Sách bài tập Toán 7 - Phần Đại số - Chương IV - Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 43 trang 26 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Cho đa thức \(f(x) = {x^2} - 4{\rm{x}} - 5\). Chứng tỏ rằng x = -1; x =5 là hai nghiệm của đa thức đó.
    Giải
    Tính giá trị đa thức:
    \(f(x) = {x^2} - 4{\rm{x}} - 5\) tại x = -1; x =5
    \(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.( - 1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0\)
    \(f(5) = {5^2} - 4.5 - 5 = 25 - 20 - 5 = 0\)
    Vậy x = -1 và x = 5 là nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} - 4{\rm{x}} - 5\)

    Câu 44 trang 26 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Tìm nghiệm của các đa thức sau:
    a) \({\rm{}}2{\rm{x}} + 10\)
    b) \(3{\rm{x}} - {1 \over 2}\)
    c) \({x^2} - x\)
    Giải
    a) 2x + 10 = 0 => 2x = -10 => x = -10: 2 => x = -5
    Vậy x = -5 là nghiệm của đa thức 2x + 10
    b) \(3{\rm{x}} - {1 \over 2} = 0 \Rightarrow 3{\rm{x}} = {1 \over 2} \Rightarrow x = {1 \over 2}:3 = {1 \over 6}\)
    Vậy \({\rm{x}} = {1 \over 6}\) là nghiệm của đa thức \(3{\rm{x}} - {1 \over 2}\)
    c) \({x^2} - x = 0 \Rightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0\)
    x = 0 hoặc x = 1 là nghiệm của đa thức \({x^2} - x\)

    Câu 45 trang 26 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Tìm nghiệm của các đa thức sau:
    a) \((x - 2)(x + 2)\)
    b) \((x - 1)({x^2} + 1)\)
    Giải
    a) (x – 2) (x + 2) = 0
    \( \Rightarrow \) x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0
    x – 2 = 0 => x = 2
    x + 2 = 0 => x = -2
    Vậy x = 2 và x = -2 là nghiệm của đa thức (x – 2) (x + 2)
    b) \((x - 1)({x^2} + 1)\)
    \({{\rm{x}}^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x ∈ R
    \( \Rightarrow {x^2} + 1 > 0\) với mọi x ∈ R
    Nên \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 = > x - 1 = > x = 1\)
    Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức \((x - 1)({x^2} + 1)\).

    Câu 46 trang 26 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Chứng tỏ rằng nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức \(a{x^2} + bx + c\).
    Giải
    Tính giá trị của đa thức \(a{x^2} + bx + c\) tại x = 1
    $$a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c$$
    Vì \(a + b + c = 0 = > a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\)
    Vậy x =1 là nghiệm của đa thức \(a{x^2} + bx + c\) khi a+ b + c = 0

    Câu 47 trang 27 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Chứng tỏ rằng nếu a – b + c = 0 thì x = -1 là một nghiệm của đa thức \(a{x^2} + bx + c\).
    Giải
    Tính giá trị đa thức \(a{x^2} + bx + c\) tại x = -1
    $${\rm{a}}.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c$$
    Vì a – b + c = 0 nên \({\rm{a}}.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c = 0\)
    Vậy x = -1 là nghiệm của đa thức \(a{x^2} + bx + c\) khi a – b + c = 0.

    Câu 48 trang 27 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Tìm nghiệm của đa thức f (x) biết
    a) \(f(x) = {x^2} - 5{\rm{x}} + 4\)
    b) \(f(x) = 2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1\)
    Giải
    a) \(f(x) = {x^2} - 5{\rm{x}} + 4\) có hệ số a = 1, b = -5, c = 4
    Ta có: a + b + c = 1 + (-5) + 4 = 1 – 5 + 4 = 0
    Áp dụng bài 46 đa thức \(f(x) = {x^2} - 5{\rm{x}} + 4\) có nghiệm x = 1
    b) \(f(x) = 2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1\) có hệ số a = 2, b = 3, c =1
    Ta có: a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0
    Áp dụng bài 47 đa thức \(f(x) = 2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1\) có nghiệm x = -1

    Câu 49 trang 27 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Chứng tỏ rằng đa thức \(f(x) = {{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 2\) không có nghiệm.
    Giải
    \(\eqalign{
    & {{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 2 = {x^2} + x + x + 1 + 1 \cr
    & = x(x + 1) + (x + 1) + 1 \cr
    & = (x + 1)(x + 1) + 1 \cr
    & = {(x + 1)^2} + 1 \cr} \)
    Vì (x+1)2 ≥ 0 mọi x ∈ R; 1 > 0
    Nên (x+1)2 + 1 > 0 mọi x ∈ R. Vậy đa thức x + 2x + 2 không có nghiệm.

    Câu 50 trang 27 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2.
    Đố em tìm được số mà:
    a) Bình phương của nó chính bằng nó.
    b) Lập phương trình của nó bằng chính nó.
    Giải
    a) Gọi số đó là a ta có:
    a2 = a => a2 – a = 0 => a (a -1) = 0 => a = 0 hoặc a – 1 = 0
    Vậy a = 0 hoặc a = 1
    b) Gọi số đó là a ta có:
    $${{\rm{a}}^3} = a \Rightarrow {{\rm{a}}^3} - a = 0 \Rightarrow a\left( {{a^2} - 1} \right) = 0$$
    \( \Rightarrow \) a (a – 1) (a+ 1) = 0 => a = 0 hoặc a – 1 = 0 hoặc a + 1 = 0
    Vậy a = 0 hoặc a = 1 hoặc a = -1