Câu 67 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. a) Tính góc ở đáy của một tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng 50°, bằng a ° b) Tính góc ở đỉnh của một tam giác cân biết góc ở đáy bằng 50°, bằng a° Giải a) Vì tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau nên số đo của một góc bằng 180° trừ góc ở đỉnh rồi chia cho 2 Ta có: \({{180^\circ - 50^\circ } \over 2} = 65^\circ \) \({{180^\circ - a^\circ } \over 2}\) b) Vì tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau nên góc ở đỉnh bằng 180° trừ đi hai lần góc ở đáy. Ta có: 180 °– 50°. 2 = 180° – 100° = 80° 180° – a . 2 Câu 68 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = 100^\circ\). Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MN // BC. Giải Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\) Ta có: \(\widehat B = {{180^\circ - \widehat A} \over 2}\) \( = {{180^\circ - 100^\circ } \over 2} = 40^\circ \) (1) Mà AM = AN (gt) nên ∆AMN cân tại A => \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) \(\Rightarrow \widehat {AMN} = {{180^\circ - \widehat A} \over 2} = {{180^\circ - 100^\circ } \over 2} = 40^\circ \) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {AMN}\) Vậy MN // BC (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau). Câu 69 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Chứng minh rằng BM = CN. Giải Xét ∆ABM và ∆CAN, ta có: AB = AC (gt) \(\widehat A\) chung AM = AN (cùng bằng một nửa AB, AC) Suy ra: ∆ABM = ∆ACN (c.g.c) Vậy DM = CN (hai cạnh tương ứng) Câu 70 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK . Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng ∆OBC là tam giác cân. Giải Xét ∆ABH và ∆ACK, ta có: AB = AC (gt) \(\widehat A\) chung AH = AK (gt) Suy ra: ∆ABH = ∆ACK (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc tương ứng) \(\eqalign{ & \widehat {ABC} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}}\left( 2 \right) \cr & \widehat {ACB} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\left( 3 \right) \cr} \) \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) hay ∆BOC cân tại O. Câu 71 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Vẽ lại hình bên vào vở rồi đặt bài toán vẽ tam giác để có hình bên. Giải - Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A - Vẽ tam giác đều ABD sao cho D và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa đường thẳng AB - Vẽ tam giác vuông cân ADE sao cho E và B nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng AD. Câu 72 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ∆ADE là tam giác cân. Giải Ta có: ∆ABC cân tại A Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (tính chất tam giác cân) Lại có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \) (kề bù) \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (kề bù) Suy ra: \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có: AB = AC (gt) \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên) BD = CE (gt) Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c) \( \Rightarrow \) AD = AE (2 cạnh tương ứng) Vậy ∆ADE cân tại A (theo định nghĩa tam giác cân) Câu 73 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt ở AC ở D. Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = BC. Chứng minh rằng BD // EC. Giải Ta có: BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right)\) Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat {ABC}\) Lại có: BE = BC (gt) \( \Rightarrow \) ∆BEC cân tại B (theo định nghĩa) \( \Rightarrow \) \(\widehat E = \widehat {BCE}\) (tính chất tam giác cân) ∆BEC ta có \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh B \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat E + \widehat {BCE}\) (tính chất góc ngoài của tam giác) Suy ra: \(\widehat {ABC} = 2\widehat E\) Hay \(\widehat E = \widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat {ABC}\) Vậy BD // CE (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị như nhau) Câu 74 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tính số đo các góc của tam giác ACD như hình bên. Giải Ta có: ∆ABC vuông cân tại A Suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) Lại có: ∆BCD cân tại B (BC = BD) Suy ra: \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat D\) (tính chất tam giác cân) Trong ∆BCD ta có \(\widehat {ABC}\) góc ngoài tại đỉnh B Do vậy: \(\widehat {ABC} = \widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat D\) (tính chất góc ngoài của tam giác) Suy ra: \(\widehat {ABC} = 2\widehat {BC{\rm{D}}}\) \( \Rightarrow \widehat {BC{\rm{D}}} = {{45^\circ } \over 2} = 22^\circ 30'\) Vậy: \(\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {ACB} + \widehat {BC{\rm{D}}} = 45^\circ + 22^\circ 30' = 67^\circ 30'\) Câu 75 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tạiA) Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo góc BCD Giải Ta có: ∆ABC cân tại A \( \Rightarrow \widehat B = \widehat {{C_1}}\) (tính chất tam giác cân) Lại có: AD = AB (gt) =>AD = AC do đó ∆ACD cân tại A \( \Rightarrow \widehat D = \widehat {{C_2}}\) (tính chất tam giác cân) Mà \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\) Nên \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat B + \widehat D\) (1) Trong ∆BCD, ta có: \(\widehat B + \widehat D + \widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(2\widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ \) Câu 76 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E. Tính tổng DE + DF. Giải Ta có: DF // AC (gt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\) (hai góc đồng vị) (1) Lại có: ∆ABC cân tại A \( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{D_1}}\) Hay ∆BFD cân tại F => BF = DF Nối AD. Xét ∆AFD và ∆DEA, ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {E{\rm{AD}}}\) (so le trong vì DF // AC) AD cạnh chung \(\widehat {F{\rm{D}}A} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (so le trong vì DE // AB) Suy ra: ∆ADF = ∆DAE (g.c.g) => AF = DF (hai cạnh tương ứng) Vậy: DE + DF = AF + BF = AB = 3(cm) Câu 77 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều. Giải Ta có: AB = AD + DB (1) BC = BE + EC (2) AC = AF + FC (3) AB = AC = BC (gt) (4) AD = BE = CF (gt) (5) Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra: BD = EC = AF Xét ∆ADF và ∆BED, ta có: AD = BE (gt) \(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều) AE = BD (chứng minh trên) Suy ra: ∆ADF = ∆BED (c.g.c) Suy ra: DF = DE (hai cạnh tương ứng) (6) Xét ∆ADF và ∆CFE ta có: AD = CF (gt) \(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều) EC = AF (chứng minh trên) Suy ra : ∆ADF = ∆CFE (c.g.c) Suy ra: DF = FE (hai cạnh tương ứng) (7) Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE Vậy ∆DEF đều. Câu 78 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E. Chứng minh rằng DE = BD + CE Giải Ta có: DI // BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong) (1) Lại có: \({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\) (2) (vì BI là tia phân giác của \(\widehat B\)) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\) \( \Rightarrow \) ∆BDI cân tại D => BD = DI (3) Mà IE // BC (gt) => \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\) (so le trong) (4) Đồng thời: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (Vì CI là tia phân giác của \(\widehat {{C_1}}\)) (5) Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\) => ∆CEI cân tại E \( \Rightarrow \) CE = EI (hai cạnh tương ứng) (6) Từ (3) và (6) suy ra: BD + CE = DI + EI = DE. Câu 79 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn, tính số đo góc AMB. Giải Nối OM, ta có: OA = OM (bán kính đường tròn tâm O) Nên ∆OAM cân tại O \( \Rightarrow \widehat A = \widehat {{M_1}}\) (tính chất tam giác cân) OM = OB (bán kính đường tròn tâm O) Suy ra: ∆OAM cân tại O \( \Rightarrow \widehat {{M_2}} = \widehat B\) (tính chất tam giác cân) Trong ∆AMB, ta có: \(\widehat A + \widehat {AMB} + \widehat B = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \( \Rightarrow \widehat A + \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} + \widehat B = 180^\circ \) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2\(\left( {\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}}} \right) = 180^\circ \) Vậy \(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 90^\circ \) hay \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) Câu 80 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Đặt đề toán theo hình dưới. Sau đó vẽ lại hình theo đề toán rồi đo góc DAE. Giải Đề toán: - Vẽ ∆ABC đều. - Vẽ ∆ABD vuông cân tại B sao cho D và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa đường thẳng AB. - Vẽ ∆ACE vuông cân tại C sao cho E và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ có chứa đường thẳng AC. Đo \(\widehat {DA{\rm{E}}} = 150^\circ \) *Chứng minh: \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 45^\circ + 60^\circ + 45^\circ = 150^\circ \) Câu 81 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy kẻ ô vuông (hình 62) là tam giác nhọn. Giải Nối A với điểm D tạo thành đường chéo ô vuông Gọi K giao điểm AC với đỉnh ô vuông, H là giao điểm DK với đường kẻ ô vuông từ A. Ta có: ∆AHK vuông cân tại H => \(\widehat {HAK} = 45^\circ \) ∆AHD vuông cân tại H => \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 45^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {DAK} = \widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {HAK} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAC} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} < 90^\circ \) Trên hình vẽ: \(\widehat {ACB} < 90^\circ \) và \(\widehat {ABC} < 90^\circ \) Vậy ∆ABC là tam giác nhọn.
