Bài 55 trang 130 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình tham số của đường thẳng d, biết : \(\eqalign{ & a)\;d:{{x + 3} \over 2} = {{y - 5} \over { - 3}} = {{z - 1} \over { - 4}}; \cr & b)\;d:{{x + 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z + 1} \over 3}. \cr} \) Giải \(\eqalign{ & a)\;d : \left\{ \matrix{ x = - 3 + 2t \hfill \cr y = 5 - 3t \hfill \cr z = 1 - 4t. \hfill \cr} \right. \cr & b)\;d : \left\{ \matrix{ x = - 3 + 2t \hfill \cr y = 1 + t \hfill \cr z = -1 + 3t. \hfill \cr} \right. \cr} \) Bài 56 trang 130 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d biết : \(\eqalign{ & a)\;d : \left\{ \matrix{ x = 2 + 2t \hfill \cr y = - 1 + 3t \hfill \cr z = - 4 + 3t. \hfill \cr} \right. \cr & b)\;d : \left\{ \matrix{ x = - 1 + t \hfill \cr y = 2 - 4t \hfill \cr z = 3 + 2t. \hfill \cr} \right. \cr} \) Giải \(\eqalign{ & a)\; {{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 4} \over 3}. \cr & b)\;{{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over { - 4}} = {{z - 3} \over 2}. \cr} \) Bài 57 trang 130 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng d biết : a) d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 3y + z = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):x + y - z + 4 = 0\) b) d là giao tuyến của mặt phẳng \(y-2z+3=0\) với mặt phẳng tọa độ (Oyz). Giải a) Cách 1. Điểm M(x; y; z)\( \in d\) khi tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \matrix{ x - 3y + z = 0 \hfill \cr x + y - z + 4 = 0 \hfill \cr} \right.\) Đặt y=t ta có \(\left\{ \matrix{ x + z = 3t \hfill \cr x - z = - 4 - t \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 + t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình tham số của d là : \(\left\{ \matrix{ x = - 2 + t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\) Cách 2. Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y=0 trong hệ \(\left( * \right).\) Ta có hệ \(\left\{ \matrix{ x + z = 0 \hfill \cr x - z = - 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr z = 2. \hfill \cr} \right.\) Vậy điểm \({M_0}( - 2;0;2)\) thuộc đường thẳng d. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {\left| \matrix{ - 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|} \right) = (2;2;4)\) Vậy phương trình tham số của d là \(d:\left\{ \matrix{ x = - 2 + 2t \hfill \cr y = 2t \hfill \cr z = 2 + 4t. \hfill \cr} \right.\) b) Mặt phẳng (Oyz): \(x=0\) tương tự câu a ta tìm được giao tuyến d có phương trình là: \(\;d:\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 3 + 2t \hfill \cr z = t. \hfill \cr} \right.\) Bài 58 trang 130 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hai điểm A(2;4;-1) và B(5;0;7).Viết phương trình tham số của đường thẳng AB, tia AB và đoạn thẳng AB. Giải Giả sử M là một điểm bất kì. Khi đó : M thuộc đường thẳng AB \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = t\overrightarrow {AB} ,t \in\mathbb R;\) M thuộc tia AB\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = t\overrightarrow {AB} ,t \in \left[ {0; + \infty } \right);\) M thuộc đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = t\overrightarrow {AB} ,t \in \left[ {0;1} \right].\) Từ đó suy ra phương trình tham số của đường thẳng AB là \(\left\{ \matrix{ x = 2 + 3t \hfill \cr y = 4 - 4t \hfill \cr z = - 1 + 8t. \hfill \cr} \right.t \in\mathbb R;\) Phương trình tham số của tia AB là \(\left\{ \matrix{ x = 2 + 3t \hfill \cr y = 4 - 4t \hfill \cr z = - 1 + 8t. \hfill \cr} \right.t \in \left[ {0; + \infty } \right);\) Phương trình tham số của đoạn thẳng AB là \(\left\{ \matrix{ x = 2 + 3t \hfill \cr y = 4 - 4t \hfill \cr z = - 1 + 8t. \hfill \cr} \right.t \in \left[ {0;1} \right].\) Bài 59 trang 130 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau đây : a) Đi qua A(2;0;-1) và có vec tơ pháp tuyến chỉ phương \(\overrightarrow u = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k .\) b) Đi qua A(-2;1;2) và song song với trục Oz. c) Đi qua A(2;3;-1) và B(1;2;4). d) Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr z = 3 + 2t. \hfill \cr} \right.\) e) Đi qua A(1;2;-1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):2x - y + 5z - 4 = 0\). g) Đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x +2 y - 2z + 1 = 0\). h) Đi qua A(2;-1;1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} ( - 1;1; - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} (1; - 2;0).\) Giải \(\eqalign{ & a)\;\left\{ \matrix{ x = 2 - t \hfill \cr y = 3t \hfill \cr z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {{x - 2} \over { - 1}} = {y \over 3} = {{z + 1} \over 5}. \cr & b)\;\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = 2 + t. \hfill \cr} \right. \cr & c)\;\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 3 + t \hfill \cr z = - 1 - 5t \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 1} = {{z + 1} \over { - 5}}. \cr & d)\;\left\{ \matrix{ x = 4 + 2t \hfill \cr y = 3 - 3t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {{x - 4} \over 2} = {{y - 3} \over { - 3}} = {{z - 1} \over 2}. \cr} \) e) Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là : \(\overrightarrow u = \left( {\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right)\) \(= (4; - 7; - 3).\) Vậy phương trình đường thẳng là \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 4t \hfill \cr y = 2 - 7t \hfill \cr z = - 1 - 3t. \hfill \cr} \right.\) g) Vectơ chỉ phương của đường thẳng là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_\alpha }} = (1;2; - 2).\) Vậy phương trình là : \(\left\{ \matrix{ x = - 2 + t \hfill \cr y = 1 + 2t \hfill \cr z = - 2t. \hfill \cr} \right.\) h) Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là : \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) \(= \left( {\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 2 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 2 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= ( - 4; - 2;1).\) Vậy phương trình của nó là \(\left\{ \matrix{ x = 2 - 4t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\) Bài 60 trang 131 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:{{x - {x_0}} \over a} = {{y - {y_0}} \over b} = {{z - {z_0}} \over z}\) trên các mặt phẳng toạ độ. Giải Ta có thể viết phương trình đường thẳng d dưới dạng \(\left\{ \matrix{ x = {x_0} + at \hfill \cr y = {y_0} + bt \hfill \cr z = {z_0} + ct \hfill \cr} \right.\) Mỗi điểm \(M(x;y;z) \in d\) có hình chiếu trên mp(Oxy) là điểm \(M’(x;y;0) \in d'\) với d’ là hình chiếu của d trên mp(Oxy). Vậy d' có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ x = {x_0} + at \hfill \cr y = {y_0} + bt \hfill \cr z = 0. \hfill \cr} \right.\) Tương tự, ta có phương trình hình chiếu của d trên mp(Oxz), mp(Oyz) lần lượt là : \(\left\{ \matrix{ x = {x_0} + at \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = {z_0} + ct \hfill \cr} \right.;\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = {y_0} + bt \hfill \cr z = {z_0} + ct. \hfill \cr} \right.\) Bài 61 trang 131 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d : \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 2 + 3t \hfill \cr z = 3 + t \hfill \cr} \right.\) trên mỗi mặt phẳng sau : \(mp(Oxy),mp(Oxz),mp(Oyz),\) \(mp\left( \alpha \right):x + y + z - 7 = 0.\) b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\left\{ \matrix{ x = {7 \over 2} + 3t \hfill \cr y = - 2t \hfill \cr z = - 2t \hfill \cr} \right.\) Trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 2z - 2 = 0.\) Giải a) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 2 + 3t \hfill \cr z = 0. \hfill \cr} \right.\) \( * \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oxz) là \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 3 + t. \hfill \cr} \right.\) \( * \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oyz) là \(\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 2 + 3t \hfill \cr z = 3 + t. \hfill \cr} \right.\) \( * \) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên \(mp\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\), trong đó \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;3;1),\) vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1;1;1).\) Vậy vec tơ pháp tuyến của \(\left( \beta \right)\) là : \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 2 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= (2; - 1; - 1).\) Điểm \({M_0}\left( {1; - 2;3} \right)\) thuộc d và cũng thuộc \((\beta)\), do đó phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là: \(\eqalign{ & 2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x - y - z - 1 = 0 \cr} \) Vậy hình chiếu của d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\beta)\) và \((\alpha)\) có phương trình lần lượt là: \(x+y+z-7=0\) và \(2x-y-z-1=0\). Suy ra phương trình tham số của d là: \(\left\{ \matrix{ x = {8 \over 3} \hfill \cr y = {{13} \over 3} - t \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) b) Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \((\alpha)\) thì \((\beta)\) có phương trình là: \((\beta ):2x + y + 2z - 7 = 0\) Khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của \((\alpha):x+2y-2z-2=0\) và \((\beta ):2x + y + 2z - 7 = 0\). Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d là: \({{x - 4} \over 2} = {{y + 1} \over { - 2}} = {z \over { - 1}}\) Bài 64 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn đường thẳng : \(\eqalign{ & {d_1}:{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {z \over { - 2}},\cr&{d_2}:{{x - 2} \over 2} = {{y - 2} \over 4} = {z \over { - 4}}. \cr & {d_3}:{x \over 2} = {y \over 1} = {{z - 1} \over 1},{d_4}:{{x - 2} \over 2} = {y \over 2} = {{z - 1} \over { - 1}}. \cr} \) a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. b) Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d. Giải a) Đường thẳng d1 đi qua điểm M1 ( 1 ; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2; -2). Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(2 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (2 ; 4 ; -4). Rõ ràng \(\overrightarrow {{u_2}} \)= 2\(\overrightarrow {{u_1}} \) nên d1, d2 cùng nằm trên một mặt phẳng, ta gọi là mp(\(\alpha \)) Ta có vectơ pháp tuyến của mp(\(\alpha \)) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]= (0 ; -2 ; -2)\). Vậy phương trình mặt phẳng (\(\alpha \)) là: \(0(x - 1) - 2(y - 2) - 2(z - 0) = 0\) (\(\alpha ): y + z - 2 = 0.\) b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d3 và mp(\(\alpha \)). Toạ độ của A thoả mãn hệ \(\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t \hfill \cr y + z - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = {1 \over 2}\) Suy ra A= \(\left( {1;{1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\) Gọi B là giao điểm của đường thẳng d4 và mp(\(\alpha \)). Tương tự như trên, ta có B = (4 ; 2 ; 0). Đường thẳng AB nằm trong (\(\alpha \)) cắt cả d3 và d4. Mặt khác \(\overrightarrow {AB} \) =\(\left( {3;{3 \over 2}; - {3 \over 2}} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2 ; -2). Do đó AB cắt cả d] và d2. Vậy AB chính là đường thẳng d cần tìm. \(d:{{x - 4} \over 2} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 1}}\) Bài 65 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2). b) Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy và điểm A(1;1;0). Giải a) Điểm M(x ; y ; z) cách đều ba điểm A, B, C khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ M{A^2} = M{B^2} \hfill \cr M{A^2} = M{C^2} \hfill \cr} \right.\) Vậy tập hợp điểm M(x; y; z) là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình (1) và (2). Đường thẳng đó có phương trình là: \(\left\{ \matrix{ x = - 8 - 3t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 15 + 7t \hfill \cr} \right.\) Nó chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Xét điểm M(x ; y ; z). Khi đó khoảng cách dx từ M tới trục Ox là \({d_x} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \sqrt {{y^2} + {z^2}} .\) khoảng cách dy từ M tới trục Oy là \({d_y} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow j } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} .\) Mặt khác \(MA = \sqrt {{{(x - {\rm{ 1}})}^2} + {\rm{ }}{{\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ 1}}} \right)}^2} + {\rm{ }}{z^2}.} \) Vậy M là một điểm của quỹ tích khi \(\left\{ \matrix{ {y^2} + {z^2} = {x^2} + {z^2} \hfill \cr {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y) + 2 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} = {y^2} (1) \hfill \cr {x^2} - 2(x + y) + 2 = 0. (2) \hfill \cr} \right.\) Từ (1) suy ra x = y hoặc x = -y. Khi x = y, phương trình (2) có dạng: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 .\) Trong trường hợp này, quỹ tích M là những điểm (x; y; z) mà: \(\left\{ \matrix{ x = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) (3) và \(\left\{ \matrix{ x = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\) (4) Khi \(x = - y\), phương trình (2) trở thành: \({x^2} + 2 = 0\). Điều này không xảy ra. Vậy quỹ tích cầm tìm là hai đường thẳng có phương trình (3) và (4) Bài 66 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\),trong đó \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng : \(\left( \alpha \right):2x + y + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):x - y + z - 1 = 0.\) \(\Delta '\) là giao tuyến của hai mặt phẳng : \(\left( {\alpha '} \right):3x + y - z + 3 = 0\) và \(\left( {\beta '} \right):2x - y + 1 = 0.\) a) Chứng minh \(\Delta \) và \(\Delta '\) cắt nhau. b) Viết phương trình chính tắc của các đường phân giác của các góc tạo bởi \(\Delta \) và \(\Delta '\). Giải a) Giải hệ gồm phương trình các mặt phẳng xác định \(\Delta \) và \(\Delta '\), ta có một nghiệm duy nhất. \(\left\{ \matrix{ x = - {1 \over 2} \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = {3 \over 2}. \hfill \cr} \right.\) Vậy \(\Delta \) và \(\Delta '\) cắt nhau tại điểm \(I\left( { - {1 \over 2};0;{3 \over 2}} \right)\). b) Ta chọn một điểm thuộc \(\Delta \), có thể lấy \(A = \left( {0; - 1;0} \right) \in \Delta .\) Chọn một điểm thuộc \(\Delta '\), có thể lấy \(B = \left( {0;1;4} \right) \in \Delta '.\) Khi đó, vectơ chỉ phương đơn vị của \(\Delta \) là \(\overrightarrow e = {{\overrightarrow {IA} } \over {\left| {\overrightarrow {IA} } \right|}}\). vectơ chỉ phương đơn vị của \(\Delta '\) là \(\overrightarrow e = {{\overrightarrow {IB} } \over {\left| {\overrightarrow {IB} } \right|}}\). Suy ra \(\overrightarrow {{e_1}} = \left( {{1 \over {\sqrt {14} }};{{ - 2} \over {\sqrt {14} }};{{ - 3} \over {\sqrt {14} }}} \right)\) \(\overrightarrow {{e_2}} = \left( {{1 \over {\sqrt {30} }};{2 \over {\sqrt {30} }};{5 \over {\sqrt {30} }}} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} \),\(\overrightarrow {{e_1}} - \overrightarrow {{e_2}} \) là các vectơ chỉ phương của cặp đường phân giác của các góc tạo bởi \(\Delta \) và \(\Delta '\). Vậy phương trình chính tắc của cặp đường phân giác là : \(\eqalign{ & \;\;\;\;\;{{x + {1 \over 2}} \over {{1 \over {\sqrt {14} }} + {1 \over {\sqrt {30} }}}} = {y \over {{{ - 2} \over {\sqrt {14} }} + {2 \over {\sqrt {30} }}}} = {{z - {3 \over 2}} \over {{{ - 3} \over {\sqrt {14} }} + {5 \over {\sqrt {30} }}}} \cr &\text{và}\cr& \;\;\;\;\;{{x + {1 \over 2}} \over {{1 \over {\sqrt {14} }} - {1 \over {\sqrt {30} }}}} = {y \over {{{ - 2} \over {\sqrt {14} }} - {2 \over {\sqrt {30} }}}} = {{z - {3 \over 2}} \over {{{ - 3} \over {\sqrt {14} }} - {5 \over {\sqrt {30} }}}} \cr} \) Bài 67 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Tính khoảng cách từ điểm M0 tới đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau : \(a)\;{M_0}(2;3;1),d:{{x + 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 1} \over { - 2}}.\) \(b)\;{M_0}(2;3; - 1),\) d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - 2z - 1 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):x + 3y + 2z + 2 = 0;\) \(\eqalign{ & c)\;{M_0}(1;2;1),d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = {{z + 3} \over 1}. \cr & d)\;{M_0}(1;0;0),d:{{x - 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {z \over 1}. \cr} \) Giải a) Đường thẳng d đi qua điểm M (-2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right).\) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} {\rm{ }} = \left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right)\) \({\rm{ }}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( { - 8{\rm{ }};{\rm{ }}10{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {{M_o},d} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{{( - 8)}^2} + {{10}^2} + {6^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} \) \(= {{\sqrt {200} } \over 3} = {{10\sqrt 2 } \over 3}\) b) Ta xác định được một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u \)= (4 ; -2 ; 1). Mặt phẳng (\(\alpha \)) đi qua Mo(2 ; 3 ; -1) và vuông góc với d có phương trình \(4(x - 2) - 2(y - 3) + 1(z+ 1) = 0\) \(\Leftrightarrow 4x - 2y + z - 1=0.\) Gọi H là giao điểm của d và (\(\alpha \)). Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ : \(\left\{ \matrix{ 4x - 2y + z - 1 = 0 \hfill \cr x + y - 2z - 1 = 0 \hfill \cr x + 3y + 2z + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H = \left( {{3 \over {14}}; - {5 \over {14}}; - {8 \over {14}}} \right)\). Khi đó \(d({M_o},d) = M_oH \) \(= \sqrt {{{\left( {2 - {3 \over {14}}} \right)}^2} + {{\left( {3 + {5 \over {14}}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + {8 \over {14}}} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{{2870} \over {{{14}^2}}}} = \sqrt {{{205} \over {14}}} \) c) \(d\left( {{M_o},d} \right) = {{\sqrt {9022} } \over {26}}.\) d) \(d\left( {{M_o},d} \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}.\) Bài 68 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;0;1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1;3)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình 2x+y-z+5=0. Chứng minh d song song với \(\left( \alpha \right)\). Tính khoảng cách giữa d và \(\left( \alpha \right)\). Giải Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u \) = (1; 1; 3), vec tơ pháp tuyến của mp(\(\alpha \)) là \(\overrightarrow n \) = (2; 1; -1). Vì \(\overrightarrow n \).\(\overrightarrow u \) = 0 nên \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow u \). Dễ thấy \(M \notin (\alpha ).\) Do đó \(d\) // (\(\alpha \)). Khoảng cách từ M tới (\(\alpha \)) bằng khoảng cách giữa d và \((\alpha )\) nên \(d(d,(\alpha )) = {{\left| { - 1 + 5} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}.\) Bài 69 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau : \(\eqalign{ & a)\;\;{d_1}:\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right.,{d_2}:\left\{ \matrix{ x = 2 - 3{t'} \hfill \cr y = - 2 + 3{t'} \hfill \cr z = 3{t'}. \hfill \cr} \right. \cr & b)\;\;{d_1}:{{x - 1} \over 2} = {{y + 3} \over 1} = {{z - 4} \over -2},\cr&\;\;\;\;\;{d_2}:{{x + 2} \over { - 4}} = {{y - 1} \over { - 2}} = {{z + 1} \over 4}; \cr & c)\;\;{d_1}:{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {{z - 3} \over 3},\cr&\;\;\;\;\;\;{d_2}:\left\{ \matrix{ x = 2 - t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.; \cr} \) d) \({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 3y - 4 = 0\) và \( \left( {\alpha '} \right):y + z - 4 = 0; \) \( {d_2}:\left\{ \matrix{ x = 1 + 3t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right. \) Giải a) Đường thẳng d1 đi qua điểm Mo( 1 ; -1 ; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) = (1 ; -1 ; 0). Đường thẳng d2 đi qua điểm M'o (2 ; - 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u '}\) = (-1 ; 1 ; 1). Vì \(\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} \) = (1 ; -1 ; -1) = \( - \overrightarrow {u'} \) nên hai đường thẳng đó cắt nhau, do đó khoảng cách giữa chúng bằng 0. b) Hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này tới đường thẳng kia. c) Cách 1. Đường thẳng d1 đi qua Mơ( 1 ; 2 ; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) (1 ; 2 ; 3). Đường thẳng d2 đi qua M'0 (2 ; -1 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (-1 ; 1 ; 1). Khoảng cách giữa d1 và d2 là \(d({d_1},{d_2}) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over {13}}.\) Cách 2. Gọi (\(\alpha \)) là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Khi đó, (\(\alpha \)) đi qua M'0 (2 ; - 1 ; 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) = (-1 ; -4 ; 3). Phương trình của mp(\(\alpha \)) là : x + 4y - 3z + 2 = 0 Vậy \(d({d_1},{d_2}) = d({M_0},(\alpha )) = {{\left| {1 + 4.2 - 3.3 + 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 16 + 9} }} = {{\sqrt {26} } \over {13}}.\) d) \(d({d_1},{d_2}) = \sqrt {13} .\) Bài 72 trang 134 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Tìm tọa độ hình chiếu ( vuông góc ) của điểm \({M_0}(1; - 1;2)\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + 12 = 0.\) b) Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). Tìm tọa độ hình chiếu của D trêm mặt phẳng (ABC). c) Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1). Tìm tọa độ hình chiếu của gốc O trên mặt mp(ABC). Giải a) Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0(1 ; -1 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha \)) là : \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\) Gọi M'0(x ; y ; z) là hình chiếu của M0 trên mp(\(\alpha \)). Toạ độ của M'0 thoả mãn hệ : \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr 2x - y + 2z + 12 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = - {{19} \over 9}.\) Vậy \(M{'_0} = \left( { - {{29} \over 9};{{10} \over 9}; - {{20} \over 9}} \right).\) b) \(\overrightarrow {AB} \) = (-1 ; 2 ; -3), \(\overrightarrow {AC} \) = (-3 ; 4 ; 1) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)= (14 ; 10 ; 2). Lấy một vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n \)= (7 ; 5 ; 1), ta có phương trình của mặt phẳng (ABC): 7x + 5y + z - 37 = 0. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC) có phương trình : \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 7t \hfill \cr y = 1 + 5t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\) Toạ độ hình chiếu D’ của D trên mp(ABC) thoả mãn hệ \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 7t \hfill \cr y = 1 + 5t \hfill \cr z = 1 + t \hfill \cr 7x + 5y + z - 37 = 0. \hfill \cr} \right.\) Suy ra D’ = \(\left( {{{81} \over {25}};{{13} \over 5};{{13} \over {25}}} \right).\) c) Tương tự ta có hình chiếu của O trên (ABC) là: \(\left( {{3 \over {34}};{2 \over {17}}; - {3 \over {34}}} \right).\) Bài 73 trang 134 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M0(2;-3;1) qua mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 3y - z + 2 = 0.\) b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A(0;0;1) qua mặt phẳng \(6x + 3y + 2z - 6 = 0.\) c) Tìm tọa độ điểm đối xứng của B(2;3;5) qua mặt phẳng \(2x + 3y + z - 17 = 0.\) Giải a) Trước hết, ta xác định hình chiếu vuông góc H của M0 trên (\(\alpha \)). Gọi d là đường thẳng qua M0 và vuông góc với (\(\alpha \)), ta có \(d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = - 3 + 3t \hfill \cr z = 1 - t. \hfill \cr} \right.\) Toạ độ điểm H(x; y; z) thoả mãn hệ : \(\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = - 3 + 3t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr x + 3y - z + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H = \left( {{{28} \over {11}}; - {{15} \over {11}};{5 \over {11}}} \right).\) Gọi M' là điểm đối xứng của M0 qua mặt phẳng (\(\alpha \)) thì H là trung điểm của M0M' nên ta có : \(\left\{ \matrix{ {{{x_{M'}} + 2} \over 2} = {{28} \over {11}} \hfill \cr {{{y_{M'}} - 3} \over 2} = - {{15} \over {11}} \hfill \cr {{{z_{M'}} + 1} \over 2} = {5 \over {11}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow M' = \left( {{{34} \over {11}};{3 \over {11}}; - {1 \over {11}}} \right).\) Tương tự b) \(A' = \left( {{{48} \over {49}};{{24} \over {49}};{{65} \over {49}}} \right).\) c) \(B' = \left( {{{12} \over 7};{{18} \over 7};{{34} \over 7}} \right).\) Bài 74 trang 134 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) và \(mp\left( \alpha \right):2x - y + z + 1 = 0.\) Tìm tọa độ điểm M trên \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. b) Cho hai điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và \(mp\left( \alpha \right):x + y + z + 3 = 0.\) Tìm điểm M trên \(\left( \alpha \right)\) để \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giải a) \(\eqalign{ & P(A) = 2.3 - 1 + 0 + 1 = 6 \cr & P(B) = 2.( - 9) - 4 + 9 + 1 = - 12 \cr & P(A).P(B) = 6.\left( { - 12} \right) < 0 \cr} \) Do đó hai điểm A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng \((\alpha )\). Gọi A' là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (\(\alpha \)), ta có : \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\) (không đổi). Dấu "=" xảy ra khi A' nằm giữa hai điểm B, M hay M là giao điểm của đường thẳng A'B với mp(\(\alpha \)). Vậy bài toán được giải theo trình tự sau * Xác định điểm A' đối xứng với điểm A qua mp(\(\alpha \)), Ta tìm được A' = (-1 ; 3 ; -2). * Tìm giao điểm M của đường thẳng A'B với mp(\(\alpha \)). Đường thẳng A'B có phương trình: \(\left\{ \matrix{ x = - 1 + 8t \hfill \cr y = 3 - t \hfill \cr z = - 2 - 11t. \hfill \cr} \right.\) Toạ độ điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ: \(\left\{ \matrix{ x = - 1 + 8t \hfill \cr y = 3 - t \hfill \cr z = - 2 - 11t \hfill \cr 2x - y + z + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M = (7;2; - 13).\) Vậy \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất khi \(M = (7;2; - 13).\) b) Gọi I là trung điểm của đoạn \(AB \Rightarrow I = (5;2;5).\) Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MI.\) Vậy \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) MI nhỏ nhất với I cố định và \(M \in (\alpha ) \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc với I trên mp(\(\alpha \)). Toa độ của \(M(x;y;z)\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x = 5 + t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 5 + t \hfill \cr x + y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = - 5 \Rightarrow M = (0; - 3;0).\) Kết luận: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất \( { = 2MI = 10\sqrt 3 } \) khi M= (0; -3; 0). Bài 75 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Cho ba điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4). Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC. b) Cho đường thẳng \(d:{{x + 2} \over 3} = {{y + 2} \over 2} = {z \over { - 1}}\) và điểm \({M_0}(4; - 3;2).\) Tìm tọa độ hình chiếu H của M0 trên đường thẳng d. Giải a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (1; - 1;7).\) Phương trình đường thẳng BC là \(\left\{ \matrix{ x = 4 + t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = - 3 + 7t. \hfill \cr} \right.\) Phương trình mp(\(\alpha \)) đi qua A và vuông góc với BC là: \(1\left( {x + 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 7\left( {z - 2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x - y + 7z - 10 = 0.\) Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC thì tọa độ của H(x; y; z) thoả mãn hệ: \(\left\{ \matrix{ x = 4 + t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = - 3 + 7t \hfill \cr x - y + 7z - 10 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {{{231} \over {51}}; - {{27} \over {51}};{{36} \over {51}}} \right).\) b) \(H = \left( {1;0; - 1} \right).\) Bài 76 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng : \(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.\) b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}( - 3;1; - 1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - 3y - 13 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):y - 2z + 5 = 0.\) c) Tìm độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):y + z - 4 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):2x - y - z + 2 = 0.\) Giải a) Phương trình mặt phẳng qua điểm \({M_O}(2; - 1;1)\) và vuông góc với đường thẳng d đã cho là \(2(x - 2) + \left( { - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 2x - y + 2z - 7 = 0.\) Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trên, ta có: \(H = \left( {{{17} \over 9}; - {{13} \over 9};{8 \over 9}} \right).\) Gọi \({M_0}'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \({M_o}\) qua đường thẳng d thì H là trung điểm của đoạn thẳng\({M_o}{M_o}'\) . Do đó \(\left\{ \matrix{ {{x + 2} \over 2} = {{17} \over 9} \hfill \cr {{y - 1} \over 2} = - {{13} \over 9} \hfill \cr {{z + 1} \over 2} = {8 \over 9}. \hfill \cr} \right.\) Vậy \({M_o}' = \left( {{{16} \over 9}; - {{17} \over 9};{7 \over 9}} \right).\) b) Ta xác định được vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;2} \right).\) Khi đó phương trình mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d là : \(\left( \alpha \right):3x + 4y + 2z + 7 = 0.\) Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\), ta có \({H}= \left( {1; - 3;1} \right).\) Gọi \(M_o'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng của \({M_o}\) qua d, ta có \(M_o' = (5; - 7;3).\) c) Ta xác định vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {\left| {\matrix{ 1 & 1 \cr { - 1} & { - 1} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & 0 \cr { - 1} & 2 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & 1 \cr 2 & { - 1} \cr } } \right|} \right)\) \(= \left( {0;2; - 2} \right).\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d, khi đó \(\left( \alpha \right)\) có phương trình: \(y - z + 2 = 0.\) Gọi H là giao điểm của d với mp\(\left( \alpha \right)\), toa độ của \(H(x;y;z)\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ y + z - 4 = 0 \hfill \cr 2x - y - z + 2 = 0 \hfill \cr y - z + 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H = \left( {1;1;3} \right).\) Từ đó, điểm \(M_o'\) đối xứng với \({M_o}\) qua d là \(M_o' = \left( {0;3;5} \right).\) Bài 77 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau : \(\eqalign{ & a)\;\;d:{{x - 2} \over 2} = {{y - 3} \over 3} = {{z + 4} \over { - 5}},\cr&\;\;\;\;\;d':{{x + 1} \over 3} = {{y - 4} \over { - 2}} = {{z - 4} \over { - 1}}; \cr & b)\;\;d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 - t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr} \right.,d':\left\{ \matrix{ x = 2 - 2t'. \hfill \cr y = 3 \hfill \cr z = t'. \hfill \cr} \right. \cr} \) Giải a) Cách 1: Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; - 5} \right),\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3; - 2; - 1} \right).\) Khi đó vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right)\) nên đường vuông góc chung \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right).\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d và \(\Delta \) thì \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_o}(2;3; - 4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {8, - 7, - 1} \right).\) Có phương trình của mp\(\left( \alpha \right)\) là: \(8\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 3} \right) - 1\left( {z + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x - 7y - z + 1 = 0.\) Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng chứa \(d'\) và \(\Delta \) thì \(\left( \beta \right)\) đi qua điểm \(M_o'\left( { - 1;4;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {1;4; - 5} \right).\) Phương trình của mp\(\left( \beta \right)\) là :\(1\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y - 4} \right) - 5\left( {z - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 4y - 5z + 5 = 0.\) Vậy đường vuông góc chung \(\Delta \) của \(d\) và \(d'\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) . Nó có phương trình tham số là: \(\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\) Cách 2: Điểm \(M \in d\) có toa độ là \(M = \left( {2 + 2t;3 + 3t; - 4 - 5t} \right).\) Điểm \(N \in d'\) có toa độ là \(N = \left( { - 1 + 3t';4 - 2t';4 - t'} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 3 + 3t' - 2t;1 - 2t' - 3t;8 - t' + 5t} \right).\) MN là đường vuông góc chung của \(d\) và \(d'\) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0 \hfill \cr} \right.\) Suy ra \(M = \left( {0;0;1} \right),N = \left( {2;2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;2;2} \right).\) Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung \(\Delta \) là \({x \over 1} = {y \over 1} = {{z - 1} \over 1}.\) b) \({{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 5} = {z \over 2}.\) Bài 78 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’. a) Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD). b) Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. Tính góc giữa hai mặt phẳng (PAI) và (DCC’D’). Giải a) Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc toa độ là A, Tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’(h.103). Khi đó \(\eqalign{ & A = \left( {0;0;0} \right),B = \left( {1;0;0} \right) \cr & D = \left( {0;1;0} \right),A' = \left( {0;0;1} \right) \cr & C = \left( {1;1;0} \right),B' = \left( {1;0;1} \right) \cr & C' = \left( {1;1;1} \right),D' = \left( {0;1;1} \right). \cr} \) Suy ra \(\overrightarrow {A'B} = \left( {1;0; - 1} \right)\) \(\overrightarrow {B'D} = \left( { - 1; 1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'D} } \right] = \left( {1;2;1} \right).\) \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;0;0} \right)\) \(d\left( {A'B,B'D} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'D} } \right].\overrightarrow {A'B'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'D} } \right]} \right|}} = {1 \over {\sqrt 6 }}.\) Ta lại có : \(\eqalign{ & \cr & P = \left( {0;{1 \over 2};1} \right),I = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2};0} \right),\cr&\overrightarrow {IP} = \left( { - {1 \over 2};0;1} \right). \cr & \overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AP} = \left( {0;{1 \over 2};1} \right) \cr} \) Suy ra \(d\left( {PI,AC'} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {IP} ,\overrightarrow {AC'} } \right].\overrightarrow {AP} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {IP} ,\overrightarrow {AC'} } \right]} \right|}} = {{\sqrt {14} } \over {28}}.\) b) Ta có \(M = \left( {1;0;{1 \over 2}} \right),N = \left( {{1 \over 2};1;0} \right)\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {MP} = \left( { - 1;{1 \over 2};{1 \over 2}} \right),\overrightarrow {NC'} = \left( {{1 \over 2};0;1} \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {NC'} = 0 \Rightarrow MP \bot NC'. \cr} \) Mặt phẳng (PIA) có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}; - {1 \over 4}} \right).\) Mặt phẳng (DCC’D’) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;1;0} \right).\) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng trên thì \(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {AD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|}} = {2 \over 3}.\) Bài 79 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD. a) Tính khoảng cách từ đỉnh A tới mặt phẳng (BCM) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, CN. b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). c) Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mặt phẳng (BCM). Giải Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là điểm A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa SA (h. 104). Khi đó \(\eqalign{ & A = \left( {0;0;0} \right),B = \left( {a;0;0} \right), \cr & C = \left( {a;a;0} \right),D = \left( {0;a;0} \right), \cr & S = \left( {0;0;2a} \right),M\left( {0;0;a} \right), \cr & N = \left( {0;{a \over 2};a} \right). \cr} \) a) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;a;0} \right),\) \(\overrightarrow {BM} = \left( { - a;0;a} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BM} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ a & 0 \cr 0 & a \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & 0 \cr a & { - a} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & a \cr { - a} & 0 \cr } } \right|} \right)\) \(= \left( {{a^2};0;{a^2}} \right).\) Do đó, mặt phẳng (BCM) có vectơ pháp tuyến là (1; 0; 1), suy ra phương trình mặt phẳng (BCM) là: \(1\left( {x - a} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z -a= 0.\) Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCM) \(d\left( {A,\left( {BCM} \right)} \right) = {{\left| { - a} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = {a \over {\sqrt 2 }}.\) Ta lại có: \(\overrightarrow {BS} = \left( { - a;0;2a} \right),\overrightarrow {CN} = \left( { - a; - {a \over 2};a} \right),\) \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;a; - 2a} \right).\) Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right] \) \(= \left( {\left| {\matrix{ 0 & {2a} \cr { - {a \over 2}} & a \cr } } \right|;\left| {\matrix{ {2a} & { - a} \cr a & { - a} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - a} & 0 \cr { - a} & { - {a \over 2}} \cr } } \right|} \right) \) \(= \left( {{a^2}; - {a^2};{{{a^2}} \over 2}} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {SC} = {a^3} - {a^3} - {a^3} = - {a^3}.\) Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CN là \(d\left( {SB,CN} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {CN} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right]} \right|}} \) \(= {{\left| { - {a^3}} \right|} \over {\sqrt {{a^4} + {a^4} + {{{a^4}} \over 4}} }} = {{{a^3}} \over {{{3{a^2}} \over 2}}} = {{2a} \over 3}.\) b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;2{a^2};{a^2}} \right)\) nên mp(SCD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;2;1} \right).\) Vì \(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {2{a^2};0;{a^2}} \right)\) nên mp(SBC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = \left( {2;0;1} \right).\) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC), ta có \(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = {1 \over 5}.\) c) \({V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{a^2}.2a = {2 \over 3}{a^3}.\) Vì M là trung điểm của SA suy ra \(d\left( {S,\left( {BCM} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCM} \right)} \right) = {a \over {\sqrt 2 }}.\) Hình chóp S.ABCD bị mp(BCM) chia làm 2 phần, trong đó có một phần là hình chóp S.BCNM. Hình chóp này có đường cao bằng \(d\left( {S,\left( {BCM} \right)} \right) = {a \over {\sqrt 2 }}\) và đáy là hình thang BCNM có diện tích bằng \({1 \over 2}\left( {a + {a \over 2}} \right)a\sqrt 2 = {{3\sqrt 2 {a^2}} \over 4}.\) Suy ra: \({V_{S.BCNM}} = {1 \over 3}.{{3\sqrt 2 {a^2}} \over 4}.{a \over {\sqrt 2 }} = {{{a^3}} \over 4}.\) Vậy tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mp(BCM) là: \({{{{{a^3}} \over 4}} \over {{{2{a^3}} \over 3} - {{{a^3}} \over 4}}} = {3 \over 5}.\) Bài 80 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. a) Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z + 1 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):x - y + z - 1 = 0;\) Và cho hai mặt phẳng \(\eqalign{ & \left( {{P_1}} \right):x + 2y + 2z + 3 = 0 \cr & \left( {{P_2}} \right):x + 2y + 2z + 7 = 0 \cr} \) Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1) và (P2). b) Cho đường thẳng \(d:{x \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z + 1} \over 2}\) và hai mặt phẳng \(\eqalign{ & \left( {{P_1}} \right):x + y - 2z + 5 = 0 \cr & \left( {{P_2}} \right):2x - y + z + 2 = 0 \cr} \) Giải a) Ta nhận thấy mp(\({P_1}\)) song song với mp(\({P_2}\)). Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với mp(\({P_1}\)). Tọa độ (x; y; z) của A là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x + y + z + 1 = 0 \hfill \cr x - y + z - 1 = 0 \hfill \cr x + 2y + 2z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\) Suy ra \(A = \left( {1; - 1; - 1} \right).\) Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với mp(\({P_2}\)). Toa độ (x; y; z) của B là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x + y + z + 1 = 0 \hfill \cr x - y + z - 1 = 0 \hfill \cr x + 2y + 2z + 7 = 0 \hfill \cr} \right.\) Suy ra \(B = \left( {5; - 1; - 5} \right).\) Tâm I của mặt cầu phải tìm là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó \(I = \left( {3; - 1; - 3} \right)\). Bán kính của mặt cầu phải tìm là \(R = d\left( {I,\left( {{P_1}} \right)} \right) = {{\left| {3 - 2 - 6 + 3} \right|} \over {\sqrt 9 }} = {2 \over 3}.\) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {4 \over 9}.\) b) Gọi \(I = \left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu cần tìm, do \(I \in d\) nên \({a \over 2} = {{b - 1} \over 1} = {{c + 1} \over 2} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a - 2b + 2 = 0 \hfill \cr a - c - 1 = 0. \hfill \cr} \right.\) Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với cả mp(\({P_1}\)) và mp(\({P_2}\)) nên: \(d\left( {I,\left( {{P_1}} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {{P_2}} \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow {{\left| {a + b - 2c + 5} \right|} \over {\sqrt 6 }} = {{\left| {2a - b + c + 2} \right|} \over {\sqrt 6 }} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a - 2b + 3c = 3 \hfill \cr 3a - c = - 7. \hfill \cr} \right.\) Kết hợp với điều kiện trên ta có: Vậy có 2 mặt cầu có tâm nằm trên \(d\) và tiếp xúc với \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) , chúng có phương trình là \(\eqalign{ & {\left( {x - {8 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y - {7 \over 3}} \right)^2} + {\left( {z- {5 \over 3}} \right)^2} = {{200} \over {27}}; \cr & {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {{50} \over 3}. \cr} \) Bài 81 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;0;1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (0;1;0)\) và đường thẳng d2 đi qua điểm M2(0;0;-1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (1;0;0).\) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ và cách đều d1, d2. Giải Với điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) bất kì, ta tính được các khoảng cách từ \(M\) tới \({d_1}\) và \({d_2}\) là: \({h_1} = \sqrt {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + {x^2}} ,\) \({h_2} = \sqrt {{{\left( {z + 1} \right)}^2} + {y^2}} .\) M cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\) khi và chỉ khi \({h_1} = {h_2}\) \(\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {{{\left( {z + 1}\right)}^2} + {y^2}} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} - 2z = {y^2} + 2z \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 4z. \cr} \) Xét trường hợp sau: +) \(M \in \) mp\(\left( {Oxy} \right)\) khi đó \(z = 0\) suy ra \({x^2} - {y^2} = 0.\) Vậy quỹ tích điểm M là cặp đường thẳng \(y = \pm x\) nằm trong mặt phẳng \(z = 0\). +) M \( \in \) mp(Oyz), tức là x = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol y2 = -4z nằm trong mặt phẳng x = 0. +) M \( \in \) mp(Oxz), tức là y = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol x2 = 4z nằm trong mặt phẳng y = 0. Bài 82 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,ABC \ne 0\) và điểm M0(x0,y0,z0) không thuộc \(\left( \alpha \right)\). Các đường thẳng qua M0 lần lượt song song với các trục tọa độ cắt \(\left( \alpha \right)\) tại \({M_1},{M_2},{M_3}.\) Tính thể tích khối tứ diện \({M_0}{M_1}{M_2}{M_3}.\) Giải Gọi d1 là đường thẳng qua M0 (x0 ; y0 ; z0) và song song với trục Ox thì d1 có vectơ chỉ phương là (1 ; 0 ; 0). Ta có phương trình của d1 là \({d_1}:\left\{ \matrix{ x = {x_o} + t \hfill \cr y = y_o \hfill \cr z = {z_o}. \hfill \cr} \right.\) Gọi M1 là giao điểm của d1 với mp(\(\alpha \)). Toạ độ (x; y; z) của M1 thoả mãn hệ \(\left\{ \matrix{ x = {x_o} + t \hfill \cr y = y_o \hfill \cr z = {z_o} \hfill \cr Ax + By + Cz + D = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {M_1} = \left( {{x_o} - {{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A};{y_o};{z_o}} \right) \cr & \Rightarrow {M_O}{M_1} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over A}} \right|. \cr} \) Tương tự, gọi d2 là đường thẳng đi qua M0 và song song với Oỵ, d2 cắt (\(\alpha \)) tại M2 thì \({M_O}{M_2} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over B}} \right|.\) Gọi d3 là đường thẳng đi qua M0 và song song với Oz, d3 cắt (\(\alpha \)) tại M3 thì \({M_O}{M_3} = \left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \over C}} \right|.\) Dễ thấy MoM1, MoM2, MoM3 đôi một vuông góc, do đó \({V_{{M_o}{M_1}{M_2}{M_3}}} = {1 \over 6}{M_o}{M_1}.{M_o}{M_2}.{M_o}{M_3} \) \(= {{{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}^3}} \over {6.\left| {A.B.C} \right|}}.\) Bài 83 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng: \(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\) Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3y - z - 7 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):3x + 3y - 2z - 17 = 0.\) a) Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P). c) Một mặt phẳng (Q) thay đổi, luôn song song với mặt phẳng (Oxy), cắt d, d’ lần lượt tại M, M’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’. Giải a) Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \) = (0 ; 3 ; -1) và \(\overrightarrow {n'} \) = (3 ; 3 ; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là : \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = - {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {1;1;3} \right).\) Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \) của d là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (2 ; 1 ; -1). Vì \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\) nên \(d \bot d'.\) Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung (hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm). Vậy chúng chéo nhau. b) Ta lấy một điểm A nào đó thuộc \(d'\). Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có \(A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right) \in d'.\). Vì d\( \bot \) d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua \(d'\). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : \( 2(x - 1) + (y - 0) - (z + 7) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y- z- 9 = 0.\) Toạ độ giao điểm H(x ; y ; z) của d và (P) thoả mãn hệ \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2{\rm{ - }}t \hfill \cr 2x + y - z - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow t = {5 \over 3} \Rightarrow H = \left( {{{13} \over 3};{2 \over 3};{1 \over 3}} \right).\) c) Mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy) nên có phương trình z = m (m\( \ne \)0). Toạ độ giao điểm M(x ; ỵ ; z) của d và (Q) thoả mãn hệ \(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2 - t \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right. \Rightarrow M = \left( {5 - 2m;1 - m;m} \right).\) Toạ độ giao điểm \(M'\)(x ; ỵ ; z) của \(d'\) và (Q) thoả mãn hệ \(\left\{ \matrix{ 3y - z - 7 = 0 \hfill \cr 3x + 3y - 2z - 17 = 0 \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow M' = \left( {{{10 + m} \over 3};{{7 + m} \over 3};m} \right).\) Gọi I là trung điểm của \(MM'\) thì \(I = \left( {{{25 - 5m} \over 6};{{5 - m} \over 3};m} \right).\) Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số \(\left\{ \matrix{ x = {{25 -5 m} \over 6} \hfill \cr x = {{5 - m} \over 3} \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right.;\) bỏ đi điểm \(\left( {{{25} \over 6};{5 \over 3};0} \right)\) (ứng với m = 0). Bài 84 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\) a) Chứng minh góc giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi. b) Tìm tập hợp các giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp (Oxy) khi m thay đổi. Giải a) \({\Delta _m}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} (m ; 1; -m) \) và \(\overrightarrow {{n_2}} (1; -m; 1)\). Vậy \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_m}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1 - {m^2}; - 2m; - 1 - {m^2}} \right).\) Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = (0 ; 0 ; 1)\). Vậy nếu gọi \({\varphi _m}\) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _m}\) và Oz thì \(\cos {\varphi _m} = {{\left| {\overrightarrow {{u_m}} .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_m}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{1 + {m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2} + 4{m^2}+{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt 2 }}.\) Suy ra \({\varphi _m} = {45^o}\) (không đổi). Điểm M(x; y; z) thuộc \({\Delta _m}\) khi toạ độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \matrix{ mx + y - mz - 1 = 0 \hfill \cr x - my + z - m = 0. \hfill \cr} \right.\) (*) Khử z từ hệ phương trình (*), ta được phương trình \(2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y - 1 - {m^2} = 0\) (không chứa z). Đây là phương trình của mặt phẳng \(\left( {{\alpha _m}} \right)\) chứa \({\Delta _m}\) và song song với trục Oz. Do đó, khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và Oz bằng khoảng cách từ gốc O(0 ; 0 ; 0) thuộc Oz tới mp(\({\alpha _m}\)). Vậy khoảng cách đó bằng: \({d_m} = {{\left| { - 1 - {m^2}} \right|} \over {\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = 1(\text{ không đổi})\) b) Toạ độ giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp(Oxy) là nghiệm của hệ : \(\left\{ \matrix{ mx + y = 1 \hfill \cr x - my = m \hfill \cr z = 0. \hfill \cr} \right.\) Bình phương hai vế của hai phương trình đầu của hệ rồi cộng lại, ta suy ra \(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} = 1 \hfill \cr z = 0. \hfill \cr} \right.\) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 trong mặt phẳng toạ độ (Oxy). Bài 85 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(-23;-10;0), có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) (8 ; 4; 1) và đường thẳng d2 đi qua điểm M2(3; -2; 0), có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (2; -2; 1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng (P1), (P2) lần lượt đi qua d1, d2 và song song với nhau b) Tính khoảng cách giữa d1 và d2. c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với Oz và cắt cả d1, d2. Giải a) Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = (8 ; 4 ; 1)\). Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = (2 ; -2 ; 1)\). Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6{\rm{ }};{\rm{ }} - 6{\rm{ }};{\rm{ }} - 24} \right)\) nên \(\overrightarrow n \) = (1 ; -1 ; -4) là một vectơ pháp tuyến của (P1) và (P2). Mặt phẳng (P1) đi qua M1 (-23 ; -10 ; 0) nên có phương trình: \(\left( {x + 23} \right) - \left( {y + 10} \right) - 4z = 0\) hay \(x - y - 4z + 13 = 0.\) Mặt phẳng (P2) đi qua M2(3 ; -2 ; 0) nên có phương trình: \(\left( {x - 3} \right) - \left( {y + 2} \right) - 4z = 0\) hay \(x - y - 4z - 5 = 0.\) b) Khoảng cách h giữa d1 và d2 bằng khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc (P1) tới (P2). Lấy M = (0 ; 1 ; 3), ta có \(h = {{\left| { - 1 - 12 - 5} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {18} }} = 3\sqrt {2.} \) c) Gọi (\(\alpha \)) là mặt phẳng đi qua d1 và song song với Oz, (\(\alpha \)) có phương trình : \(x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vì \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow k } \right]\)). Tương tự, mặt phẳng (\(\beta \)) đi qua d2 và song song với Oz có phương trình : \(x + y - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vì \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right]\)). Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng (\(\alpha \)) và (\(\beta \)) chính là đường thẳng \(\Delta \) cần tìm. \(\Delta \) có phương trình là: \(\left\{ \matrix{ \hfill \cr x = {{ - 1} \over 3} \hfill \cr y = {4 \over 3} \hfill \cr z = t. \hfill \cr} \right.\) Bài 86 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). a) Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O. b) Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S. c) Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó. d) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy). Giải a) Ta có \(\overrightarrow {OA} =(1 ; 2 ;-1)\), \(\overrightarrow {OB} =(-1 ; 1 ; 1)\), \(\overrightarrow {OC} = (1 ; 0 ; 1)\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0,\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} = 0,\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} = 0 \cr & \Rightarrow OA \bot OB,OB \bot OC,OC \bot OA. \cr} \) b) Giả sử S(\(x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z\)) là điểm thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có : \(\eqalign{ & \overrightarrow {SA} = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right), \cr & \overrightarrow {SB} = \left( { - 1 - x;1 - y;1 - z} \right), \cr & \overrightarrow {SC} = \left( {1 - x; - y;1 - z} \right). \cr} \) Ta có: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - y - 2z = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\left\{ \matrix{ y = z \hfill \cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 \hfill \cr y = 2x \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = {2 \over 3}. \hfill \cr} \right.\) Khi \(x = {\rm{ }}0\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), điểm S trùng với điểm O. Khi \(x = {\rm{ }}{2 \over 3}\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}{4 \over 3}\), \(S = \left( {{2 \over 3};{4 \over 3};{4 \over 3}} \right)\) là điểm duy nhất khác O sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông. c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, tacó \(M = \left( {0;{3 \over 2};0} \right)\), \(N = (1;{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0)\), suy ra M, N đều thuộc mp(Oxy). Như vậy mp(Oxy) cắt tam giác ABC theo đường trung bình MN, do đó chia tam giác ABC thành hai phần : tam giác AMN và hình thang MNCB. Rõ ràng là tỉ số diện tích hai phần đó là 1 : 3. d) Ta có \(\overrightarrow {AB} \) = (-2 ; -1 ; 2), \(\overrightarrow {AC} \) = (0 ; -2 ; 2). Vì \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) = (2;4;4) nên mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;2;2} \right).\) mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) Gọi \((\varphi )\) là góc hợp bởi mp(ABC) và mp(Oxy) thì : \(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {2 \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\) Bài 87 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) :x2 + y2 +z2 - 10x + 2y + 26z - 113= 0 Và hai đường thẳng: d: \({{x + 5} \over 2} = {{y - 1} \over { - 3}} = {{z + 13} \over 2};\) d’:\(\left\{ \matrix{ x = - 7 + 3t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 8 \hfill \cr} \right.\) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d, d' . Giải a) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\) Mặt phẳng (P) vuông góc với d, do đó có dạng : \(\left( P \right):2x - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + D = {\rm{ }}0.\) Mặt cầu (S) có tâm \(I = {\rm{ }}\left( {5{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 13} \right)\) và bán kính R =\(\sqrt {308} \), vì vậy (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {308} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left| {10 + 3 - 26 + D} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 4} }} = \sqrt {308} \cr & \Leftrightarrow \left| {D - 13} \right| = \sqrt {17.308} \Rightarrow D = 13 \pm \sqrt {5236} . \cr} \) Tóm lại, có hai mp(P) thoả mãn yêu cầu đầu bài là \(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}13{\rm{ }} \pm {\rm{ }}\sqrt {5236} {\rm{ }} = {\rm{ }}0.\) b) Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\) Vectơ chỉ phương của d' là \(\overrightarrow {u'} = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right).\) Mặt phẳng (Q) cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right).\) Vì vậy phương trình của mp(Q) có dạng : \(4x + 6y + 5z + D = 0.\) Để (Q) tiếp xúc với (S), điều kiện là : \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \sqrt {308} \Leftrightarrow {{\left| {20 - 6 - 65 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 36 + 25} }} = \sqrt {308} \) \( \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = \sqrt {23716} = 154 \Rightarrow \left[ \matrix{ D = - 103 \hfill \cr D = 205. \hfill \cr} \right.\) Vậy có hai mặt phẳng (Q) cần tìm : \(\eqalign{ & 4x + 6y + 5z - 103 = 0, \cr & 4x + 6y + 5z + 205 = 0. \cr} \) Bài 88 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao. Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng \(({\alpha _m}):3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,\) \(m \in \left[ { - 1;1} \right]\) a) Tính khoảng cách từ gốc O tới mặt phẳng \(({\alpha _m}).\) b) Chứng minh rằng với mọi \(m\in [-1;1]\) ,\(({\alpha _m})\) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. c) Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng \(({\alpha _m})\) và (Oxz) cắt nhau ? Khi m thay đổi, chứng minh rằng các giao tuyến đó song song. Giải a) \(d\left( {O,\left( {{\alpha _m}} \right)} \right) = {{20} \over {\sqrt {9{m^2} + 25\left( {1 - {m^2}} \right) + 16{m^2}} }} = {{20} \over {\sqrt {25} }} = 4.\) b) Từ câu a) suy ra rằng : khi m thay đổi, các mặt phẳng (\({\alpha _m}\)) luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm O và bán kính bằng 4. c) Mặt phẳng (\({\alpha _m}\)) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3m;5\sqrt {1 - {m^2}} ;4m} \right)\) vì vậy (\({\alpha _m}\)) cắt mp(Oxz) (có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow j = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)) khi và chỉ khi \(m \ne 0\). Khi đó, giao tuyến \({\Delta _m}\) của mp(\({\alpha _m}\)) và mp(Oxz) là giao tuyến của hai mặt phẳng : \(3mx + {\rm{ }}5\sqrt {1 - {m^2}} y{\rm{ }} + {\rm{ }}4mz + {\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và \(y = {\rm{ }}0.\) Do đó, vectơ chỉ phương của \({\Delta _m}\) là: Vì \(m \ne 0\) nên \(\overrightarrow {u'} = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _m}\). Do \(\overrightarrow {u'} \) không phụ thuộc vào m nên các giao tuyến \({\Delta _m}\) song song với nhau khi m thay đổi.
