} \over 2} = {y \over 1} = {{z + 2} \over { - 3}}\) Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\) , hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\) Hướng dẫn làm bài Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = t} \cr {z = - 2 - 3t} \cr} } \right.\) Xét phương trình: \(2(1 + 2t) + (t) + ( - 2 – 3t) – 1 = 0 \Leftrightarrow 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\) Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại điểm \(M(2;{1 \over 2}; - {7 \over 2})\). Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;1;1)\) và \(\overrightarrow {{a_d}} = (2;1; - 3)\). Gọi \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), ta có \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \bot \overrightarrow {{a_d}} \). Suy ra \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \wedge \overrightarrow {{n_d}} = ( - 4;8;0)\) hay \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = (1; - 2;0)\) Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 2 + t} \cr {y = {1 \over 2} - 2t} \cr {z = - {7 \over 2}} \cr} } \right.\) Bài 3.45 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12. Cho hai đường thẳng d1: \({{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\) và d2: \(\left\{ {\matrix{{x = 7 + 3t} \cr {y = 2 + 2t} \cr {z = 1 - 2t} \cr} } \right.\) a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng nằm trong một mặt phẳng \((\alpha )\). b) Viết phương trình của \((\alpha )\). Hướng dẫn làm bài: a) Ta có \(\overrightarrow {{a_{{d_1}}}} = (2; - 3;4)\) và \(\overrightarrow {{a_{{d_2}}}} = (3;2; - 2)\) \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_{{d_1}}}} \wedge \overrightarrow {{a_{{d_2}}}} = ( - 2;16;13)\) Lấy điểm M1(1; -2; 5) trên d1 và điểm M2(7;2;1) trên d2. Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (6;4; - 4)\) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 12 + 64 - 52 = 0\) Suy ra d1 và d2 cùng nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\) b) Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa M1 và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\) là: \(– 2(x – 1) +16(y + 2) + 13(z – 5) = 0\) hay \(2x – 16y – 13z + 31 = 0\)
