Bài 35 trang 123 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao. Cho điểm \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) với \({x_0},{y_0},{z_0} \ne 0.\) Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng : a) Đi qua diểm M0 và song song với một trong các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). b) Đi qua các hình chiếu của điểm M0 trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. c) Đi qua điểm M0 và lần lượt chứa các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Giải a) Mặt phẳng qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và song song với mặt phẳng mp(Oxy) có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = (0;0;1)\) nên có phương trình là \(z - {z_0} = 0.\) Phương trình mặt phẳng qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và song song với mp(Oxz) là : \(y - {y_0} = 0\). Phương trình mặt phẳng qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) và song song với mp(Oyz) là : \(x - {x_0} = 0\) b) Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}.\) lần lượt là hình chiếu của điểm M0 trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó : \({M_1} = ({x_0};0;0),{M_2} = (0;{y_0};0),{M_3} = (0;0;{z_0})\) Vậy phương trình mặt phẳng \(({M_1}{M_1}{M_3})\) là : \({x \over {{x_0}}} + {y \over {{y_0}}} + {z \over {{z_0}}} = 1.\) c) Gọi \(({P_x})\) là mặt phẳng chứ điêm M0 và trục Ox. Khi đó vec tơ pháp tuyến của nó là : \(\overrightarrow {{n_x}} = \left[ {\overrightarrow {O{M_0}} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| \matrix{ {y_0} \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {z_0} \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {z_0} \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {x_0} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {x_0} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {y_0} \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= (0;{z_0}; - {y_0})\) Vậy \(({P_x})\) có phương trình là \({z_0}y - {y_0}z = 0.\) Tương tự , phương trình mặt phẳng chứa điểm M0 và trục Oy là: \({z_0}x - {x_0}z = 0.\) Phương trình mặt phẳng chứa điểm M0 và trục Oz là: \({y_0}x - {x_0}y = 0.\) Bài 36 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng : a) Đi qua ba điểm A(-1;2;3),B(2;-4;3), C(4;5;6). b) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với trục Oy. c) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B=(0;2;-3), C=(1;-4;1). d) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0. e) Đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0. g) Đi qua điểm M0(2;-1;2),song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0. h) Đi qua điểm M0(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\eqalign{ & \left( \alpha \right):2x + y + 2z + 5 = 0 \cr & \left( {\alpha '} \right):3x + 2y + z - 3 = 0 \cr} \) Giải a) Cách 1: Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là : \(\eqalign{ & \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]. \cr & \overrightarrow {AB} = (3; - 6;0),\overrightarrow {AC} = (5;3;3) \cr&\Rightarrow \overrightarrow n = \left( {\left| \matrix{ - 6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 3 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 3 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = ( - 18; - 9;39). \cr} \) Hiển nhiên \({1 \over 3}\overrightarrow n = ( - 6; - 3;13)\) cũng là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm . Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(-1;2;3) với vec tơ pháp tuyến (-6;-3;13) nên có phương trình : \(-6(x+1)-3(y-2)+13(z-3)=0\) hay \(-6x-3y+13z-39=0.\) Cách 2: Mặt phẳng cần tìm có phương trình dạng : Ax+By+Cz+D=0. Vì ba điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng đó nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng và ta có hệ : \(\left\{ \matrix{ - A + 2B + 3C + D = 0 \hfill \cr 2A - 4B + 3C + D = 0 \hfill \cr 4A + 5B + 6C + D = 0. \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \matrix{ - 3A + 6B = 0 \hfill \cr 2A + 9B + 3C = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ A = 2B \hfill \cr B = - {3 \over {13}}C. \hfill \cr} \right.\) Suy ra :\(A = 2B = - {6 \over {13}}C,D = A - 2B - 3C = - 3C.\) Ta có thể chọn \(C=13\), khi đó \(A=-6, B=-3, D=-39\) và phương trình mặt phẳng cần tìm là \(-6x-3y+13z-39=0.\) b) Mặt phẳng qua M0(1;3;-2), vuông góc với trục Oy nên nó song song với mp(Oxz). Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(y=3\) (xem bài 35a). Ta có thể giải cách khác như sau: Mặt phẳng cần tìm là vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow j = (0;1;0)\) nên có phương trình : \(0(x - 1) + 1.(y - 3) + 0(z + 2) = 0 \Leftrightarrow y - 3 = 0.\) c) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {BC} = (1; - 6;4)\), Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(1(x-1)-6(y-3)+4(z+2)=0\) hay \(x-6y+4z+25=0.\) d) Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng : 2x-y+3z+4=0 nên phương trình có dạng 2x-y+3z+D=0 với \(D \ne 4\). Vì M0(1;3;-2) thuộc mặt phẳng đó nên \(2.1-3+3.(-2)+D=0 \Rightarrow D = 7.\) Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(2x-y+3z+7=0.\) Ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 nên nó có một vect ơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (2; - 1;3)\). Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(2(x - 1) - 1(y - 3) + 3(z + 2) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0.\) e) Véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm vuông góc với hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)\) và \(\overrightarrow {n'} = (2; - 1;3)\) (\(\overrightarrow {n'} \) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-y+3z+4=0\)). Vậy ta lấy \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| \matrix{ - 2 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 5 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 5 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 2 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= ( - 1;13;5).\) Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0\) hay \(x-13y-5z+5=0.\) g) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 là \(\overrightarrow {n'} = (2; - 1;3).\) Vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm là : \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= (3;0; - 2).\) Vậy phương trình của nó là : \(3x-2z-2=0.\) h) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;1;2),\overrightarrow {n{'_\alpha }} = (3;2;1).\) Mặt phẳng cần tìm vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) nên có vec tơ pháp tuyến là Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là: \(-3(x+2)+4(y-3)+1(z-1)\) hay \(3x-4y-z+19 = 0.\) Bài 37 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Bốn điểm A(-1;2;3), B(2;-4;3),C(4;5;6), D(3;2;1) có thuộc cùng một mặt phẳng không ? b) Tìm a để bốn điểm A(1;2;1), B(2;a;0), C(4;-2;5),D(6;6;6) thuộc cùng một mặt phẳng . c) Cho ba điểm A(1;1;1), B(3;-1;1), C(-1;0;2). Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB không ? Giải a) Cách 1: Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3; - 6;0),\overrightarrow {AC} = (5;3;3),\overrightarrow {AD} = (4;0; - 2)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = ( - 18).4 + ( - 9).0 + 39.( - 2) \) \(= - 150 \ne 0.\) Vậy A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng. Cách 2: Ta có phương trình mp(ABC) là -6x-3y+13z-39=0. Thay tọa độ của điểm D(3;2;1) vào phương trình mặt phẳng đó , ta có được : \(-6.3-3.2+13.1-39=-50 \ne 0.\) Điều đó chứng tỏ \(D \notin mp(ABC)\) hay bốn điểm A, B, C,D không đồng phẳng. b) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} \left( {1;a - 2; - 1} \right) \cr & \overrightarrow {AC} \left( {3; - 4;4} \right) \cr & \overrightarrow {AD} \left( {5;4;5} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 36;5;32} \right) \cr} \) A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 36.1 + 5.\left( {a - 2} \right) + 32.\left( { - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 5a = 78 \cr & \Leftrightarrow a = {{78} \over 5} \cr} \) c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì I=(2;0;1).Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; - 2;0).\) Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là \(2(x - 2) - 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y - 4 = 0\) hay \(x-y-2=0.\) Thay tọa độ điểm C(-1;0;2) vào phương trình mặt phẳng đó, ta có: \( - 1 - 0 - 2 = - 3 \ne 0.\) Vậy điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Bài 38 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 8y + 7z - 1 = 0.\) a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng \(\left( { P } \right)\). b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều. Giải a) Giả sử I=(x;y;z). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = (2;0;2),\overrightarrow {AI} = (x;y;z + 3).\) Vì \(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên có một số k sao cho \(\overrightarrow {AI} = k\overrightarrow {AB} \) hay \(\left\{ \matrix{ x = 2k \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z + 3 = 2k \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ y = 0 \hfill \cr x - z - 3 = 0. \hfill \cr} \right.\) Mặt khác, \(I \in \left( P \right)\) nên 3x-8y+7z-1=0. Vậy ta có hệ : \(\left\{ \matrix{ y = 0 \hfill \cr x - z - 3 = 0 \hfill \cr 3x - 8y + 7z - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {{11} \over 5} \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = - {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\) \(\Rightarrow I = ({{11} \over 5};0; - {4 \over 5}).\) b) Ta có \(AB = 2\sqrt 2 .\) Giả sử C=(x;y;z). Ta phải có \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ CA = 2\sqrt 2 \hfill \cr CB = 2\sqrt 2 \hfill \cr C \in \left( P \right) \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 8 \hfill \cr {(x - 2)^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 8 \hfill \cr 3x - 8y + 7z - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 8 \hfill \cr x + z + 1 = 0 \hfill \cr 3x - 8y + 7z - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) Giải hệ bằng phương pháp thế, ta có hai nghiệm và do đó có hai điểm C : \(C(2;-2;-3),\;C\left( { - {2 \over 3}; - {2 \over 3}; - {1 \over 3}} \right).\) Bài 39 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(1;2;4), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho \(OA = OB = OC \ne 0.\) Giải Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M0(1;2;4) có phương trình: \(a(x-1)+b(y-2)+c(z-4)=0\) (1) hay \(ax+by+cz=a+2b+4c\) với \(a + 2b + 4c \ne 0\) (theo giả thiết) Từ đó, ta xác định được tọa độ các giao điểm A, B, C là: \(\eqalign{ & A = \left( {{{a + 2b + 4c} \over a};0;0} \right)\cr&B = \left( {0;{{a + 2b + 4c} \over b};0} \right) \cr & C = \left( {0;0;{{a + 2b + 4c} \over c}} \right) \cr} \) Vì OA = OB = OC nên \(O{A^2} = O{B^2} = O{C^2},\) do đó ta có \({{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{a^2}}} = {{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{b^2}}} = {{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{c^2}}}\) Hay \({a^2} = {b^2} = {c^2}\). Có những trường hợp sau xảy ra: +) Nếu a, b, c cùng dấu thì \(a=b=c\) và phương trình (1) trở thành \(x+y+z-7=0\). +) Nếu a, b cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=b=-c\). Phương trình (1) trở thành \(x+y-z+1=0\). +) Nếu a, c cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=c=-b\). Phương trình (1) trở thành \(x-y+z-3=0\). +) Nếu b, c cùng dấu và khác dấu với a thì \(–a=b=c\). Phương trình (1) trở thành : \(-x+y+z-5=0\). Bài 40 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M0(1;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. Giải Giả sử \(A(a;0;0),B(0;b;0),C = (0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\) và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là : \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\) Vì \({M_0} \in \left( P \right)\) nên \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 1.\) Thể tích của tứ diện OABC là : \({V_{OABC}} = {1 \over 6}abc.\) Theo bất đẳng thức Cô-si : \(1 = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {3 \over {\root 3 \of {abc} }} \Leftrightarrow abc \ge 27\) \( \Rightarrow {V_{OABC}} \ge {{27} \over 6} = {9 \over 2}\), dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3.\) Vậy VOABC nhỏ nhất bằng \({9 \over 2}\) khi \(a=b=c=3\), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(x+y+z-3=0.\) Bài 43 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua điểm M0(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0. b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0. c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0. Giải a) Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x - y + z = 4 \hfill \cr 3x - y + z = 1. \hfill \cr} \right.\) Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ. Cho z=0, ta có \(\left\{ \matrix{ x - y = 4 \hfill \cr 3x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = - {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\) Vậy \({M_1}( - {3 \over 2}; - {{11} \over 2};0) \in \Delta .\) Cho y=0, ta có \(\left\{ \matrix{ x + z = 4 \hfill \cr 3x + z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\) Vậy \({M_2}\left( { - {3 \over 2};0;{{11} \over 2}} \right) \in \Delta .\) Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua \({M_0},{M_1},{M_2}.\) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được: \(15x-7y+7z-16=0.\) b) Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ y + 2z - 4 = 0 \hfill \cr x + y - z + 3 = 0 \hfill \cr x + y + z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\) Có một nghiệm duy nhất là\(\left( {{1 \over 2}; - 1;{5 \over 2}} \right).\) Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng \(y+2z-4=0\) và \(x+y-z+3=0\) Cắt mặt phẳng \(x+y+z-2=0.\) Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Cho z = 0, ta được \({M_1}( - 7;4;0),\) Cho y = 0, ta được \({M_2}( - 1;0;2).\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(x+y+z-2=0\) thì \(\left( \alpha \right)\) có dạng : \(x + y + z + D = 0,D \ne - 2.\) Ta xác định D để \({M_1},{M_2} \in \left( \alpha \right).\) D là nghiệm của hệ : \(\left\{ \matrix{ - 7 + 4 + D = 0 \hfill \cr - 1 + 2 + D = 0. \hfill \cr} \right.\) Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Ta tìm hai điểm \({M_1},{M_2}\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Gọi \(\overrightarrow {n'} = (2;0; - 1)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-z+7=0\). Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M1 và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {n'} } \right].\) Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình : \(x-22y+2z+21=0.\) Bài 44 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Xác định các giá trị k và m để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng : \(5x+ky+4z+m=0\) \(3x-7y+z-3=0\) \(x-9y-2z+5=0.\) Giải Để ba mặt phẳng đã cho cùng đi qua một đường thẳng, điều kiện cần và đủ là mặt phẳng \(5x + ky + 4z + m = 0\) phải chứa hai điểm phân biệt của đường thẳng \(\Delta \) với \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng còn lại. Ta tìm hai điểm nào đó của \(\Delta \). Cho y = 0, ta có \(\left\{ \matrix{ 3x + z = 3 \hfill \cr x - 2z = - 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {1 \over 7} \hfill \cr z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\) \(\Rightarrow {M_1}\left( {{1 \over 7};0;{{18} \over 7}} \right) \in \Delta \) Cho z = 0, ta có \(\left\{ \matrix{ 3x - 7y = 3 \hfill \cr x - 9y = - 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {{31} \over {10}} \hfill \cr y = {9 \over {10}} \hfill \cr} \right.\) \(\Rightarrow {M_2}\left( {{{31} \over {10}};{9 \over {10}};0} \right) \in \Delta \) Thay tọa độ điểm \({M_1},{M_2}\) vào phương trình mặt phẳng \(5x + ky + 4z + m = 0\) ta được hệ \(\left\{ \matrix{ {5 \over 7} + {{72} \over 7} + m = 0 \hfill \cr {{155} \over {10}} + {{9k} \over {10}} + m = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow k = - 5,m = - 11.\) Bài 45 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho ba mặt phẳng \((P):x + y + z - 6 = 0\) \(\eqalign{ & (Q):mx - 2y + z + m - 1 = 0 \cr & (R):mx + (m - 1)y - z + 2m = 0 \cr} \) Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau, tìm giao điểm chung của cả ba mặt phẳng. Giải Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) lần lượt là : \(\overrightarrow {{n_P}} = (1;1;1),\) \(\overrightarrow {{n_Q}} = (m; - 2;1),\) \(\overrightarrow {{n_R}} = (m;m - 1; - 1).\) Ba mặt phẳng đôi một vuông góc khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ m - 2 + 1 = 0 \hfill \cr m + m - 1 - 1 = 0 \hfill \cr {m^2} - 2m + 2 - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m = 1 \hfill \cr m = 1 \hfill \cr {\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 1 \cr} \) Gọi I (x;y;z) là giao điểm chung của ba mặt phẳng. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau \(\left\{ \matrix{ x + y + z - 6 = 0 \hfill \cr x - 2y + z = 0 \hfill \cr x - z + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I = (1;2;3).\) Bài 46 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 5 = 0\) và điểm \({M_0}(4;3;0)\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \({M_0}.\) b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(x + 2y - 2z + 5 = 0.\) c) Cho bốn điểm \(A(3; - 2; - 2),B(3;2;0),C( - 1;1;2).\) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \(A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)\) và có tâm I nằm trên mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0.\) Giải a) Dễ thấy điểm \({M_0}(4;3;0)\) thuộc mặt cầu và điểm \(I(3;1; - 2)\) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0 là mặt phẳng đi qua điểm M0 với vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {I{M_0}} \), nó có phương trình : \(1.(x - 4) + 2(y - 3) + 2(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 2z - 10 = 0.\) b) Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên \(R = {{\left| { - 2 + 2 - 2 + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.\) Vậy phương trình mặt cầu là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1.\) c) Ta có \(\overrightarrow {BC} = ( - 3;0;1),\overrightarrow {BD} = ( - 4; - 1;2) \) \(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\). Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là : \(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 3z - 7 = 0.\) Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có : \(R = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = {{\left| {3 + 2( - 2) + 3( - 2) - 7} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} .\) Vậy phương trình mặt cầu là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14.\) d) Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\) Ta có \(\eqalign{ & A \in (S) \Rightarrow 1 - 2a + d = 0, \cr & B \in (S) \Rightarrow 1 - 2b + d = 0, \cr & C \in (S) \Rightarrow 1 - 2c + d = 0. \cr} \) Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0\) nên \(a + b + c - 3 = 0.\) Giải hệ \(\left\{ \matrix{ 1 - 2a + d = 0 \hfill \cr 1 - 2b + d = 0 \hfill \cr 1 - 2c + d = 0 \hfill \cr a + b + c - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a = b = c = d = 1.\) Vậy phương trình mặt cầu là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 1 = 0.\) Bài 47 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(2x + y - \sqrt 5 z = 0\) một góc \({60^0}.\) b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A(3;0;0), C(0;0;1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc \({60^0}.\) Giải a) Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng Ax+By=0\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = (A;B;0).\) Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;1; - \sqrt 5 ).\) Theo giả thiết của bài toán : \(\eqalign{ & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = {{\left| {2A + B} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {4 + 1 + 5} }} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \cos {60^0} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2\left| {2A + B} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {{A^2} + {B^2}} \cr & \Leftrightarrow 6{A^2} + 16AB - 6{B^2} = 0. \cr} \) Lấy B = 1 ta có \(6{A^2} + 16A - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{ {A_1} = {1 \over 3} \hfill \cr {A_2} = - 3. \hfill \cr} \right.\) Vậy có hai mặt phẳng (P) : \({1 \over 3}x + y = 0; - 3x + y = 0.\) b) Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mp(Oxy) góc 600 nên (Q) cắt Oy tại điểm B(0;b;0) khác gốc O\( \Rightarrow b \ne 0.\) Khi đó phương trình của mặt phẳng (Q) là : \({x \over 3} + {y \over b} + {z \over 1} = 1\) hay \(bx +3y+ 3bz - 3b = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = (b;3;3b).\) Mặt phẳng (Oxy) có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k (0;0;1).\) Theo giả thiết, ta có \(\eqalign{ & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \cos {60^0} \Leftrightarrow {{\left| {3b} \right|} \over {\sqrt {{b^2} + 9 + 9{b^2}} }} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \left| {6b} \right| = \sqrt {10{b^2} + 9} \Leftrightarrow {b^2} = {9 \over {26}} \Leftrightarrow b = \pm {3 \over {\sqrt {26} }}. \cr} \) Vậy có hai mặt phẳng (Q) : \(\eqalign{ & x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr & x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr} \) Bài 48 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha' \right):x - y + z - 5 = 0.\) b) Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\) Xác định a, b, c để khoảng cách từ O tới mp(ABC) lớn nhất. Giải a) \(M \in Oy \Leftrightarrow M = (0;{y_0};0).\) Vậy : \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = {{\left| {{y_0} + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }},d\left( {M,\left( \alpha ' \right)} \right) = {{\left| { - {y_0} - 5} \right|} \over {\sqrt 3 }}.\) Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha '} \right)} \right)\) \(\Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| {{y_0} + 5} \right| \Leftrightarrow {y_0} = - 3.\) Vậy điểm phải tìm là M(0;-3;0). b) Phương trình mặt phẳng (ABC) là : \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }}.\) Theo bất đẳng thức Cô-si,ta có \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {{a^2}{b^2}{c^2}}}} \) Và \(3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\root 3 \of {{a^2}{b^2}{c^2}} \) Suy ra : \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \ge \sqrt 3 .\) Từ đó suy ra : \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) \le {1 \over {\sqrt 3 }}.\) Dấu = xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2} = 1\) hay \(a=b=c=1\). Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất bằng \({1 \over {\sqrt 3 }}\) khi \(a=b=c=1\) Bài 49 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’. a) Tính thể tích của tứ diện BDA’M. b) Tìm tỉ số \({a \over b}\) để mp(A’BD) vuông góc với mp(MBD). Giải a) Từ giả thiết ta có C=(a;a;0). \(C' = (a;a;b) \Rightarrow M = \left( {a;a;{b \over 2}} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( { - a;a;0} \right);\) \(\overrightarrow {BM} = \left( {0;a;{b \over 2}} \right);\,\,\overrightarrow {BA'} = \left( { - a;0;b} \right)\) \( \Rightarrow \left( {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right]} \right) = \left( {{{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}} \right)\) Vậy \({V_{BDA'M}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right].\overrightarrow {BA'} } \right| = {{{a^2}b} \over 4}.\) b) Mặt phẳng (A’BD) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA'} } \right] = (ab;ab;{a^2}).\) Mặt phẳng (MBD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right] = ({{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}).\) Vì vậy \(\eqalign{ & \left( {MBD} \right) \bot (A'BD) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} - {a^4} = 0 \cr & \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {a^4} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow {a \over b} = 1. \cr & \cr} \) (do \(a > 0,b > 0).\) Bài 50 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hai mặt phẳng song song có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + E = 0\) a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng đó. Giải a) Giả sử \(A \ne 0\), khi đó mặt phẳng thứ nhất cắt trục Ox tại điểm \({M_0},{M_0} = \left( { - {D \over A};0;0} \right).\) Khoảng cách từ \({M_0}\) tới mặt phẳng thứ hai chính là khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó. Vậy \(d = {{\left| { - A.{D \over A} + E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {E - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\) b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với hai mặt phẳng đã cho có phương trình \(Ax + By + Cz + F = 0\left( {F \ne D,F \ne E} \right)\) Để \(\left( \alpha \right)\) cách đều cả hai mặt phẳng đã cho thì \(\eqalign{ & {{\left| {F - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {F - E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}. \cr & \Leftrightarrow \left| {F - D} \right| = \left| {F - E} \right| \Leftrightarrow F - D = \pm \left( {F - E} \right). \cr} \) Vì \(D \ne E,\) nên ta phải có \(F - D = - F + E \Rightarrow F = {{D + E} \over 2}.\) Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là : \(Ax + By + Cz + {{D + E} \over 2} = 0\) Bài 51 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho tứ diện ABCD với A(3;5;-1), B(7;5;3), C(9;-1;5), D(5;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó. Giải Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách đều bốn đỉnh A, B, C, D của hình tứ diện thì : +) Hoặc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện. Có bốn mặt phẳng như vậy. +) Hoặc mp\(\left( \alpha \right)\) chứa hai đường trung bình của tứ diện.Có ba mặt phẳng như vậy. Tóm lại, ta có bảy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài là \(\eqalign{ & x - z - 6 = 0;x + y - 10 = 0;x + 2y - z - 8 = 0;\cr&2x + y - z - 14 = 0; x - y - z - 2 = 0;\cr&2x + y + z - 16 = 0;5x + y - 2z - 28 = 0. \cr} \) Bài 52 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian Oxyz cho hai điểm \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1}),{M_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0.\) Tìm điều kiện cần và đủ để : a) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha \right)\); b) Đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha \right)\); c) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại I sao cho M1 nằm giữa I và M2. d) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại I sao cho M2 nằm giữa I và M1. Giải a) Đường thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không vuông góc với \(\overrightarrow n \left( {A,B,C} \right)\) \(\overrightarrow n \) là vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\), tức là : \(\eqalign{ & \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\overrightarrow n = 0\cr& \Leftrightarrow A({x_2} - {x_1}) + B({y_2} - {y_1}) + C({z_2} - {z_1}) \ne 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow A_1x + B_1y + C_1z + D_1 \neq A_2x + B_2y + C_2z + D_2 \) b) Đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) cắt \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi có một điểm I thuộc\(\left( \alpha \right)\) và chia đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) theo một tỉ số k<0. Gọi \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là tọa độ của điểm I, ta có : \({x_0} = {{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}\) Và \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\). \( \Rightarrow A\left( {{{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}}} \right) + B\left( {{{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}}} \right) + C\left( {{{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}} \right) + D = 0\) \( \Leftrightarrow A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = k(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) \) (*) Vì k < 0 nên điều kiện trên tương đương với điều kiện \( (A_1x + B_1y + C_1z + D_1)(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) < 0 \) c) \({M_1}\) nằm giữa I và \({M_2}\) \( \Leftrightarrow I\) chia đoạn \({M_1}{M_2}\) theo tỉ số k mà 0< k <1. Ta vẫn có điều kiện \(\left( * \right)\), nhưng vì 0< k <1 nên điều kiện đó tương đương với điều kiện: \(0 < {{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \over {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D}} < 1.\) d) Tương tự như trên, ta có điều kiện : \(0 < {{A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \over {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}} < 1.\) Chú ý : Từ kết quả trên ta suy ra kết luận sau: Hai điểm \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({M_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0.\) khi và chỉ khi \( (A_1x + B_1y + C_1z + D_1)(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) > 0 \) Bài 53 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABI). Giải Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ là tâm O của đáy, tia Ox chứa OA, tia Oy chứa OB, tia Oz chứa OS. Khi đó : \(\eqalign{ & A = \left( {{{a\sqrt 2 } \over 2};0;0} \right), \cr & B = \left( {0;{{a\sqrt 2 } \over 2};0} \right) \cr & C = \left( { - {{a\sqrt 2 } \over 2};0;0} \right), \cr & S = (0;0;h) \cr} \) Rõ ràng giao điểm M của SO và AI chính là trọng tâm tam giác SAC nên \(M\left( {0;0;{h \over 3}} \right)\) Mặt phẳng (ABI) cũng chính là mặt phẳng (ABM). Vậy \(mp\left( {ABI} \right)\) có phương trình là : \({x \over {{{a\sqrt 2 } \over 2}}} + {y \over {{{a\sqrt 2 } \over 2}}} + {z \over {{h \over 3}}} = 1.\) Do đó, khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABI) là : \(d = {{\left| {{h \over {{h \over 3}}} - 1} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {{1 \over {{{a\sqrt 2 } \over 2}}}} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over {{{a\sqrt 2 } \over 2}}}} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over {{h \over 3}}}} \right)}^2}} }} = {2 \over {\sqrt {{2 \over {{a^2}}} + {2 \over {{a^2}}} + {9 \over {{h^2}}}} }} \) \(\Rightarrow d = {{2ah} \over {\sqrt {4{h^2} + 9{a^2}} }}.\) Bài 54 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. a) Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC’ và A’B. b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP). c) Tính thể tích tứ diện AMNP. Giải a) Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là đỉnh A’ của hình lập phương, tia Oy chứa A’B’, tia Oy chứa A’D’ và tia Oz chứa AA’. Khi đó A’(0;0;0), B’(1;0;0); D’(0;1;0), A=(0;0;1); C=(1;1;1), B=(1;0;1); D=(0;1;1), C’(1;1;0). Từ đó : \(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} = (1;1; - 1),\overrightarrow {A'B} = (1;0;1) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A'B} = 0 \Rightarrow AC' \bot A'B. \cr} \) b) Ta có \(\eqalign{ & M = \left( {{1 \over 2};0;0} \right),N = \left( {1;{1 \over 2};1} \right),P = \left( {0;1;{1 \over 2}} \right). \cr & \overrightarrow {MN} = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2};1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MN \bot AC'. \cr & \overrightarrow {MP} = \left( { - {1 \over 2};1;{1 \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MP \bot AC'. \cr & \cr} \) Vậy \(AC' \bot mp(MNP).\) c) Ta có : \(\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = \left( { - {1 \over 2};0;1} \right). \cr & \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( { - {3 \over 4}; - {3 \over 4};{3 \over 4}} \right) \cr & \Rightarrow {V_{AMNP}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MA} } \right| \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}.\left| {{9 \over 8}} \right| = {3 \over {16}}. \cr} \)
