Câu 11 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình sau. So sánh độ các độ dài AB, AC, AD, AE. Giải Điểm C nằm giữa B và D nên BC < BD (1) Điểm C nằm giữa B và E nên BD < BE (2) Vì B, C, D, E thẳng hàng. Từ (1) và (2) suy ra BC < BD < BE \(AB \bot BE\) Suy ra: AB < AC < AD < AE. Câu 12 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình bên. Chứng minh rằng MN < BC Giải Nối BN Vì M nằm giữa A và B nên AM < AB $$NA \bot AB$$ Suy ra: NM < NB (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (1) Vì N nằm giữa A và C nên AN < AC $$BA \bot AC$$ Suy ra: BN < BC (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MN < BC. Câu 13 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không có cắt cạnh BC hay không? Vì sao? Giải \(AH \bot BC\) \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) \(HB = HC = {{BC} \over 2} = 6\left( {cm} \right)\) \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) \(\eqalign{ & A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \cr & A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} \cr & A{H^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \cr & AH > 0 \Rightarrow AH = 8\left( {cm} \right) \cr} \) Do bán kính cung tròn 9 (cm) > 8 (cm) nên cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt đường thẳng BC. Gọi D là giao điểm của cung tròn tâm A bán kính 9 cm. Với BC ta có đường xiên AD > AC nên hình chiếu HD < HC do đó D nằm giữa H và C. Vậy cung tròn tâm A bán kính 9cm cắt cạnh BC. Câu 14 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF. Giải Trong ∆ADE ta có \(\widehat {A{\rm{ED}}} = 90^\circ \) Nên AE < AD (1) Trong ∆CFD ta có \(\widehat {CF{\rm{D}}} = 90^\circ \) Nên CF < CD (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta có: AE + CF < AD + CD Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC Vậy AE + CF < AC Câu 15 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng \(AB < {{BE + BF} \over 2}\) Giải Trong ∆ABM có \(\widehat {BAM} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \) AB < BM Mà BM = BE + EM = BF – MF Do đó: AB < BE + EM (1) AB < BF – FM (2) Suy ra: AB + AB < BE + ME + BF - MF (3) Xét hai tam giác vuông AEM và CFM: \(\widehat {A{\rm{E}}M} = \widehat {CFM} = 90^\circ \) AM = CM (gt) \(\widehat {AM{\rm{E}}} = \widehat {CMF}\) (đối đỉnh) Suy ra: ∆AEM = ∆CFM (cạnh huyền góc nhọn) \( \Rightarrow \) ME = MF (4) Từ (3) và (4) suy ra : AB + AB < BE + BF \( \Rightarrow 2{\rm{A}}B < BE + BF \Rightarrow AB < {{BE + BF} \over 2}\) Câu 16 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng độ dài AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác ABC. Giải Kẻ\(AH \bot BC\) a) Nếu H trùng với D: ta có AH < AC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) Suy ra: AD < AC b) Điểm H # D Giả sử D nằm giữa H và C Ta có: HD < HC \( \Rightarrow \) AD < AC (hình chiếu nhỏ hơn thì có đường xiên nhỏ hơn) Vậy AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác cân ABC. Câu 17 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình sau trong đó AB > AC. Chứng minh rằng EB > AC. Giải AB > AC (gt) \( \Rightarrow \) HB > HC (đường xiên lớn hơn có hình chiếu lớn hơn) Suy ra: EB > EC (hình chiếu lớn hơn có đường xiên lớn hơn) Câu 18 trang 39 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình sau. Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC. Giải ∆ABD có \(\widehat {A{\rm{D}}B} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \) BD < BD (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) (1) ∆AEC có \(\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \) CE < AC (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (2) Cộng từng vế (1) và (2) Suy ra: BD + CE < AB + AC. Câu 2.1 trang 39Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? (A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. (B) Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. (C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. (D) Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng. Giải Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc với một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước. Bởi vì, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. (A) Đúng (B) Sai (C) Sai (D) Đúng Trong hình AH là đường vuông góc duy nhất và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d (có thể kẻ được vô số đường xiên như thế) Câu 2.2 trang 39 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: (A) AB > AC (B) AB = AC (C) AB > AC (D) AH > AB Giải Theo định lý so sánh giữa hình chiếu và hình xiên ta có: HB < HC => AB < AC. Chọn (C) Câu 2.3 trang 39 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp7tập 2 a) Hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’ có AB = A’B’, AC > A’C’. Không sử dụng định lý Pitago, chứng minh rằng BC > B’C’. b) Hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’ có AB = A’B’, BC > B’C’. sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng AC > A’C’ Giải a) Do AC > A’C’ nên lấy được điểm \({C_1}\) trên cạnh AC sao cho \({\rm{A}}{C_1} = A'C'\). Ta có tam giác vuông \(AB{C_1}\) bằng tam giác vuông A’B’C’, suy ra \(B'C' = B{C_1}\). Mặt khác hai đường xiên BC và \(B{C_1}\) kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và \({\rm{A}}{C_1}\). Vì \({\rm{A}}C > A{C_1}\) nên \(BC > B{C_1}\). Suy ra BC > B’C’. b) Dùng phản chứng: - Giả sử AC < A’C’. Khi đó theo chứng minh câu a) ta có BC < B’C’. Điều này không đúng với giả thiết BC > B’C’. Giả sử AC = A’C’. Khi đó ta có ∆ABC = ∆A’B’C’ (c.g.c). Suy ra BC = B’C’. Điều này cũng không đúng với giả thiết BC > B’C’. Vậy ta phải có AC > A’C’. (Nếu sử dụng định lý Pytago thì có thể giải bài toán sau) Trong tam giác vuông ABC có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (1) Trong tam giác vuông A’B’C’ có \(B'C{'^2} = A'B{'^2} + A'C{'^2}\) (2) Theo giả thiết AB = A’B’ nên từ (1) và (2) ta có: - Nếu AC > A’C’ thì \({\rm{A}}{C^2} > A'C{'^2}\), suy ra \(B{C^2} > B'C{'^2}\) hay BC > B’C’ - Nếu BC > B’C’ thì \(B{C^2} > B'C{'^2}\), suy ra \({\rm{A}}{C^2} > A'C{'^2}\) hay AC > A’C’ Câu 2.4, 2.5, 2.6 trang 39, 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BD là đường phân giác của góc B (D ∈ AC). Chứng minh rằng BD > BC. Giải Do BD là tia phân giác của góc ABC nên tia BD ở giữa hai tia BA và BC, suy ra D ở giữa A và C, hay AD < AC. Hai đường xiên BC, BD lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AD. Hơn nữa AD > AC, suy ra BD < BC. (Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được đoạn thẳng nối B với trung điểm của đoạn thẳng AC nhỏ hơn BC) Câu 2.5 trang 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy a) Tìm trên đường thẳng xy hai điểm M, N sao cho hai đường xiên AM và AN bằng nhau. b) Lấy một điểm D trên đường thẳng xy. Chứng minh rằng: - Nếu D ở giữa M và N thì AD < AM ; - Nếu D không thuộc đoạn thẳng MN thì AD > AM. Giải a) Phân tích bài toán: Giả sử M và N là hai điểm của đường thẳng xy mà AM = AN. Nếu gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến xy thì HM, HN lần lượt là hình chiếu của các đường xiên AM, AN. Từ AM = AN suy ra HM = HN, từ đó xác định được hai điểm M, N. Kẻ AH vuông góc với xy (H ∈ xy) Lấy hai điểm M, N trên xy sao cho HM = HN (1) (dùng compa vẽ một đường tròn tâm H bán kính tùy ý; đường tròn này cắt đường thẳng xy tại hai điểm M, N thỏa mãn HM = HN) Hai đường xiên AM, AN lần lượt có hình chiếu là HM và HN, do đó từ (1) suy ra AM = AN b) Xét trường hợp D ở giữa M và N - Nếu D ≡ H thì AD = AH, suy ra AD > AM (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) - Nếu D ở giữa M và H thì HD < HM, do đó AD < AM (đường xiên có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn) - Nếu D ở giữa H và N thì HD < HN, do đó AD < AN. Theo a) ta có AM = AN nên AD < AM Vậy khi D ở giữa M và N thì ta luôn có AD < AM Câu 2.6 trang 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho điểm P nằm ngoài đường thẳng d. a) Hãy nêu cách vẽ đường xiên PQ, PR sao cho PQ = PR và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \) b) Trong hình dựng được ở câu a), cho PQ = 18cm. Tính độ dài hình chiếu của hai đường xiên PQ, PR trên d. Giải a) Phân tích bài toán Giả sử PQ và PR là hai đường xiên kẻ từ P đến d sao cho PQ = PR và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ P đến d. Khi đó ∆PHQ = ∆PHQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông), suy ra \(\widehat {HPQ} = \widehat {HP{\rm{R}}} = 30^\circ \). Từ đó suy ra cách vẽ hai đường xiên PQ và PR. Kẻ \(PH \bot d\) (H ∈ d). Dùng thước đo góc để vẽ góc HPx bằng 30°. Tia Px cắt d tại điểm Q. Trên d lấy điểm R sao cho HR = HQ. Hai đường xiên PQ và PR lần lượt có hình chiếu trên d là HQ và HR. Do HQ = HR nên PQ = PR. Hơn nữa \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 2\widehat {HPQ} = 60^\circ \) b) Hướng dẫn - Tam giác PQR có PQ = PR và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \), tam giác đó là tam giác gì? - PQ = 18cm => QR =? ; HQ = HR =?
