Sách bài tập Toán 7 - Phần Hình học - Chương II - Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 93 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
    Giải
    01.png
    Xét tam giác vuông ADB và ADC, ta có:
    \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{D}}C} = 90^\circ \)
    AB = AC (gt)
    AD cạnh chung
    Suy ra:
    ∆ADB = ∆ADC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\) (hai góc tương ứng)
    Vậy AD là tia phân giác \(\Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\)

    Câu 94 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.
    Giải
    02.png
    Xét hai tam giác vuông ADB và AEC, ta có:
    \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \)
    AB = AC (gt)
    \(\widehat {DAB} = \widehat {E{\rm{A}}C}\)
    \( \Rightarrow \) ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền, góc nhọn)
    Suy ra: AD = AE (hai cạnh tương ứng)
    Xét hai tam giác vuông ADK và AEK, ta có:
    \(\widehat {A{\rm{D}}K} = \widehat {A{\rm{E}}K} = 90^\circ \)
    AD = AE (chứng minh trên)
    AK cạnh chung
    Suy ra: ∆ADK = ∆AEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    Suy ra: \(\widehat {DAK} = \widehat {E{\rm{A}}K}\) (2 góc tương ứng)
    Vậy AK là tia phân giác của góc BAC.

    Câu 95 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác của góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
    a) MH = MK
    b) \(\widehat B = \widehat C\)
    Giải
    03.png
    a) Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
    \(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \)
    Cạnh huyền AM chung
    \(\widehat {HAM} = \widehat {K{\rm{A}}M}\) (gt)
    \( \Rightarrow \) ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền, góc nhọn)
    Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
    b) Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
    \(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \)
    MH = MK (chứng minh trên)
    MC = MB (gt)
    Suy ra: ∆MHB = ∆MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    Suy ra: \(\widehat B = \widehat C\) (hai góc tương ứng)

    Câu 96 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
    Giải
    04.png
    Ta có:
    \(\eqalign{
    & AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC\left( {gt} \right){\rm{ }}\left( 1 \right); \cr
    & {\rm{ }}AM{\rm{ }} = {1 \over 2}AB\left( {gt} \right)\left( 2 \right); \cr
    & AN = {1 \over 2}AC\left( {gt} \right)\left( 3 \right) \cr} \)
    Từ (1), (2) và (3) suy ra: AM = AN
    Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:
    \(\widehat {AMI} = \widehat {ANI} = 90^\circ \)
    AM = AN (chứng minh trên)
    AI cạnh huyền chung
    Suy ra: ∆AMI = ∆ANI (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng)
    Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

    Câu 97 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
    Giải
    05.png
    Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:
    \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \)
    AB = AC (chứng minh trên)
    AD cạnh huyền chung
    \( \Rightarrow \) ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    Suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng)
    Vậy AD là tia phân giác của góc A.

    Câu 98 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
    Giải
    06.png
    Kẻ \(MH \bot AB,MK \bot AC\)
    Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
    \(\eqalign{
    & \widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \cr
    & \widehat {HAM} = \widehat {K{\rm{A}}M\left( {gt} \right)} \cr} \)
    AM cạnh huyền chung
    \( \Rightarrow \) ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền, góc nhọn)
    Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
    Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
    \(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \)
    MH = MK (chứng minh trên)
    MB = MC (gt)
    Suy ra: ∆MHB = ∆MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    Suy ra: \(\widehat B = \widehat C\) (hai góc tương ứng)
    Vậy ∆ABC cân tại A.

    Câu 99 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng:
    a) BH = CK
    b) ∆ABH = ∆ACK
    Giải
    07.png
    a) Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)
    Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
    \(\widehat {ACB} + \widehat {AC{\rm{E}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
    Suy ra: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)
    Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có:
    AB = AC (gt)
    \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (chứng minh trên)
    BD = CE (gt)
    Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)
    \( \Rightarrow \widehat D = \widehat E\) (hai góc tương ứng)
    Xét hai tam giác vuông BHD và CKE, ta có:
    \(\widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)
    BD = CE (gt)
    \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)
    Suy ra: ∆BHD = ∆CKE (cạnh huyền, góc nhọn)
    Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)
    Xét tam giác vuông AHB và ACK, ta có:
    \(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \)
    AB = AC (gt)
    BH = CK (chứng minh trên)
    Suy ra: ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

    Câu 100 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
    Hướng dẫn: Từ I kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
    Giải
    08.png
    Kẻ: \(I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\)
    Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:
    \(\eqalign{
    & \widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \cr
    & \widehat {DBI} = \widehat {EBI}\left( {gt} \right) \cr} \)
    BI cạnh huyền chung
    \( \Rightarrow \) ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn)
    Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)
    Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;
    \(\eqalign{
    & \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
    & \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr} \)
    CI canh huyền chung
    Suy ra: ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)
    Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF
    Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:
    \(\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \)
    ID = IF (chứng minh trên)
    AI cạnh huyền chung
    Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    Suy ra: \(\widehat {DAI} = \widehat {FAI}\) (hai góc tương ứng)
    Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat A\)

    Câu 101 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1.
    Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.
    Giải
    09.png
    Xét ∆BMI và ∆CMI, ta có:
    BM = CM (gt)
    \(\widehat {BMI} = \widehat {CMI} = 90^\circ \)
    MI cạnh chung
    Suy ra: ∆BMI = ∆CMI (c.g.c)
    \( \Rightarrow \) IB = IC (hai cạnh tương ứng)
    Xét hai tam giác vuông IHA và IKA, có:
    \(\eqalign{
    & \widehat {IHA} = \widehat {IK{\rm{A}}} = 90^\circ \cr
    & \widehat {HAI} = \widehat {K{\rm{A}}I}\left( {gt} \right) \cr} \)
    AI cạnh huyền chung
    Suy ra: ∆IHA = ∆IKA (cạnh huyền, góc nhọn)
    Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)
    Xét hai tam giác vuông IHB và IKC, có:
    \(\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ \)
    IB = IK (chứng minh trên)
    IH = IK (chứng minh trên)
    Suy ra: ∆IHB = ∆IKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
    Vậy BH = CK (2 cạnh tương ứng)