Câu 82 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tính cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13cm, cạnh góc vuông kia bằng 12cm. Giải Giả sử ∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), BC = 13cm, AC = 12cm Theo định lý Pytago, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) Suy ra: \({\rm{A}}{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {13^2} - {12^2} = {25^2}\) Vậy AB = 5 (cm) Câu 83 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính chu vi tam giác ABC biết AC = 20cm, AH = 12cm, BH = 5cm Giải ∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) Theo định lý Pytago, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \cr & \Rightarrow A{B^2} = {12^2} + {5^2} = 169 \cr} \) Vậy AB = 13 (cm) ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) Theo định lý Pytago, ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} \cr & \Rightarrow H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 \cr} \) Vậy HC = 16(cm) Ta có: BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 (cm) Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 13 + 20 + 21 = 54 (cm) Câu 84 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trên hình dưới. Giải Theo định lý Pytago, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = {5^2} + {1^2} = 25 + 1 = 26 \Rightarrow AB = \sqrt {26} \cr & C{{\rm{D}}^2} = {2^2} + {2^2} = 4 + 4 = 8 \Rightarrow C{\rm{D}} = \sqrt 8 \cr & A{{\rm{D}}^2} = {3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25 \Rightarrow A{\rm{D}} = 5 \cr} \) Và BC = 1 Câu 85 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Màn hình của một máy thu hình có dạng hình chữ nhật, chiều rộng 12 inh-sơ, đường chéo 20 inh-sơ. Tính chiều dài. Giải Giả sử màn hình máy thu hình là hình chữ nhật ABCD, chiều rộng BC = AD, chiều dài AB = CD , đường chéo AC = BD. Ta có tam giác ABD vuông tại A Theo định lý Pytago, ta có: \(B{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}\) \( \Rightarrow A{B^2} = B{{\rm{D}}^2} - A{{\rm{D}}^2} = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256\) Vậy AB = 16 (inh-sơ) Câu 86 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tính đường chéo của một mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 10dm, chiều rộng 5dm. Giải Giả sử mặt bàn là hình chữ nhật ABCD, chiều rộng BC = AD, chiều dài AB = CD, đường chéo AC = BD. Ta có tam giác ABD vuông tại A Theo định lí Pytago, ta có: \(B{{\rm{D}}^2}{\rm{ = A}}{{\rm{B}}^2}{\rm{ + A}}{{\rm{D}}^2}\) \(B{{\rm{D}}^2} = {10^2} + {5^2} = 100 + 25 = 125\) Vậy \(BD = \sqrt {125} \approx 11,2\left( {dm} \right)\) Câu 87 trang 149 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Hai đoạn thẳng AC, BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Tính các độ dài AB, BC, CD, DA biết AC = 12cm, BD = 16cm. Giải Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có: \(\eqalign{ & IA = IC = {{AC} \over 2} = 6(cm) \cr & IB = I{\rm{D}} = {{B{\rm{D}}} \over 2} = 8\left( {cm} \right) \cr} \) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AIB, ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} \cr & A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \) Vậy AB = 10 (cm) Mặt khác: ∆IAB = ∆IAD = ∆ICB = ∆ICD (c.g.c) Suy ra: AD = BC = CD = AB = 10 (cm) Câu 88 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tính độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng: a) 2cm b) \(\sqrt 2 cm\) Giải Tam giác vuông cân là tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau. Gọi độ dài cạnh góc vuông là x (cm) (x > 0) a) Áp dụng định lý Pytago ta có: \({{\rm{x}}^2} + {x^2} = {2^2} \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 4 \Rightarrow {x^2} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \) b) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(\eqalign{ & {{\rm{x}}^2} + {x^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr & 2{{\rm{x}}^2} = 2 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1\left( {cm} \right) \cr} \) Câu 89 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC trên các hình dưới đây. a) Trên hình bên trái: AH = 7cm, HC = 2cm b) Trên hình bên phải: AH = 4cm, HC = 1cm Giải a) ∆ABC cân tại A, ta có: AB = AC = 2 + 7 = 9 Trong tam giác vuông BHA, ta có \(\widehat {BHA} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(A{H^2} = B{H^2} + H{A^2}\) Suy ra: \(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {9^2} - {7^2} = 81 - 49 = 32\) Trong tam giác vuông BHC, ta có \(\widehat {BHC} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\) \(B{C^2} = 32 + {2^2} = 36 \Rightarrow BC = 6\) b) ∆ABC cân tại A nên ta có: AB = AC = 4 +1 = 5 Trong tam giác vuông BHA, ta có: \(\widehat {BAH} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(A{B^2} = B{H^2} + H{A^2}\) Suy ra: \(B{H^2} = A{B^2} - H{A^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9\) Trong tam giác vuông BHC, ta có \(\widehat {BHC} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\) \(B{C^2} = 9 + {1^2} = 10 \Rightarrow BC = \sqrt {10} \) Câu 90 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Bạn An đi từ nhà mình (A) qua nhà bạn Bảo (B) rồi đến nhà bạn Châu (C). Lúc về, An qua nhà bạn Dũng (D) rồi trở về nhà mình (hình bên). So sánh quãng đường lúc đi và quãng đường lúc về của An, quãng đường nào dài hơn. Giải Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \) \(= {600^2} + {600^2} \) \(= 360000 + 360000 \) \(= 720000\) Trong tam giác vuông ACD, ta có \(\widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \) Áp dụng đinh lý Pytago, ta có: \(A{{\rm{D}}^2} = A{C^2} + C{{\rm{D}}^2} \) \(= 720000 + {300^2} \) \(= 720000 + 90000 \) \(= 810000\) Suy ra: AD = 900m Quãng đường ABC dài 600 + 600 = 1200 (m) Quãng đường CDA dài 300 + 900 = 1200 (m) Vậy quãng đường lúc đi và lúc về của An là bằng nhau. Câu 91 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Cho các số: 5; 8; 9; 12; 13; 15; 17 Hãy chọn ra các bộ ba có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Giải Ta có: \({5^2} = 25\) \({8^2} = 64\) \({9^2} = 81\) \({12^2} = 144\) \({13^2} = 169\) \({15^2} = 225\) \({17^2} = 289\) Ta có: 25 + 144 = 169 hay \({5^2} + {12^2} = {13^2}\) 81 + 144 = 225 hay \({9^2} + {12^2} = {15^2}\) Theo định lý đảo định lý Pytago thì bộ ba số 5;12;13 và 9;12;15 là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông. Câu 92 trang 150 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy kẻ ô vuông (hình dưới) là tam giác vuông cân. Giải Đặt độ dài cạnh ô vuông là 1 (đơn vị chiều dài) Áp dụng định lý Pytago ta có: \(\eqalign{ & {\rm{A}}{B^2} = {1^2} + {2^2} = 1 + 4 = 5 \cr & B{C^2} = {1^2} + {2^2} = 1 + 4 = 5 \cr & A{C^2} = {3^2} + {1^2} = 9 + 1 = 10 \cr} \) Suy ra: \({\rm{A}}{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) Áp dụng định lý đảo định lý Pytago ta có ∆ABC vuông tại B. Suy ra: \({\rm{A}}{C^2} = B{C^2} = 5\) \( \Rightarrow \) AB = BC. Vậy ∆ABC vuông cân tại B.
