Bài 5 trang 6 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD. Giải Giả sử \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD, tức là phép đối xứng qua \(mp\left( \alpha \right)\), kí hiệu \({D_\alpha }\), biến tập thể \(\left\{ {A,B,C,D} \right\}\)thành chính nó. Vì \({D_\alpha }\) không thể biến mỗi đỉnh thành chính nó ( vì khi đó \({D_\alpha }\) là phép đồng nhất ) nên phải có một đỉnh, chẳng hạn A , biến thành một đỉnh khác, chẳng hạn B. Khi đó, \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ( hiển nhiên \(\left( \alpha \right)\) đi qua C và D). Như vậy, tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực của các cạnh. Bài 6 trang 6 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của AB và mặt phẳng trung trực của CD chia tứ diện ABCD thành bốn tứ diện bằng nhau. Giải Gọi I là trung điểm của AB thì \(mp\left( {ICD} \right)\) là mặt phẳng trung trực của AB nên mặt phẳng đó chia tứ diện đều ABCD thành hai tứ diện bằng nhau : tứ diện AICD và tứ diện BICD. Gọi J là trung điểm CD thì \(mp\left( {JAB} \right)\) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện AICD nên nó chia tứ diện đó thành hai tứ diện bằng nhau : tứ diện CAIJ và tứ diện DAIJ. Cố nhiên \(\left( {JAB} \right)\) cũng là mặt phẳng đối xứng của tứ diện BICD nên nó chia tứ diện đó thành hai tứ diện bằng nhau : tứ diện CBIJvà tứ diện DBIJ. Chú ý rằng phép đối xứng qua đường thẳng IJ biến tứ diện CAIJ thành tứ diện DBIJ nên hai tứ diện đó bằng nhau. Tóm lại ta có bốn hình tứ diện bằng nhau: CAIJ, DAIJ, CBIJ, DBIJ. Bài 7 trang 6 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và phép dời hình f có tính chất : f biến điểm M thành điểm M khi và chỉ khi M nằm trên \(\left( P \right)\). Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giải (h.4) Phép dời hình f biến mọi điểm M nằm trên \(\left( P \right)\) thành chính nó . Với điểm A không nằm trên \(\left( P \right)\), ta gọi A’ là ảnh của A qua f . Khi đó, nếu \(M \in \left( P \right)\) thì \(MA = M{A'}\). Vậy \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của AA’, tức A’ đối xứng với A qua \(\left( P \right)\). Vậy f là phép đối xứng qua \(mp\left( P \right)\). Bài 8 trang 6 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Phép biến hình biến mỗi điểm M của không gian thành chính nó gọi là phép đồng nhất, thường được kí hiệu là e. Hỏi phép đồng nhất e có phải là phép dời hình hay không? Giải Phép đồng nhất e biến hai điểm M , N bất kì lần lượt thành M, N. Vì MN = MN nên e là phép dời hình. Bài 9 trang 6 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất. Giải Giả sử phép dời hình f biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó, tức là \(f\left( A \right) = A\),\(f\left( B \right) = B,f\left( C \right) = C,f\left( D \right) = D.\) Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kì thành M. Thật vậy giả sử \({M'} = f\left( M \right)\) và M’ khác M. Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên \(AM = A{M'}\),\(BM = B{M'}\),\(CM = C{M'},DM = D{M'},\) suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’, điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện. Vậy M’ trùng với M và do đó, f là phép đồng nhất. Bài 10 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hai tứ diện \(ABCD\) và \({A'}{B'}{C'}{D'}\) có các cạnh tương ứng bằng nhau : \(AB = {A'}{B'},BC = {B'}{C'},CD = {C'}{D'},\) \(DA = {D'}{A'},DB = {D'}{B'},AC = {A'}{C'}.\) Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm \(A,B,C,D\) lần lượt thành các điểm \({A'},{B'},{C'},{D'}\). Giải Giả sử có hai phép dời hình \({f_1}\) và \({f_2}\) đều biến các điểm \(A,B,C,D\) lần lượt thành các điểm \({A'},{B'},{C'},{D'}\). Nếu \({f_1}\) và \({f_2}\) khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu \({M_1} = f\left( M \right),{M_2} = f\left( M \right)\) thì \({M_1}\)và \({M_2}\) là hai điểm phân biệt. Khi đó, vì \({f_1}\) và \({f_2}\) đều là phép dời hình nên \({A'}{M_1} = AM,{A'}{M_2} = AM,\) vậy \({A'}{M_1} = {A'}{M_2}\) tương tự \({B'}{M_1} = {B'}{M_2},{C'}{M_1} = {C'}{M_2},{D'}{M_1} = {D'}{M_2},\) do đó bốn điểm \({A'};{B'};{C'};{D'}\) cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\), trái với giả thiết \({A'}{B'}{C'}{D'}\) là hình tứ diện. Vậy với mọi điểm M, ta đều có \({f_1}\left( M \right) = {f_2}\left( M \right)\), tức là hai phép dời hình \({f_1}\) và \({f_2}\) trùng nhau. Bài 11 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Chứng minh rằng phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính. Giải Giả sử \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm O bán kính R và f là phép dời hình bất kì. Gọi \({O'} = f\left( O \right)\) và \(\left( {{S'}} \right)\) là mặt cầu tâm O’ bán kính R. Nếu \(M \in \left( S \right)\) và \(f\left( M \right) = {M'}\) thì \({O'}{M'} = OM = R\) nên \({M'} \in \left( {{S'}} \right)\). Ngược lại, nếu \({M'} \in \left( {{S'}} \right)\) và \({M'} = f\left( M \right)\) thì \(OM = {O'}{M'} = R\) nên \(M \in \left( S \right)\). Như vậy, phép dời hình f biến mặt cầu \(\left( S \right)\) thành mặt cầu \(\left( {{S'}} \right)\) có cùng bán kính. Bài 12 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f biến A thành A, biến B thành B. Chứng minh rằng f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó. Giải Ta có \(f\left( A \right) = A,f\left( B \right) = B\). Giả sử điểm M thuộc đường thẳng AB và \(f\left( M \right) = {M'}\). Khi đó \({M'}\) thuộc đường thẳng AB và \(AM = A{M'},BM = B{M'}.\) Suy ra M’ trùng M, tức là f biến M thành chính nó. Bài 13 trang 7 Sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó với \(f\left( A \right) = A,f\left( B \right) = B,f\left( C \right) = C\). Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của \(mp\left( {ABC} \right)\)thành chính nó, tức là \(f\left( M \right) = M\). Giải Ta có \(f\left( A \right) = A,f\left( B \right) = B,f\left( C \right) = C\) nên \(f\) biến \(mp\left( {ABC} \right)\) thành \(mp\left( {ABC} \right)\). Bởi vậy, nếu M thuộc \(mp\left( {ABC} \right)\) và \(f(M)=M'\) thì M' thuộc mp(ABC) và \(AM = A{M'},BM = B{M'},CM = C{M'}\). Nếu \({M'}\) và \(M\) phân biệt thì ba điểm \(A,B,C\) cùng thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(M{M'}\) (xét trên \(mp\left( {ABC} \right)\)), trái với giả thiết \(ABC\) là tam giác. Vậy \(f\left( M \right) = M.\) Bài 14 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho \(M = f\left( M \right)\) trong các trường hợp sau đây: \(\eqalign{ & a)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = A; \cr & b)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = A,f\left( C \right) = D; \cr & c)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = D. \cr} \) Giải Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\) và \(f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = A.\) Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi \(MA = MB = MC.\) Suy ra tập hợp các điểm \(M\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). b) Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\), \(f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = D\). Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi \(MA = MB\) và \(MC = MD,\) tức là M đồng thời nằm trên hai mặt phẳng trung trực của AB và CD. Suy ra tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD. c) Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\),\(f\left( C \right) = B,f\left( C \right) = A\). Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi \(MA = MB = MC=MD\). Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm của tứ diện ABCD. Bài 15 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Chứng minh rằng: a) Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau nếu các kích thước của chúng bằng nhau. b) Hai hình lập phương bằng nhau nếu các đường chéo của chúng có độ dài bằng nhau. Giải a) Giả sử hai hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A'}{B'}{C'}{D'}\) và \(MNPQ.{M'}{N'}{P'}{Q'}\) có \(AB = MN,AD = MQ,{\rm{A}}{{\rm{A}}'} = M{M'}\)(H.5) Ta thấy rằng khi đó, hai tứ diện ABDA’ và MNQM’ có các cạnh tương ứng bằng nhau nên có phép dời hình f biến A, B, D, A’ lần lượt thành các điểm M,N,Q,M’. Khi đó vì f biến tam giác ABD thành tam giác MNQ nên f biến điểm C thành điểm P. Cũng tương tự như thế, f biến B’ thành N’, biến D’ thành Q’ và biến C’ thành P’. Vậy f biến hình hộp chữ nhật thứ nhất thành hình hộp thứ hai do đó hai hình hộp bằng nhau. b) Hiển nhiên đường chéo của hai hình lập phương bằng nhau khi và chỉ khi cạnh của chúng bằng nhau, do đó theo a), hai hình lập phương đó bằng nhau.
