Sách bài tập Toán 12 - Hình học 12 cơ bản - Chương III - ÔN TẬP CHƯƠNG III - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 3.46 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: \({{x - 3} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 3}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    Chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = (2; - 1;3)\).
    Phương trình của (P) là: \(2(x – 1) – (y +3) + 3(z – 2) = 0\) hay \(2x – y + 3z – 11 = 0.\)

    Bài 3.47 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.
    Hướng dẫn làm bài
    Chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = (1;0; - 1)\)
    Phương trình của (P) là: \((x – 1) – (z – 2) = 0\) hay \(x – z + 1 = 0.\)

    Bài 3.48 trang 131 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-1; -3; 2), B(-2; 1; 1) và C(0; 1; -1).
    Hướng dẫn làm bài:
    Ta có: \(\overrightarrow {AB} ( - 1;4; - 1);\overrightarrow {AC} (1;4; - 3)\)
    \(\eqalign{& \Rightarrow \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = \left( {\left| \matrix{4\,\,\,\, - \,1 \hfill \cr 4\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{- 1\,\,\,\, - 1 \hfill \cr - 3\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{- 1\,\,\,\,4 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = \left( { - 8; - 4; - 8} \right) \cr} \)
    Suy ra có thể chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = (2;1;2)\)
    Phương trình của (P) là: \(2x + (y – 1) + 2(z +1) = 0\) hay \(2x + y + 2z + 1 = 0.\)

    Bài 3.49 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:
    \(d:\left\{ {\matrix{{x = - 2 - t} \cr {y = 1 + 4t} \cr {z = 1 - t} \cr} } \right.\) và \(d':\left\{ {\matrix{{x = - 1 + t'} \cr {y = - 3 + 4t'} \cr {z = 2 - 3t'} \cr} } \right.\)
    Hướng dẫn làm bài:
    Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a ( - 1;4; - 1)\)
    Đường thẳng d’ đi qua N(-1; -3; 2) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow b (1;4; - 3)\)
    Suy ra: \(\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = ( - 8; - 4; - 8) \ne \overrightarrow 0 \)
    Ta có: \(\overrightarrow {MN} (1; - 4;1)\) nên \(\overrightarrow {MN} .(\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b ) = 0\) do đó hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
    Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) và có \(\overrightarrow {{n_P}} = (2;1;2)\)
    Phương trình của (P) là : \(2(x +2) + (y – 1) +2(z – 1) = 0\) hay \(2x + y + 2z + 1 = 0.\)

    Bài 3.50 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng d: \({{x + 2} \over { - 1}} = {{y - 1} \over 4} = {{z - 1} \over { - 1}}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a ( - 1;4; - 1)\)
    Ta có: \(\overrightarrow {MI} (1; - 2;0)\) , chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {MI} \wedge \overrightarrow a = (2;1;2)\)
    Phương trình của (P) là: \(2(x + 2) +(y – 1) + 2(z – 1) = 0\) hay \(2x + y + 2z +1 = 0\)

    Bài 3.51 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = - 2 - t} \cr {y = 1 + 4t} \cr {z = 1 - t} \cr} } \right.\) và song song với d1: \({{x - 1} \over 1} = {{y - 1} \over 4} = {{z - 1} \over { - 3}}\)
    Hướng dẫn làm bài:
    Đường thẳng d đi qua M(-2; 1;1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a ( - 1;4; - 1)\)
    Đường thẳng d1 đi qua N(1; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow b (1;4; - 3)\)
    Ta có: \(\overrightarrow {MN} (3;0;0);\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = ( - 8; - 4; - 8)\) nên \(\overrightarrow {MN} (\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b ) \ne 0\) , suy ra d và d1chéo nhau. Do đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) có vecto pháp tuyến bằng \(\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b \)
    Phương trình của (P) là: \(–8(x + 2) – 4(y – 1) – 8(z – 1) = 0\) hay \(2x +y + 2z + 1 = 0\)

    Bài 3.52 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
    (P1): 2x + y + 2z +1 = 0 và (P2): 2x + y + 2z +5 = 0.
    Hướng dẫn làm bài:
    Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)
    \(\Leftrightarrow | 2x + y + 2z + 1| = |2x + y + 2z + 5|\)
    \(\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 1 = –(2x + y + 2z + 5)\)
    \(\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 3 = 0\)
    Từ đó suy ra phương trình của (P) là: \(2x + y + 2z + 3 = 0.\)

    Bài 3.53 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Cho hai mặt phẳng:
    (P1): 2x + y + 2z +1 = 0 và (P2): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.
    Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P1) và (P2) là bằng nhau.
    Hướng dẫn làm bài:
    Ta có: \(M(x,y,z) \in (P) \Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)
    \(\Leftrightarrow {{|2x + y + 2z + 1|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{|4x - 2y - 4z + 7|} \over {\sqrt {16 + 4 + 16} }}\)
    \(\Leftrightarrow 2|2x + y + 2z + 1| = |4x - 2y - 4z + 7|\)
    \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{4x + 2y + 4z + 2 = 4x - 2y - 4z + 7} \cr {4x + 2y + 4z + 2 = - (4x - 2y - 4z + 7)} \cr} } \right.\)
    \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{4y + 8z - 5 = 0} \cr {8x + 9 = 0} \cr} } \right.\)
    Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng phải tìm là: \(4y + 8z – 5 = 0\) hoặc \(8x + 9 = 0\)

    Bài 3.54 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 6} \cr {y = - 2t} \cr {z = 7 + t} \cr} } \right.\) và d1: \(\left\{ {\matrix{{x = - 2 + t'} \cr {y = - 2} \cr {z = - 11 - t'} \cr} } \right.\)
    Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.
    Hướng dẫn làm bài:
    01.jpg
    Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; - 2;1)\). Đường thẳng d1đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; - 1)\).
    Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
    Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
    Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó: \(\overrightarrow {AB} = ( - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t')\)
    Ta có: \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a } \cr {\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {AB}.\overrightarrow b = 0} \cr} } \right. \)
    \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t') = 0} \cr { - 8 + t' - ( - 18 - t - t') = 0} \cr} } \right.\)
    \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 5t - t' - 14 = 0} \cr {t + 2t' + 10 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = - 2} \cr {t' = - 4} \cr} } \right.\)
    Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)
    Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)
    Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 12; - 6; - 12)\) . Chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = (2;1;2)\)
    Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y +2z + 1 = 0.
    Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
    Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1là:
    \(\eqalign{& \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } & {\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } & {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } \cr} } \right|} \right) \cr & = \left( {2;1;2} \right) \cr} \)
    Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
    Khi đó:
    \(\eqalign{& \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \left( {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b } \right) \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } & {\matrix{1 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr 2 \cr} } & {\matrix{0 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 2 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } \cr} } \right|} \right) = ( - 5;2;4) \cr} \)
    Phương trình của (Q) là : \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)
    Để tìm \({d_1} \cap (Q)\) ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:
    \(–5(–2 + t’) + 2(–2) +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\)
    \(\Rightarrow t’ = 4\)
    \(\Rightarrow {d_1} \cap (Q) = B( - 6; - 2; - 7)\)
    Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}} = ( - 1;4; - 1)\)
    Phương trình của (R) là \( –x + 4y – z – 5 = 0.\)
    Suy ra \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)

    Bài 3.55 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y +3z + 1 = 0 và (R): x – 2y – z + 8 = 0
    Hướng dẫn làm bài:
    Chọn:
    \(\eqalign{& \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \wedge \overrightarrow {{n_R}} \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 1} \cr { - 2} \cr} } & {\matrix{3 \cr { - 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{3 \cr { - 1} \cr} } & {\matrix{2 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{2 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ - 1} \cr { - 2} \cr} } \cr} } \right|} \right) = \left( {7;5; - 3} \right) \cr} \)
    Phương trình của (P) là:
    \(7(x – 1) + 5(y +3) – 3(z – 2) = 0\)
    Hay \(7x + 5y – 3z +14 = 0\)

    Bài 3.56 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M0(x0 ;y0; z0) và M1(x1, y1, z1)
    Hướng dẫn làm bài
    Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \)
    Do đó phương trình tham số của d là:
    \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + ({x_1} - {x_0})t} \cr {y = {y_0} + ({y_1} - {y_0})t} \cr {z = {z_0} + ({z_1} - {z_0})t} \cr} } \right.\)

    Bài 3.57 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
    Hướng dẫn làm bài:
    Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} (A;B;C)\)
    Do đó phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + At} \cr {y = {y_0} + Bt} \cr {z = {z_0} + Ct} \cr} } \right.\)

    Bài 3.58 trang 132 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
    (P) Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
    Hướng dẫn làm bài:
    Do (P) và (Q) cắt nhau nên \(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} \ne \overrightarrow 0 \) . Đường thẳng d đi qua M0và có vecto chỉ phương
    \(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = (\left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B'} \cr} } & {\matrix{C \cr {C'} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C'} \cr} } & {\matrix{A \cr {A'} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A'} \cr} } & {\matrix{B \cr {B'} \cr}} \cr} } \right|)\)
    Do đó phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + \left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B'} \cr} } & {\matrix{C \cr {C'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {y = {y_0} + \left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C'} \cr} } & {\matrix{A \cr {A'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {z = {z_0} + \left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A'} \cr} } & {\matrix{B \cr {B'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr} } \right.\)
    Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với M0 là điểm chung của (P) và (Q).

    Bài 3.59 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\)
    Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
    Hướng dẫn làm bài:
    Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (1;1;0)\). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).
    Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow {{n_P}} = ( - 2;2;1)\)
    Phương trình của (Q) là : -2x + 2y + z – 9 = 0
    Khi đó: \(d' = (P) \cap (Q)\)
    Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = (6;3;6)\)
    Chọn vecto chỉ phương của d’ là: \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = (2;1;2)\)
    Lấy một điểm thuộc \((P) \cap (Q)\), chẳng hạn A(-3; 1; 1)
    Khi đó, phương trình của d’ là: \(\left\{ {\matrix{{x = - 3 + 2t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)

    Bài 3.60 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = - 3 + 2t} \cr {y = 1 - t} \cr {z = - 1 + 4t} \cr} } \right.\)
    Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
    Hướng dẫn làm bài:
    Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = (2; - 1;4)\)
    Xét điểm B(–3 + 2t; 1 – t ; –1 + 4t) thì \(\overrightarrow {AB} = (1 + 2t;3 - t; - 5 + 4t)\)
    \(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}} = 0\)
    \(\Leftrightarrow 2(1 + 2t) - (3 - t) + 4( - 5 + 4t) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
    Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (3;2; - 1)\)
    Vậy phương trình của \(\Delta \) là: \({{x + 4} \over 3} = {{y + 2} \over 2} = {{z - 4} \over { - 1}}\)

    Bài 3.61 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
    Hướng dẫn làm bài:
    \(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AC} = (0;6;0)} \cr {A(2;0;0)} \cr} } \right. \Rightarrow C(2;6;0)\)
    Do đó I(1; 3; 4)
    Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua I và vuông góc với OA là: x – 1 = 0 ,\((\alpha )\) cắt OA tại K(1; 0; 0)
    Khoảng cách từ I đến OA là:
    \(IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} = 5\)

    Bài 3.62 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.
    Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD. A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.
    Hướng dẫn làm bài:
    01.jpg
    Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B1 là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}} = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B} = \overrightarrow k \). Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).
    Suy ra \(M(0;0;{1 \over 2}),P(1;{1 \over 2};0),N({1 \over 2};1;1)\)
    Ta có \(\overrightarrow {MP} = (1;{1 \over 2}; - {1 \over 2});\overrightarrow {{C_1}N} = ({1 \over 2};0;1)\)
    Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa C1N và song song với MP. \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = ({1 \over 2}; - {5 \over 4}; - {1 \over 4})\) hay \(\overrightarrow n ' = (2; - 5; - 1)\)
    Phương trình của \((\alpha )\) là \( 2x – 5(y – 1) – z = 0\) hay \(2x – 5y – z + 5 = 0\)
    Ta có \(d(MP,{C_1}N) = d(M,(\alpha )) = {{| - {1 \over 2} + 5|} \over {\sqrt {25 + 4 + 1} }} = {9 \over {2\sqrt {30} }}\)
    Ta có: \(\cos (\widehat {MP,{C_1}N}) = {{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |} \over {|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\) . Vậy \((\widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}\).