Câu 36 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Vẽ tam giác ABC biết BA = BC = 2,5cm, \(\widehat B = 90^\circ \). Sau đó đo các góc A và C để kiểm tra rằng \(\widehat A = \widehat C = 45^\circ \) Giải Ta có: BA = BC = 2,5cm Suy ra: ∆ABC cân tại B Vậy \(\widehat A = \widehat C = {{180^\circ - \widehat B} \over 2} = {{180^\circ - 90^\circ } \over 2} = 45^\circ \) Câu 37 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Dựa vào hình dưới, hãy nêu đề toán chứng minh ∆AOC = ∆BOC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Giải Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Lấy điểm C trên tia phân giác Om của góc xOy. Chứng minh: ∆AOC = ∆BOC Câu 38 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Qua trung điểm I của đoạn thẳng AB, kẻ đường vuông góc với AB, trên đường vuông góc đó lấy hai điểm C và D. Nối CA, CB, DA, DB. Tìm các cặp tam giác bằng nhau trong hình vẽ. Giải Có hai trường hợp: Ta có: ∆AIC = ∆BIC (c.g.c) ∆AID = ∆BID(c.g.c) ∆ACD = ∆BCD (c.g.c) Câu 39 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Vẽ ∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), AB = 3cm, AC = 1cm. Sau đó đo góc C để kiểm tra rằng \(\widehat C \approx 72^\circ \). Giải Ta có: ∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), AB = 3cm, AC = 1cm Suy ra: \(\widehat C \approx 72^\circ \) Câu 40 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB. Trên đường thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh rằng KM là tia phân giác của góc AKB. Giải Xét ∆AMK và ∆BMK, ta có: AM = BM (gt) \(\widehat {AMK} = \widehat {BMK} = 90^\circ \) (vì \(KM \bot AB\)) MK cạnh chung Suy ra: ∆AMK = ∆BMK(c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {BKM}\) Vậy KM là tia phân giác của \(\widehat {AKB}\). Câu 41 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Chứng minh rằng AC // BD. Giải Xét ∆AOC và ∆BOD, ta có: OA = OB (gt) \(\widehat {AOC} = \widehat {BO{\rm{D}}}\) (đối đỉnh) OC = OD (gt) Suy ra:∆AOC = ∆BOD (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\) (hai góc tương ứng) Vậy: AC // BD (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Câu 42 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA, Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Tính số đo góc CDE. Giải Xét ∆ABC và ∆DEC, ta có: AC = DC (gt) \(\widehat {ACB} = \widehat {EC{\rm{D}}}\) (đối đỉnh) BC = EC (gt) Suy ra: ∆ABC = ∆DEC (c.g.c) \(\widehat A = \widehat D\) (hai góc tương ứng) mà \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(\widehat D = 90^\circ \). Câu 43 trang 142 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. a) So sánh các độ dài DA và DE. b) Tính số đo góc BED. Giải a) Xét ∆ABD và ∆EBD, ta có: AB = BE (gt) \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {DBE}\) (vì BD là tia phân giác) BC cạnh chung Suy ra: ∆ABD = ∆EBD (c.g.c) \( \Rightarrow \) DA = DE (2 cạnh tương ứng) b) Ta có: ∆ABD = ∆EBD (chứng minh trên) Suy ra: \(\widehat A = \widehat {BE{\rm{D}}}\) (2 góc tương ứng) Mà \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(\widehat {BE{\rm{D}}} = 90^\circ \). Câu 44 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác AOB có AO = OB. Tia phân giác của góc O cắt AB ở D. Chứng minh rằng: a) DA = DB b) \(O{\rm{D}} \bot AB\) Giải a) Xét ∆AOD và ∆BOD, ta có: OA = OB (gt) \(\widehat {AO{\rm{D}}} = \widehat {BO{\rm{D}}}\) (vì OD là tia phân giác) OD cạnh chung Suy ra: ∆AOD = ∆BOD (c.g.c) Vậy DA = DB (2 cạnh tương ứng) b) ∆AOD = ∆BOD (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (2 góc tương ứng) Ta có: \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = 180^\circ\) (hai góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = 90^\circ \) Vậy \(O{\rm{D}} \bot AB\). Câu 45 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho các đoạn thẳng AB và CD trên giấy kẻ ô vuông (hình dưới). Chứng minh rằng AB = CD, AB // CD. Giải Gọi giao điểm của đường kẻ ô vuông đi qua điểm A và đi qua điểm B cắt nhau tại H ; đi qua điểm C và đi qua điểm D là K. Xét ∆ AHB và ∆CKD, ta có: AH = CK (gt) \(\widehat {AHB} = \widehat {CK{\rm{D}}} = 90^\circ \) BH = DK (bằng 3 ô vuông) Suy ra: ∆ AHB = ∆CKD (c. g.c) \( \Rightarrow \) AB = CD và \(\widehat {BAH} = \widehat {DCK}\) Hai đường thẳng AB và CD cắt đường thẳng AK có 2 góc \(\widehat {BAH}\) và \(\widehat {DCK}\) ở vị trí đồng vị bằng nhau nên AB // CD. Câu 46 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB (D khác phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC (E khác phía B đối với AC) Chứng minh rằng: a) DC = BE b) \({\rm{D}}C \bot BE\) Giải a) Xét ∆ABE và ∆ACD, ta có: AB = AD (gt) AE = AC (gt) \(\eqalign{ & \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr & \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \) Suy ra: ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) DC = BE (2 cạnh tương ứng) b) Gọi giao điểm DC và AB là H, giao điểm của CD và BE là K Ta có: ∆ABE = ∆ADC (chứng minh trên) \(\widehat {ABE} = \widehat D\) (1) Trong tam giác vuông AHD, ta có: \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2) Mà: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\) (đối đỉnh) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \) Trong ∆KHB, ta có: \(\widehat {KHB} + \widehat {ABE} + \widehat {BKH} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \( \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABE} + \widehat {BKH}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) Vậy \(DC \bot BE\). Câu 47 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 2\widehat C\). Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK Giải Ta có: \(\widehat B = 2\widehat {{C_1}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) Lại có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì BD là tia phân giác) => \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\) (1) \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (kề bù) (2) \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \) (kề bù) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{B_3}}\) Xét ∆ABE và ∆ACK, ta có: AB = KC (gt) \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên) BE = CA (gt) Suy ra: ∆ABE = ∆ KCA (c.g.c) Vậy: AE = AK (2 cạnh tương ứng) Câu 48 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. Giải Xét ∆AKM và ∆BKC, có: AK = BK (gt) \(\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\) (đối đỉnh) KM = KC (gt) Suy ra: ∆AKM = ∆ BKC(c.g.c) \( \Rightarrow \) AM = BC (2 cạnh tương ứng) \(\widehat {AMK} = \widehat {BCK}\) (2 góc tương ứng) Suy ra: AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Xét ∆AEN và ∆ CEB, ta có: AE = CE (gt) \(\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\) (đối đỉnh) EN = EB(gt) Suy ra: ∆AEN = ∆ CEB(c.g.c) =>AN = BC (2 cạnh tương ứng) \(\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\) (2 góc tương ứng) Suy ra: AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Ta có: AM //BC và AN // BC nên hai đường thẳng AM và AN trùng nhau hay M, A, N thẳng hàng. (1) AM = AN (vì cùng bằng BC) (2) Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của MN.
