Bài 55 trang 12 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho phép dời hình f . Biết rằng có một điểm I duy nhất sao cho f biến I thành chính nó, ngoài ra hợp thành của f với chính nó là phép đồng nhất. Chứng minh f là phép đối xứng tâm. Giải Với mỗi điểm M bất kì khác I, ta gọi M’ là ảnh của M qua f, khi đó M và M’ không trùng nhau. Vì hợp thành của f với chính nó là phép đồng nhất nên f biến M’ thành M, vậy f biến đoạn thẳng MM’ thành đoạn M’M. Từ đó suy ra f biến trung điểm của đoạn thẳng MM’ thành chính nó và vì vậy, theo giả thiết, trung điểm của MM’ phải là điểm I. Vậy f là phép đối xứng qua tâm I. Bài 56 trang 12 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình chóp cụt đều có hai đáy là hai đa giác đều Đ1 và Đ2. Hãy chỉ ra các phéo vị từ biến Đ1 thành Đ2. Giải Các cạnh bên của hình chóp cụt đều phải đồng quy tại một điểm, ta gọi là S. Giả sử một cạnh bên của hình chóp cụt là A1A2 với A1 là đỉnh của mặt đáy Đ1 và A2 là đỉnh của mặt đáy Đ2. Khi đó, phép vị tự tâm S tỉ số \(k = {{S{A_2}} \over {S{A_1}}}\) sẽ biến Đ1 thành Đ2 . ( chú ý rằng kết quả này đúng với mọi hình chóp cụt bất kì, không cần phải là hình chóp cụt đều ). Trong trường hợp các mặt đáy Đ1 và Đ2 là các đa giác đều có số cạnh là số chẵn, ta còn có thêm phép vị tự thứ hai được xác định như sau : Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm Đ1 và Đ2 và S’ là điểm sao cho \(\overrightarrow {S'{O_2}} = - k\overrightarrow {S'{O_1}} \), với \(k = {{S{A_2}} \over {S{A_1}}}\). Khi đó, dễ thấy phép vị tự tâm S’ tỉ số -k sẽ biến Đ1 thành Đ2. Bài 57 trang 12 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương ). Biết cạnh của khối lập phương bằng a, hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó. Giải (h.39) Gọi độ dài của khối bát diện đều là b . Khối bát diện đều có thể phân chia thành hai khối chóp tứ giác đều mà các cạnh bằng b ; M.FKNI và E.FKNI. Gọi MO là đường cao của khối chóp M.FKNI thì ON bằng một nửa đường chéo của đáy. Ta có \(\eqalign{ & M{O^2} = M{N^2} - O{N^2} = {b^2} - {\left( {b{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {{{b^2}} \over 2} \cr & \Rightarrow MO = b{{\sqrt 2 } \over 2}. \cr & {V_{M.FKNI}} = {1 \over 3}{S_{FKNI}}.MO = {1 \over 3}{b^2}.b{{\sqrt 2 } \over 2} = {{{b^3}\sqrt 2 } \over 6}. \cr} \) Như ta đã biết, b bằng một nửa đường chéo của một mặt của khối lập phương ngoại tiếp. Do đó \(b = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)và \({V_{M.FKNI}} = {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^3}.{{\sqrt 2 } \over 6} = {{{a^3}} \over {12}}.\) Vậy thể tích khối bát diện đều là : \(V = 2{V_{M.FKNI}} = {{{a^3}} \over 6}.\) Bài 58 trang 13 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểm M nằm trên đường tròn đó sao cho \(\widehat {MAB} = \alpha \). Trên đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) tại A, lấy điểm S sao cho SA=h. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SB. a) Chứng minh rằng \(SB \bot mp\left( {KHA} \right)\). b) Gọi I là giao điểm của HK với \(\left( P \right)\). Hãy chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn đã cho. c) Cho h = 2R, \(\alpha = {30^0}\), tính thể tích khối chóp S.KHA. Giải (h.40) a) Ta có \(BM \bot AM\) (vì M nằm trên đường tròn đường kính AB) và \(BM \bot SA\) (do \(SA \bot \left( P \right)\)), suy ra \(BM \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BM \bot AH.\) Mặt khác \(AH \bot SM,\) suy ra \(AH \bot SB,\) Theo giả thiết , ta lại có \(AK \bot SB\) Vậy \(SB \bot \left( {KHA} \right).\) b) Vì \(SB \bot \left( {KHA} \right)\) nên \(SB \bot AI\), mặt khác \(SA \bot AI\)nên \(AI \bot AB\), mà AIthuộc \(mp\left( P \right)\), suy ra AI là tiếp tuyến của đường tròn đã cho tại điểm A. c) Cách 1. Ta có : \(\eqalign{ & {{{V_{S.KHA}}} \over {{V_{S.BMA}}}} = {{SK} \over {SB}}.{{SH} \over {SM}} = {{SK.SB} \over {S{B^2}}}.{{SH.SM} \over {S{M^2}}} \cr&= {{S{A^4}} \over {S{B^2}.S{M^2}}} \cr & = {{(2R)^4} \over {\left( {4{R^2} + 4{R^2}} \right).\left( {4{R^2} + A{M^2}} \right)}} \cr&= {{2{R^2}} \over {4{R^2} + 4{R^2}.{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {2\left( {1 + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}, \cr & {V_{S.BMA}} = {1 \over 3}{S_{BMA}}.SA = {1 \over 6}AM.BM.SA \cr&= {1 \over 6}2R\cos \alpha .2Rsin\alpha .2R \cr & = {{2{R^3}} \over 3}\sin 2\alpha = {{2{R^3}} \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{{R^3}\sqrt 3 } \over 2}. \cr} \) Vậy \({V_{S.KHA}} = {1 \over {2\left( {1 + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}.{{{R^3}\sqrt 3 } \over 3} \) \(= {1 \over {2\left( {1 + {3 \over 4}} \right)}}.{{{R^3}\sqrt 3 } \over 3} = {{2{R^3}\sqrt 3 } \over {21}}\) Cách 2. Dễ thấy \({V_{S.KHA}} = {1 \over 3}{S_{KHA}}.SK.\) Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính được SK, AH, AK, HK ( với chú ý rằng tam giác KHA vuông ở H) theo R. Từ đó tính được thể tích khối chóp S.KHA. Bài 59 trang 13 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh trùng với O và ba cạnh cùng xuất phát từ O nằm trên OA, OB, OC, còn đỉnh đối diện với O thuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Giải (h.41) Giả sử hình lập phương A’HB’O.GEFC’ thỏa mãn điều kiện của bài toán và điểm E thuộc \(mp\left( {ABC} \right).\) Khi đó \({V_{O.ABC}} = {V_{E.OAB}} + {V_{E.OBC}} + {V_{E.OCA}}.\) Các khối chóp E.OAB, E.OBC, E.OCA có chiều cao x bằng cạnh của khối lập phương nói trên . Bởi vậy ta có : \(\eqalign{ & {1 \over 6}abc = {1 \over 3}x\left( {{{ab} \over 2} + {{bc} \over 2} + {{ca} \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow x = {{abc} \over {ab + bc + ca}}. \cr} \) Vậy : Vlập phương \(={x^3} = {{{a^3}{b^3}{c^3}} \over {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^3}}}.\) Bài 60 trang 13 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R, lấy một điểm C tùy ý (C khác A, B). Kẻ \(CH \bot AB\left( {H \in AB} \right)\), gọi \(I\) là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng \(It\) vuông góc với \(mp\left( {ABC} \right)\), lấy điểm S sao cho \(\widehat {ASB}={90^0}.\) 1. Chứng minh rằng khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì : a) Mặt phẳng (SAB) cố định ; b) Điểm cách đều các điểm S, A, B, I chạy trên một đường thẳng cố định. 2) Cho AH = x. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo R và x. Tìm vị trí của C để thể tích đó lớn nhất. Giải (h.42) 1. a) Do các tam giác ASB và ACB vuông nên : \(S{H^2} = AH.BH;\;C{H^2} = AH.BH.\) Vậy SH=CH. Mặt khác \(SI \bot CH\) và CI=IH nên SC=SH. Vậy tam giác SCH đều, suy ra \(\widehat {SHI} = {60^0}\) Mặt khác, ta có \(AB \bot HI,AB \bot SH\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {SHI}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC). Vậy mặt phẳng (SAB) qua AB cố định và tạo với mặt phẳng cố định (ABC) một góc 600 nên nó phải cố định. b) Gọi K là điểm cách đều các điểm S, A, B, I. Do K cách đều ba điểm S, A, B nên nó phải thuộc đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại trung điểm O của AB cố định nên đường thẳng \(\Delta \) cố định. Vậy K thuộc đường thẳng \(\Delta \) cố định. 2. Trong tam giác ABC ta có : \(C{H^2} = HA.HB \Rightarrow CH = \sqrt {x\left( {2R - x} \right)} \) Do tam giác SCH đều nên \(SI = {{CH\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\sqrt {x\left( {2R - x} \right)} \) Vậy: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.CH.SI = {{R\sqrt 3 } \over 6}x(2R - x)\) \({V_{S.ABC}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow x\left( {2R - x} \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow x = \left( {2R - x} \right)\) \((do\,\,x + \left( {2R - x} \right) = 2R\, \text{không đổi })\) \( \Leftrightarrow x = R \Leftrightarrow C\) là điểm chính giữa của cung AB. Bài 61 trang 13 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A, vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’,D’. 1. Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện là góc vuông. 2. Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A thì \(mp\left( {AB'C'D'} \right)\) luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi. 3. Giả sử góc giữa cạnh SC và mặt bên (SAB) bằng x. Tính tỉ số giữa thể tích của hình chóp S.AB’C’D’ và thể tích của hình chóp S.ABCD theo x, biết rằng AB = BC. Giải (h.43) 1. \(SC \bot (AB'C'D') \Rightarrow SC \bot AB'.\) Dễ thấy \(BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AB'.\) Từ đó suy ra : \(AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot B'C'.\) Tương tự ta có \(AD' \bot D'C'.\) Như vậy tứ giác AB’C’D’ có hai góc B’ và D’ vuông. 2. Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và mp(ABCD) . Do \(\Delta \) thuộc \(\left( \alpha \right)\) nên \(\Delta \bot SC\). Theo định lý ba đường vuông góc, ta có \(\Delta \bot AC\). Hơn nữa, \(\Delta \) nằm trong mp(ABCD) và đi qua điểm A có định, vậy \(\Delta \) là đường thẳng cố định. Do \(AB' \bot (SBC),AD' \bot (SCD) \) \(\Rightarrow AB' \bot B'C,AD' \bot D'C.\) Các tam giác vuông ABC, ADC, AB’C, AD’C, AC’C có chung cạnh huyền cố định AC, suy ra các đỉnh A, B, C, D, B’, C’, D’ đều cách trung điểm O của AC một khoảng không đổi \({{AC} \over 2}.\) 3. Cách 1. Do \(BC \bot (SAB)\) nên SB là hình chiếu của SC trên mp(SAB) và do đó \(\widehat {BSC} = x \). Ta có \(\eqalign{ & V = {V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{a^2}SA(a = AB = BC), \cr & V' = {V_{S.AB'C'D'}} = {1 \over 3}{S_{AB'C'D'}}.SC'. \cr} \) Do ABCD là hình vuông nên dễ dàng suy ra được SB’=SD’\( \Rightarrow B'D'// BD.\) Từ đó dễ thấy \(B'D' \bot (SAC) \Rightarrow B'D' \bot AC'\) \(\Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {1 \over 2}AC'.B'D'.\) Ta có : \(SB = BC\cot x = a\cot x,SC = {{BC} \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\) \(\eqalign{ & SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = {{a\sqrt {\cos 2x} } \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}},\cr&SB' = {{S{A^2}} \over {SB}} = {{a\cos 2x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx}}}}, \cr & SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{a\cos 2x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}},\cr&B'D' = BD.{{SB'} \over {SB}} = {{a\sqrt 2 \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}, \cr & AC' = {{SA.AC} \over {SC}} = a\sqrt {2\cos 2x} . \cr} \) Vậy \(V = {{{a^3}\sqrt {\cos 2x} } \over {3\sin x}},V' = {{{a^3}{{\cos }^2}2x\sqrt {\cos 2x} } \over {3\sin x{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {{V'} \over V} = {{{{\cos }^2}2x} \over {{{\cos }^2}x}}.\) Cách 2. Dễ thấy :\({{V'} \over V} = {{2{V_{S.AB'C'}}} \over {2{V_{S.ABC}}}} = {{SB'.SC'} \over {SB.SC}}.\) Từ đó dễ dàng suy ra kết quả cần tìm. Bài 62 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình tứ diện ABCD. 1. Chứng minh rằng nếu chân H của đường cao hình tứ diện xuất phát từ A trùng với trực tâm của tam giác BCD và nếu \(AB \bot AC\) thì \(AC \bot AD\) và \(AD \bot AB.\) 2.Giả sử BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân đường cao của hình tứ diện xuất phát từ A, J là chân của đường vuông góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH = h, HJ = d. Tính thể tích của hình tứ diện ABCD theo d và h. Giải: 1.(h.44) Do H là trực tâm \(\Delta BCD\) nên \(BH \bot CD.\) Mặt khác \(AH \bot (BCD)\) nên \(AH \bot CD.\) Vậy \(CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot AB.\) Cùng với giả thiết \(AC \bot AB\), ta suy ra \(AB \bot (ACD) \Rightarrow AB \bot AD.\) Tương tự \(AC \bot AD.\) 2.(h.45) Từ AB = AC = AD suy ra HB = HC = HD, tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Xét tam giác vuông AHD, ta có : \(\eqalign{ & {1 \over {H{J^2}}} = {1 \over {A{H^2}}} + {1 \over {H{D^2}}} \cr & \Rightarrow {1 \over {H{D^2}}} = {1 \over {{d^2}}} - {1 \over {{h^2}}} \cr & \Rightarrow HD = {{hd} \over {\sqrt {{h^2} - {d^2}} }}. \cr} \) Do tam giác BCD đều nên \(DH = BC.{{\sqrt 3 } \over 3},\) hay \(BC = DH\sqrt 3 .\) Vậy \(V = {1 \over 3}{S_{BCD}}.AH = {{\sqrt 3 {d^2}{h^3}} \over {4\left( {{h^2} - {d^2}} \right)}}.\)
Bài 1 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất : (A) Hai mặt (B) Ba mặt (C) Bốn mặt (D) Năm mặt. Giải Chọn (B). Bài 2 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho khối tứ diện ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và D. Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB) ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện : (A) AMCN,AMND,AMCD,BMCN; (B) AMCN,AMND,BMCN,BMND; (C) AMCD,AMND,BMCN,BMND; (D) BMCD,BMND,AMCN,AMDN. Giải Chọn (B). Bài 3 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ cắt d khi và chỉ khi : (A) d cắt \(\left( P \right)\); (B) d nằm trên \(\left( P \right)\); (C) d cắt \(\left( P \right)\) nhưng không vuông góc với \(\left( P \right)\); (D) d không vuông góc với \(\left( P \right)\). Giải Chọn (C). Bài 4 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là (A) 6 (B) 7 (C ) 8 (D) 9 Giải Chọn (D). Bài 5 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Số mặt phẳng đối xứng của bát diện đều là : (A) 3 (B) 6 (C ) 9 (D) 12 Giải Chọn (C ). Bài 6 trang 15 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là : (A) 4 (B) 6 (C ) 8 (D) 10 Giải Chọn (B). Bài 7 trang 15 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Hình H gồm ba mặt phẳng (P), (Q),và (R),trong đó \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) và \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\). Các mặt phẳng đối xứng của H là (A) Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q); (B) Mặt phẳng (R ) và mặt phẳng cách đều (P) và (Q); (C ) Mặt phẳng (R ); (D) Cả ba đáp án đều sai. Giải Chọn (B). Bài 8 trang 15 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k và phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\),\(\left( {O \notin \left( P \right)} \right)\), ta được phép biến hình f. Giả sử (Q) là mặt phẳng qua O và vuông góc với (P). Khi đó f biến (Q) thành : (A) Mặt phẳng (Q’) song song với (Q); (B) Mặt phẳng (P) ; (C ) Mặt phẳng (Q) ; (D) Mặt phẳng (P’) qua O và song song với (P). Giải Chọn (C ). Bài 9 trang 15 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? (A) Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với nó. (B) Phép vị tự biến mặt phẳng qua tâm vị tự thành chính nó ; (C ) Không có phép vị tự nào biến hai điểm phân biệt A và B lần lượt thành A và B ; (D) Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó. Giải Chọn (B). Bài 10 trang 15 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Khối mười hai mặt đều thuộc loại : \(\eqalign{ & (A)\left\{ {3,5} \right\}; \cr & (B)\left\{ {3,6} \right\}; \cr & (C)\left\{ {5,3} \right\}; \cr & (D)\left\{ {4,4} \right\}. \cr} \) Giải Chọn (C ). Bài 11 trang 15 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng \(\alpha \). Diện tích của một mặt bên bằng S. Thể tích của hình hộp đã cho là : \(\eqalign{ & (A)\;dS\cos {\alpha \over 2}; \cr & (B)\;dS\sin {\alpha \over 2}; \cr & (C)\;{1 \over 2}dS\sin \alpha ; \cr & (D)\;dS\sin \alpha . \cr} \) Giải Chọn (A). Bài 12 trang 16 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích là V. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’và BB’. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC’ bằng \(\eqalign{ & (A)\;{3 \over 4}V; \cr & (B)\;{4 \over 5}V; \cr & (C)\;{2 \over 3}V; \cr & (D)\;{3 \over 5}V. \cr} \) Giải Chọn (C ). Bài 13 trang 16 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là một hình thoi và hai mặt chéo ACC’A’, BDD’B đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt này có diện tích lần lượt là 100cm2, 105cm2 và cắt nhau theo một đường thẳng có độ dài 10cm. Khi đó thể tích của hình hộp đã cho là \(\eqalign{ & (A)\;225\sqrt 5 c{m^3}; \cr & (B)\;235\sqrt 5 c{m^3}; \cr & (C)\;425c{m^3}; \cr & (D)\;525c{m^3}. \cr} \) Giải Chọn (D). Bài 14 trang 16 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu của đỉnh A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là \(\eqalign{ & (A)\;{{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}; \cr & (B)\;{{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}; \cr & (C)\;{{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}; \cr & (D)\;{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}. \cr} \) Giải Chọn (B). Bài 15 trang 16 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có diện tích các mặt ABCD, ABB’A’, ADD’A’ lần lượt bằng 20cm2, 28 cm2 và 35cm2. Thể tích của hình hộp là \(\eqalign{ & (A)\;160c{m^3}; \cr & (B)\;120c{m^3}; \cr & (C)\;130c{m^3}; \cr & (D)\;140c{m^3}. \cr} \) Giải Chọn (D). Bài 16 trang 16 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là một hình thoi với diện tích S1. Hai mặt chéo ACC’A’ và BDD’B’ có diện tích lần lượt bằng S2 và S3. Khi đó thể tích của hình hộp là \(\eqalign{ & (A)\;\sqrt {{{{S_1}{S_2}{S_3}} \over 2}} ; \cr & (B)\;{{\sqrt 2 } \over 3}\sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}} ; \cr & (C)\;{{\sqrt 3 } \over 3}\sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}} ; \cr & (D)\;{{{S_1}} \over 2}\sqrt {{S_2}{S_3}} . \cr} \) Giải Chọn (A). Bài 17 trang 17 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, tâm O. Khi đó thể tích khối tứ diện AA’B’O là \(\eqalign{ & (A)\;{{{a^3}} \over 8}; \cr & (B)\;{{{a^3}} \over {12}}; \cr & (C)\;{{{a^3}} \over 9}; \cr & (D)\;{{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}. \cr} \) Giải Chọn (B). Bài 18 trang 17 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho biết thể tích của một hình hộp chữ nhật là V, đáy là hình vuông cạnh a. Khi đó diện tích toàn phần của hình hộp bằng \(\eqalign{ & (A)\;2\left( {{V \over a} + {a^2}} \right); \cr & (B)\;4{V \over a} + 2{a^2};\cr & (C)\;2\left( {{V \over {{a^2}}} + a} \right); \cr & (D)\;4\left( {{V \over {{a^2}}} + a} \right). \cr} \) Giải Chọn (B). Bài 19 trang 17 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho một hình chóp tam giác có đường cao bằng 100cm và các cạnh đáy bằng 20cm, 21cm,29cm. Thể tích của hình chóp đó bằng \(\eqalign{ & (A)\;6000c{m^3}; \cr & (B)\;6213c{m^3}; \cr & (C)\;7000c{m^3}; \cr & (D)\;7000\sqrt 2 c{m^3}; \cr & \cr} \) Giải Chọn (C). Bài 20 trang 17 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình chóp tam giác S.ABC với \(SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA,\) \(SA = a,SB = b,SC = c.\) Thể tích của hình chóp bằng \(\eqalign{ & (A)\;{1 \over 3}abc; \cr & (B)\;{1 \over 6}abc; \cr & (C)\;{1 \over 9}abc; \cr & (D)\;{2 \over 3}abc. \cr} \) Giải Chọn (B). Bài 21 trang 17 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và chiều cao h. Khi đó, thể tích của hình chóp bằng \(\eqalign{ & (A){{\sqrt 3 } \over 4}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)h; \cr & (B){{\sqrt 3 } \over {12}}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)h; \cr & (C){{\sqrt 3 } \over 4}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)b; \cr & (D){{\sqrt 3 } \over 8}\left( {{b^2} - {h^2}} \right)h; \cr} \) Giải: Chọn (A). Bài 22 trang 18 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình chóp tam giác S.ABC có \(SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA\) và AB=13cm, BC=15cm, CA=\(\sqrt {106} \)cm. Thể tích của hình chóp bằng \(\eqalign{ & (A)\;90c{m^3}; \cr & (B)\;80c{m^3}; \cr & (C)\;92c{m^3}; \cr & (D)\;80\sqrt 2 c{m^3}. \cr} \) Giải Chọn (A). Bài 23 trang 18 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích của hình chóp đó bằng \(\eqalign{ & (A){{{a^3}} \over 3}; \cr & (B){{{a^3}} \over 6}; \cr & (C){{2{a^3}} \over 3}; \cr & (D){{{a^3}} \over 9}. \cr} \) Giải Chọn (B). Bài 24 trang 18 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó, thể tích của hình chóp bằng \(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 3 } \over 6}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}. \cr} \) Giải Chọn (A). Bài 25 trang 18 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Thể tích của hình chóp đó bằng \(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 6 } \over 2}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 6 } \over 6}. \cr & \cr} \) Giải Chọn (D). Bài 26 trang 18 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Khi đó thể tích của hình chóp bằng \(\eqalign{ & (A){1 \over 3}{a^2}\sqrt {{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & (B){1 \over 6}{a^2}\sqrt {{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & (C){1 \over 6}{a^2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & (D){2 \over 3}{a^2}\sqrt {2{b^2} - {a^2}} . \cr} \) Giải Chọn (C ). Bài 27 trang 18 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Thể tích của hình chóp đó bằng \(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 3 } \over {24}}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 2 } \over 6}. \cr} \) Giải Chọn (A). Bài 28 trang 19 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằng d, góc giữa đường chéo và mặt đáy là \(\alpha \), góc nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng \(\beta \). Thể tích của hình hộp đó bằng \(\eqalign{ & (A)\;{1 \over 2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta ; \cr & (B)\;{1 \over 3}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta ; \cr & (C)\;{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta ; \cr & (D)\;{1 \over 2}{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta . \cr} \) Giải Chọn (A). Bài 29 trang 19 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, đường chéo AC’ tạo với mặt bên (BCC’B’) một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < {{45}^0}} \right)\). Khi đó, thể tích của khối lăng trụ bằng \(\eqalign{ & (A)\;{a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha + 1} ; \cr & (B)\;{a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha - 1} ; \cr & (C)\;{a^3}\sqrt {\cos 2\alpha } ; \cr & (D)\;{a^3}\sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 1} . \cr} \) Giải Chọn (B). Bài 30 trang 19 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng a. Thể tích khối tứ diện SBCD bằng \(\eqalign{ & (A)\;{{{a^3}} \over 3}; \cr & (B)\;{{{a^3}} \over 4}; \cr & (C)\;{{{a^3}} \over 6}; \cr & (D)\;{{{a^3}} \over 8}. \cr} \) Giải Chọn (C). Bài 31 trang 19 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, còn cạnh bên SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Thể tích của khối chóp đó bằng \(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 2 } \over 4}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}. \cr} \) Giải Chọn (D). Bài 32 trang 20 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , còn cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Thể tích của hình chóp đã cho bằng \(\eqalign{ & (A){{{a^3}\sqrt 6 } \over 9}; \cr & (B){{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}; \cr & (C){{{a^3}\sqrt 6 } \over 4}; \cr & (D){{{a^3}\sqrt 3 } \over 9}. \cr} \) Giải Chọn (A).
