Sách bài tập Toán 6 - Phần Đại số - Chương III - Bài 6: So sánh phân số

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 49 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    Điền số thích hợp vào chỗ trống:
    a) \({\rm{}}{{ - 12} \over {17}} < {{...} \over {17}} < {{...} \over {17}} < {{...} \over {17}} < {{ - 8} \over {17}}\)
    b) \({{ - 1} \over 2} < {{...} \over {24}} < {{...} \over {12}} < {{...} \over 8} < {{ - 1} \over 3}\)
    Giải
    a) \({\rm{}}{{ - 12} \over {17}} < {{...} \over {17}} < {{...} \over {17}} < {{...} \over {17}} < {{ - 8} \over {17}}\)
    Dựa vào quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu ta có:
    \({{ - 12} \over {17}} < {{ - 11} \over {17}} < {{ - 10} \over {17}} < {{ - 9} \over {17}} < {{ - 8} \over {17}}\)
    b) \({{ - 1} \over 2} < {{...} \over {24}} < {{...} \over {12}} < {{...} \over 8} < {{ - 1} \over 3}\)
    Dựa vào quy tắc so sánh hai phân số không cùng mẫu ta có:
    \({{ - 12} \over {24}} < {{...} \over {24}} < {{2} \over {24}} < {{3} \over {24}} < {{ - 8} \over {24}}\)
    Suy ra \({{ - 12} \over {24}} < {{ - 11} \over {24}} < {{ - 10} \over {24}} < {{ - 9} \over {24}} < {{ - 8} \over {24}}\)
    Vậy \({{ - 1} \over 2} < {{ - 11} \over {24}} < {{ - 5} \over {12}} < {{ - 3} \over 8} < {{ - 1} \over 3}\)

    Câu 50 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    a) Thời gian nào dài hơn: \({1 \over 2}\) giờ hay \({4 \over 5}\) giờ?
    b) Đoạn nào ngắn hơn: \({2 \over 3}\) mét hay \({3 \over 5}\) mét
    c) Khối lượng nào lớn hơn: \({6 \over 7}\) kilôgam hay \({7 \over 8}\) kilôgam?
    Giải
    a) \({1 \over 2}\) giờ = \({5 \over 10}\) giờ; \({4 \over 5}\) giờ = \({8 \over 10}\) giờ
    Ta có: \({5 \over {10}} < {8 \over {10}}\) suy ra \({1 \over 2} < {4 \over 5}\)
    Vậy \({4 \over 5}\) giờ dài hơn \({1 \over 2}\) giờ
    b) \({2 \over 3}m = {{10} \over {15}}m;{3 \over 5}m = {9 \over {15}}m\)
    Ta có \({{10} \over {15}} > {9 \over {15}}\) Suy ra \({2 \over 3} > {3 \over 5}\)
    Vậy đoạn \({3 \over 5}\) mét ngắn hơn \({2 \over 3}\) mét
    c) \({6 \over 7}kg = {{48} \over {56}}kg;{7 \over 8}kg = {{49} \over {56}}kg;\)
    Ta có \({{48} \over {56}} < {{49} \over {56}}\) suy ra \({6 \over 7} < {7 \over 8}\). Vậy \({7 \over 8}\) kg lớn hơn \({6 \over 7}\) kg

    Câu 51 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    So sánh các phân số
    a) \({\rm{}}{5 \over {24}};{{5 + 10} \over {24}};{5 \over 8}\)
    b) \({4 \over 9};{{6 + 9} \over {6.9}};{2 \over 3}\)
    Giải
    a) \({\rm{}}{{5 + 10} \over {24}} = {15 \over {24}} = {5 \over 8}\) vậy \({5 \over {24}} < {{5 + 10} \over {24}} = {5 \over 8}\)
    b) \({{6 + 9} \over {6.9}} = {{15} \over {54}} = {5 \over {18}}\)
    BCNN (9; 18; 3) = 18
    \({4 \over 9} = {8 \over {18}};{2 \over 3} = {{12} \over {18}};{5 \over {18}} = {5 \over {18}};\)
    Ta có: \({5 \over {18}} < {8 \over {18}} < {{12} \over {18}}\) Vậy: \({{6 + 9} \over {6.9}} < {4 \over 9} < {2 \over 3}\)

    Câu 52 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    So sánh các phân số sau:
    a) \({\rm{}}{{14} \over {21}}\) và \({{60} \over {72}}\)
    b) \({{38} \over {133}}\) và \({{129} \over {344}}\)
    Giải
    a) \({\rm{}}{{14} \over {21}} = {2 \over 3};{{60} \over {72}} = {5 \over 6}\)
    \({2 \over 3} = {4 \over 6}\)Ta có: \({4 \over 6} < {5 \over 6}\). Vậy \({{14} \over {21}} < {{60} \over {72}}\)
    b) \({{38} \over {133}} = {2 \over 7};{{129} \over {344}} = {3 \over 8}\)
    \({2 \over 7} = {{2.8} \over {7.8}} = {{16} \over {56}};{3 \over 8} = {{3.7} \over {8.7}} = {{21} \over {56}}\)
    Ta có \({{16} \over {56}} < {{21} \over {56}}\) Vậy: \({{38} \over {133}} < {{129} \over {344}}\)

    Câu 53 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    So sánh các phân số sau:
    a) \({{17} \over {200}}\) và \({{17} \over {314}}\);
    b) \({{11} \over {54}}\) và \({{22} \over {37}}\); c) \({{141} \over {893}}\) và \({{159} \over {901}}\)
    Giải
    a) \({{17} \over {200}}\) và \({{17} \over {314}}\). Ở tiếu học chúng ta đã biết 2 phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu lớn hơn thì bé hơn (tử số là số tự nhiên)
    $${{17} \over {200}} > {{17} \over {314}}$$
    b) Tương tự: \({{11} \over {54}} = {{22} \over {108}}\) Ta có: \({{22} \over {108}} < {{22} \over {37}}\)
    Vậy \({{11} \over {54}} < {{22} \over {37}}\)
    c) \({{141} \over {893}} = {3 \over {19}};{{159} \over {901}} = {3 \over {17}};{3 \over {19}} < {3 \over {17}}\) nên \({{141} \over {893}} < {{159} \over {901}}\)

    Câu 54 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    Cho hình vuông gồm 9 ô. Hãy sắp xếp các phân số sau đây vào các ô trống sao cho trong mỗi hàng các phân số tăng dần từ trái sang phải và trong mỗi cột, các phân số tăng dần từ trên xuống dưới:
    $${9 \over {19}};{{ - 25} \over {19}};{{20} \over {19}};{{42} \over {19}};{{30} \over {19}};{{14} \over {19}};{{ - 13} \over {19}}$$
    01.png
    Giải
    Ta có: \({{ - 25} \over {19}} < {{ - 13} \over {19}} < {9 \over {19}} < {{14} \over {19}} < {{20} \over {19}} < {{30} \over {19}} < {{42} \over {19}}\)
    Ở cột thứ nhất phân ô cuối cùng là \({{ - 7} \over {19}}\) mà trong cột các phân số tăng từ trên xuống dưới nên dòng thứ nhất điền \({{ - 25} \over {19}}\), dòng thứ 2 là \({{ - 13} \over {19}}\)
    02.png
    Ở dòng thứ nhất ô cuối cùng là \({{10} \over {19}}\). Trong mỗi dòng các phân số tăng từ trái sang phải nên ô thứ 2 điền \({9 \over {19}}\)
    Để cho cột thứ 2 và thứ 3 tăng từ trên xuống, dòng 2 và dòng 3 tăng từ trái sang phải, cột 2 ta điền \({{14} \over {19}};{{20} \over {19}}\); cột thứ 3 điền \({{30} \over {19}};{{42} \over {19}}\) hoặc dòng thứ 2 điền \({{14} \over {19}}\) và \({{20} \over {19}}\) dòng thứ 3 điền \({{30} \over {19}};{{42} \over {19}}\)
    03.png

    Câu 55 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    Cũng yêu cầu như bài 54 với các phân số:
    $${1 \over 3};{1 \over 5};{{ - 2} \over {15}};{1 \over 6};{{ - 2} \over { - 5}};{{ - 1} \over {10}};{4 \over {15}}$$
    04.png
    Giải
    \({1 \over 3} = {{10} \over {30}};{1 \over 5} = {6 \over {30}};{{ - 2} \over {15}} = {{ - 4} \over {30}};{1 \over 6} = {5 \over {30}};\)
    \({{ - 2} \over { - 5}} = {{12} \over {30}};{{ - 1} \over {10}} = {{ - 3} \over {30}};{4 \over {15}} = {8 \over {30}}\)
    \({3 \over {10}} = {9 \over {30}};{{ - 1} \over {15}} = {{ - 2} \over {30}};\)
    \({{ - 4} \over {30}} < {{ - 3} \over {30}} < {{ - 2} \over {30}} < {5 \over {30}} < {6 \over {30}} < {8 \over {30}} < {9 \over {30}} < {{10} \over {30}} < {{12} \over {30}}\)
    Suy ra:
    \({{ - 2} \over {15}} < {{ - 1} \over {10}} < {{ - 1} \over {15}} < {1 \over 6} < {1 \over 5} < {4 \over {15}} < {3 \over {10}} < {1 \over 3} < {{ - 2} \over { - 5}}\)
    Ở dòng thứ nhất ô cuối cùng là \({3 \over {10}}\). Trong mỗi dòng các phân số tăng từ trái sang phải nên ô thứ 2 điền \({1 \over 6}\)
    Để cho cột thứ 2 và thứ 3 tăng từ trên xuống, dòng 2 và dòng 3 tăng từ trái sang phải, cột 2 ta điền \({1 \over 5}\); \({1 \over 3}\) cột thứ 3 điền \({4 \over 15}\); \({-2 \over -5}\).
    Ta có bảng sau:
    05.png

    Câu 56 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    Cho hai phân số \({{ - 3} \over 8}\) và \({{ - 2} \over 5}\). Chỉ cần so sánh hai tích (-3).5 và 8.(-2), ta cũng có thể kết luận được rằng \({{ - 3} \over 8} > {{ - 2} \over 5}\). Em có thể giải thích được không? Hãy phát biểu và chứng minh cho trường hợp tổng quát khi so sánh hai phân số \({a \over b}\) và \({c \over d}\) (a, b, c, d ∈ Z, b>0, d>0)
    Giải
    Vì \({{ - 3} \over 8} = {{( - 3).5} \over {8.5}};{{ - 2} \over 5} = {{( - 2).8} \over {5.8}}\)
    (-3).5 > (-2).8 Vậy \({{ - 3} \over 8} > {{ - 2} \over 5}\)
    Với hai phân số \({a \over b}\) và \({c \over d}\) (a, b, c, d ∈ Z, b>0, d>0) \({a \over b} > {c \over d}\) thì ad > bc và ngược lại.
    Chứng minh: \({a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\)
    Ta có: \({a \over b} > {c \over d}\) Suy ra \({{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} > {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\). Theo quy tắc so sánh hai phân số ta có: ad > bc
    Ngược lại: \({a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\)
    Ta có ad > bc. Theo quy tắc so sánh hai phân số
    Suy ra: \({{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} > {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\). Suy ra \({a \over b} > {c \over d}\)

    Câu 57 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2.
    Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông:
    $${{ - 8} \over {15}} < {{...} \over {40}} < {{ - 7} \over {15}}$$
    Giải
    \({{ - 8} \over {15}} < {{...} \over {40}} < {{ - 7} \over {15}}\) Suy ra \({{ - 64} \over {120}} < {{3 ...} \over {120}} < {{ - 56} \over {120}}\)
    Số nguyên điền vào ô trống là: -21; -20; -19.

    Câu 6.5 trang 16Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 6 tập 2
    a) Cho phân số \({a \over b}\) (a, b ∈ N, b # 0)
    Giả sử \({a \over b} > 1\) và m ∈ N, m # 0. Chứng tỏ rằng:
    \({a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}\)
    b) Áp dụng kết quả ở câu a) để so sánh \({{434} \over {561}}\) và \({{441} \over {568}}\)
    Giải
    a) \({a \over b} = {{a(b + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\) (1)
    \({{a + m} \over {b + m}} = {{b(a + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) (2)
    \({a \over b} < 1\) => a < b suy ra ab + am < ab + bm (3)
    Từ (1), (2) và (3) ta có: \({a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}\)
    b) Áp dụng: Rõ ràng \({{434} \over {561}} < 1\) nên \({{434} \over {561}} < {{434 + 7} \over {561 + 7}} = {{441} \over {568}}\)

    Câu 6.6 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 6 tập 2

    a) Cho phân số \({a \over b}\) (a, b ∈ N, b # 0)
    Giả sử \({a \over b} > 1\) và m ∈ N, m # 0. Chứng tỏ rằng
    \({a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}\)
    b) Áp dụng kết quả ở câu a) để so sánh \({{237} \over {142}}\) và \({{237} \over {142}}\)
    Giải
    a) Giải tương tự bài 6.5 a)
    b) \({{237} \over {142}} > 1\) nên \({{237} \over {142}} < {{237 + 9} \over {142 + 9}} = {{246} \over {151}}\)

    Câu 6.7 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 6 tập 2

    So sánh: \(A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}}\) và \(B = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}}\)
    Giải
    \(A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} < 1 \Rightarrow A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} < {{{{17}^{18}} + 1 + 16} \over {{{17}^{19}} + 1 + 16}} = {{{{17}^{18}} + 17} \over {{{17}^{19}} + 17}}\)
    \({{17.({{17}^{17}} + 1)} \over {17.({{17}^{18}} + 1)}} = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}} = B\)
    Vậy A < B

    Câu 6.8 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 6 tập 2

    So sánh: \(C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}}\) và \(D = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}}\)
    Giải
    \(C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} > 1 \Rightarrow C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} > {{{{98}^{99}} + 1 + 97} \over {{{98}^{89}} + 1 + 97}} = {{{{98}^{99}} + 198} \over {{{98}^{89}} + 98}}\)
    \({{98.({{98}^{98}} + 1)} \over {98.({{98}^{88}} + 1)}} = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}} = D\)